立体几何问题研究ppt课件

立体几何问题研究,1,一、点 、直线和平面的位置关系,立体几何的基本元素点、线、面的相关位置和性质是研究空间图形的基础，它们是由希尔伯特公理体系为依据而推导得到的结果；,2,结合公理： 1、对于任意两点，存在着过两点的直线； 2、过不同两点仅有一直线； 3、一直线上至少有两点；至少有三点不同在一直线上； 4、过不在一直线上的三点必有一平面；每个平面上至少有一点； 5、过不在一直线上三点仅有一平面； 6、若一直线的两点在一平面上，则此直线的所有点都在此平面上； 7、若两平面有一公共点，则至少还有另一个公共点； 8、至少有四点不在一平面上；,3,公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在此平面上； 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们就相交于过这点的一条直线； 公理3 经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面；,4,空间中两条直线有异面、相交、平行三种关系 在空间中，通过已知直线外一点，有且仅有一条直线和已知直线平面。这和平面中是一样的。 直线与平面的位置关系有：在平面上、相交、平行 通过平面外一点有无穷多条直线与已知平面平行； 通过直线外一点有无穷多个平面与已知直线平行，它们都通过与该直线平行的同一直线； 若一直线垂直于平面内的两条相交直线，则必垂直于平面内的所有直线； 过一点和一直线垂直的平面有且仅有一个； 过一点而和一平面垂直的直线有且只有一条；,5,两平面有两种可能位置关系：相交于一直线、平行； 如果一平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； 过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行； 垂直于同一直线的两平面平行； 给定两条异面直线，则有一对且只有一对平行平面存在通过其中一线而平行于另一线； 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面； 如果一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么它垂直于这个平面； 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，必垂直于另一个平面； 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。,6,直线、平面平行、垂直关系的对偶性：把命题中某一直线（平面）换以平面（直线），同时把与这一直线（平面）有关的平行（垂直）关系换以垂直（平行）关系，所得的命题与原命题同真伪。 例： 命题1 通过空间一点能作且仅能作一直线b与已知直线a平行； 命题2 通过空间一点能作且仅能作一平面与已知直线a垂直； 命题3 通过空间一点能作且仅能作一平面与已知 平面平行 命题2是命题1关于直线b的对偶命题；命题1称为命题2关于平面的对偶命题；命题3是命题2关于直线a的对偶命题；命题2称为命题3关于平面对偶命题。,7,三垂线定理 若平面上的直线垂直于斜线的射影，则它也垂直于斜线； 逆定理 若平面上的直线垂直于斜线，那么它也垂直于斜线上的射影； 平面的斜线与其在上的射影所成的角小于它跟上任何其他直线间的角。,8,有公共边缘的两半平面构成二面角；从棱上任一点，在每一面上作垂直于棱的射线，这两射线形成二面角的平面角。 两条异面直线有唯一的一条公共垂直相交线； 两异面直线的距离，即指它们的公垂线段的长度。,9,二、多面体,欧拉公式：设凸多面体的顶数为V，面数为F，棱数为E，则V+F-E=2 若一凸多面体各面是全等的正多边形，且各二面角是相等，则称为正多面体 正多面体至多有五种（4、6、8、12、20）,10,三、例题,例1 如图，过正方形ABCD的顶点A作PA平在ABCD，设PA=AB=a (1)求二面角B-PC-D的大小；（2）求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小,11,例2 如图，在长方形ABCD中，AB=a,BC=b(ab),把这个长方形沿对角线AC折成等于的二面角，求这时顶点B，D间的距离。,12,例3 如图， 已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1C1=A1C1，M，N分别是A1B1，AB的中点，求证：平面AMC1平面NB1C,13,例4 已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为对角线AE和BD上的点，且AM=DN，求证：MN 平面BFC,14,例5 已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1C1=A1C1，AC1A1B， M，N分别是A1B1，AB的中点，求证： A1B B1C,15,例6 已知直线l与平面内的三条共点直线所成的角相等，求证：l ,16,例7 在直三棱柱ABC- A1B1C1 ABC- A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=Rt ,侧棱AA1=2，D，E分别是CC1和A1B的中点，E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G,17,例8 在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中， A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点，（1）求二面角B-FB1-E的大小； （2）求点D到平面B1EF的距离；（3）在棱DD1上是否存在一点M，使BM平面B1EF？若能，试确定点M的位置，否则，请说明理由。,18,19,例9 已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，GC垂直于平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。,20,21,22,例10 已知平行六面体 A1B1C1D1-ABCD的底面ABCD是菱形，且C1CB= C1CD= BCD=600。当CD/CD1的值为多少时，能使A1C平面C1BD？,23,