2018年全国Ⅰ卷文科数学真题及答案

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第 1 页共 18 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 1 文科数学一选择题本题共 12 小题每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 02A 102B 则 AB A B 2 C 0D 102 2 设 1i2z 则 z A 0 B 12 C 1D 2 3 某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后种植收入减少 B 新农村建设后其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后养殖收入增加了一倍第 2 页共 18 页 D 新农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 已知椭圆 C 214xya 的一个焦点为 20 则 C的离心率为 A 13 B 2C 2D 23 5 已知圆柱的上下底面的中心分别为 1O 2 过直线 12O的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形则该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 82 D 10 6 设函数 32fxax 若 fx为奇函数则曲线 yfx 在点0 处的切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 7 在 BC中 AD为边上的中线 E为 AD的中点则 EB A 314 B 134 C B D AC 8 已知函数 22cosinfxx 则 A f的最小正周期为最大值为 3 B fx的最小正周期为最大值为 4 C f的最小正周期为 2 最大值为 3 D fx的最小正周期为最大值为 4 第 3 页共 18 页 9 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A 圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上从 M到 N的路径中最短路径的长度为 A 217 B 25 C 3 D 2 10 在长方体 1BDAC 中 C 1A与平面 1C所成的角为 30 则该长方体的体积为 A 8B 62C 82D 83 11 已知角的顶点为坐标原点始边与 x轴的非负半轴重合终边上有两点 1Aa 2Bb 且 2cos3 则 ab A 5B 5 C 25 D 1 12 设函数 201 xf 则满足 12fxfx 的 x 的取值范围是 A B C 0 D 0 二填空题本题共 4 小题每小题 5 分共 20 分 13 已知函数 2logfxa 若 1f 则 a 第 4 页共 18 页 14 若 xy 满足约束条件 201xy 则 32zxy 的最大值为 15 直线 1 与圆 230 xy 交于 AB 两点则 AB 16 ABC的内角 BC 的对边分别为 abc 已知sini4sinbca 228bc 则 C的面积为三解答题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题每个试题考生都必须作答第 22 23 题为选考题考生根据要求作答一必考题共 60 分第 5 页共 18 页 17 12 分已知数列 na满足 1 12nnaa 设 nab 1 求 123b 2 判断数列 n是否为等比数列并说明理由 3 求 na的通项公式第 6 页共 18 页 18 12 分如图在平行四边形 ABCM中 3AC 90M 以 AC为折痕将 ACM折起使点到达点 D的位置且 BD 1 证明平面平面 2 Q为线段 A上一点 P为线段 BC上一点且 23BPQA 求三棱锥 BP 的体积第 7 页共 18 页 19 12 分某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据单位 m 3 和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据得到频数分布表如下未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0 1 02 03 04 05 06 07 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 频数 1 5 13 10 16 5 第 8 页共 18 页 1 在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图 2 估计该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0 35 m3的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后一年能节省多少水一年按 365 天计算同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表 20 12 分设抛物线 2Cyx 点 20A 20B 过点 A的直线 l与 C交于 M N 两点 1 当 l与 x轴垂直时求直线 M的方程 2 证明 ABN 第 9 页共 18 页第 10 页共 18 页 21 12 分已知函数 eln1xfa 1 设 2x是 f的极值点求 a 并求 fx的单调区间 2 证明当 1ea 时 0fx 第 11 页共 18 页二选考题共 10 分请考生在第 22 23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分在直角坐标系 xOy中曲线 1C的方程为 