2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)

第 1 页 共 2 页 2018 年全国高中数学联赛竞赛 一 填空题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 满分 64 分 1 设集合 则 的元素个数为 1 239 A 2 2 BxACxA BC 2 设点 到平面 的距离为 点 在平面 上 使得直线 与 所成角不小于 且不大于 P Q PQ 30 6 则这样的点 所构成的区域的面积为 Q 3 将 随机排成一行 记为 则 是偶数的概率为 45 6 abcdefabcdef 4 在平面直角坐标系 中 椭圆 的左 右焦点分别是 椭圆 的弦xOy2 1 0 xy 12F C 与 分别平行于 轴与 轴 且相交于点 已知线段 的长分别为 则STUVP UPSVT 36 的面积为 12PF 5 设 是定义在 上的以 为周期的偶函数 在区间 上严格递减 且满足 fxR2 ff 则不等式组 的解集为 f 6 设复数 满足 使得关于 的方程 有实根 则这样的复数 的和为 z 1 x20zx z 7 设 为 的外心 若 则 的值为 OABC AOBC sinBA 8 设整数数列 满足 且1210 a 102853 aa 1 9iii 则这样的数列的个数为 二 解答题 本大题共 3 小题 满分 56 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 9 本题满分 16 分 已知定义在 上的函数 为R fx3 log1 0 49xf 设 是三个互不相同的实数 满足 求 的取值范围 abc fabfc ab 10 本题满分 20 分 已知实数列 满足 对任意正整数 有 其中 表123 n 2 1nSa nS 示数列的前 项和 证明 n 1 对任意正整数 有 na 2 对任意正整数 有 1 11 在平面直角坐标系 中 设 是抛物线 的过点 的弦 的外接圆交抛物线xOyAB24yx 1 0 FAOB 于点 不同于点 若 平分 求 的所有可能值 P PF P 加试 A 卷 一 本题满分 40 分 设 是正整数 均为正实数 满足n1212 nnab 且 12 iiabA b 二 本题满分 40 分 如图 为锐角三角形 为 边的中点 点 和 分别BC BAC MBDE 为 的外接圆 和 的中点 为 的内切圆在 边上的切点 为 与BC AF GA 的交点 在线段 上 满足 NEN 证明 若 则 答题时请将图画在答卷纸上 M DG 第 2 页 共 2 页 三 本题满分 50 分 设 是正整数 满足 且 设 是 的 nkm2k 21knmn A 1 2 m 元子集 证明 区间 中的每个整数均可表示为 其中 n 0 1 a a 四 本题满分 50 分 数列 定义如下 是任意正整数 对整数 是与 互素 且不 na1a 1n ni 等于 的最小正整数 证明 每个正整数均在数列 中出现 1 na n