2ykx 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2的极坐标方程为 2cos30 1 求 2C的直角坐标方程 2 若 1与 2有且仅有三个公共点求 1C的方程第 12 页共 18 页 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分已知 1fxax 1 当时求不等式 1fx 的解集 2 若 01x 时不等式 f成立求 a的取值范围 2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文全国卷 1 第 13 页共 18 页参考答案一选择题 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 C 11 B 12 D 二填空题 13 7 14 6 15 216 23 三解答题 17 解 1 由条件可得 an 1 2 1 na 将 n 1 代入得 a2 4a1 而 a1 1 所以 a2 4 将 n 2 代入得 a3 3a2 所以 a3 12 从而 b1 1 b2 2 b3 4 2 bn 是首项为 1 公比为 2 的等比数列由条件可得 2na 即 bn 1 2bn 又 b1 1 所以 bn 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 3 由 2 可得 12na 所以 an n 2n 1 18 解 1 由已知可得 BAC 90 AC 又 BA AD 所以 AB 平面 ACD 又 AB 平面 ABC 所以平面 ACD 平面 ABC 第 14 页共 18 页 2 由已知可得 DC CM AB 3 DA 32 又 23BPDQA 所以 BP 作 QE AC 垂足为 E 则 QA13DC 由已知及 1 可得 DC 平面 ABC 所以 QE 平面 ABC QE 1 因此三棱锥 ABP 的体积为1132sin4513QABPVES 19 解 1 第 15 页共 18 页 2 根据以上数据该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0 35m3的频率为 0 2 0 1 1 0 1 2 6 0 1 2 0 05 0 48 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0 35m3的概率的估计值为 0 48 3 该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为1 0 51 30 25 340 59 260 5 48x 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为21 0 5 10 2513 0 45160 5 3x 估计使用节水龙头后一年可节省水 3 83 47 m 20 解 1 当 l 与 x 轴垂直时 l 的方程为 x 2 可得 M 的坐标为 2 2 或 2 2 所以直线 BM 的方程为 y 12x 或 12yx 2 当 l 与 x 轴垂直时 AB 为 MN 的垂直平分线所以 ABM ABN 当 l 与 x 轴不垂直时设 l 的方程为 2 0ykx M x1 y1 N x2 y2 则 x1 0 x2 0 由 2 kyx 得 ky2 2y 4k 0 可知 y1 y2 k y1y2 4 直线 BM BN 的斜率之和为121212 BMNyxyykxx 将 1k 2k及 y1 y2 y1y2的表达式代入式分子可得第 16 页共 18 页 1212212124 8 0ykyxy k 所以 kBM kBN 0 可知 BM BN 的倾斜角互补所以 ABM ABN 综上 ABM ABN 21 解 1 f x 的定义域为 0 f x aex 1 由题设知 f 2 0 所以 a 2 1e 从而 f x 2 1elnx f x 2 1x 当 0 x 2 时 f x 2 时 f x 0 所以 f x 在 0 2 单调递减在 2 单调递增 2 当 a 1e 时 f x eln1x 设 g x ln1ex 则 e xg 当 0 x 1 时 g x 1 时 g x 0 所以 x 1 是 g x 的最小值点故当 x 0 时 g x g 1 0 因此当 1ea 时 0f 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分解 1 由 cosx siny 得 2C的直角坐标方程为2 4xy 第 17 页共 18 页 2 由 1 知 2C是圆心为 1 0 A 半径为 2的圆由题设知 1是过点 B且关于 y轴对称的两条射线记 y轴右边的射线为 1l y轴左边的射线为 2l 由于 B在圆 2C的外面故 1C与 2有且仅有三个公共点等价于 1l与 C只有一个公共点且 l与有两个公共点或 2l与2C 只有一个公共点且 l与 2有两个公共点当 1l与 2只有一个公共点时 A到 1l所在直线的距离为 2 所以 2 1k 故 43k 或 0 经检验当时 1l与 2C没有公共点当 43k 时 1l与 2C只有一个公共点 2l与有两个公共点当 2l与 C只有一个公共点时 A到 2l所在直线的距离为 2 所以 2 1k 故 0k 或 43 经检验当时 1l与 2C没有公共点当 43k 时 2l与 C没有公共点综上所求 1的方程为 4 3yx 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分解 1 当 1a 时 1 fxx 即 2 1 xf 故不等式 fx 的解集为 2 2 当 0 1 时 1 ax 成立等价于当 0 1 x 时 1ax 成立第 18 页共 18 页若 0a 则当 0 1 x 时 1ax 若的解集为 2 所以 1a 故 02a 综上 a的取值范围为 0

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