第二章-变分原理

第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。1、最速降线命题1695年，Bernoulli以公开信方式提出了最速降线命题。如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A、B两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB光滑下滑的时间最短。设A点与坐标原点O重合，B点的坐标为(x1,y1)，滑体质量为m，从O点下滑至P点时的速度为v，根据能量恒原理，有： (2-1)用s表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图 (2-2)曲线弧长为： (2-3)于是，时间为： (2-4)下降时间为： (2-5)经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为： (2-6)2、短程线命题设是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B两点，试问如何连接可使此曲面上A、B两点间的距离最短。设A点的坐标为、B点的坐标为，在曲面上A、B两点的曲线长度为： (2-7)其中，是满足曲面的约束条件。 3、等周命题等周命题为在长度一定的闭合曲线中，什么曲线围成的面积最大。 图2-2 短程线设所给曲线的参数方程为，因这条曲线是封闭的，在这条曲线的始端和末端，有。该曲线周长为： (2-8)由于该曲线封，根据格林公式： (2-9)该曲线所围成的面积为： (2-10)于是等周问题可以归纳为在满足和式(2-8)条件下，从所有可能函数中选择一对函数使面积最大。 2.2 泛函的概念 在函数论中，自变量对应着另一变量，则变量称为自变量的函数。假如自变函数对应着另一个函数，则称为泛函。函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量与函数之间的关系。泛函是函数的函数，是函数的广义函数。通过微分学和变分学对比，可理解变分特性。2.2.1 微分和变分函数的自变量的增量是=-，当是独立变量时，的微分等于的增量，即；泛函的自变函数c的增量在它很小时称为变分，用或简单地用表示。变分等于与跟它相接近、并通过边界的另一个函数之差，即=-。特别指出的是，变分不是常值，而是通过边界条件的函数。两个自变函数相接近的意义可有不同的理解，最简单的理解是在任意值上和之差很小，即：- (2-11)这种接近称零阶接近度，如图2-3所示。很明显，这时之差不一定是微量。如果满足零阶接近，同时满足自变函数的斜率也很接近，即： (2-12)这种接近称一阶接近度，如图2-4所示。图 2-3 零阶接近度 图2-4 一阶接近度依次类推，阶接近度要求零阶至阶导数之差都很小。 (2-14)接近度越高，两条曲线亦越接近。2.2.2 函数的微分和泛函的变分 函数的微分有两个定义。一个是通常的定义，即函数的增量定义为： (2-15)可展开为的线性项和非线性项之和，即 (2-16)其中线性项和无关，与有关，是高次项，当时，此时可称是可微，相应有： (2-17)也可以说，对于可微函数，函数的微分是函数增量的主部分，即线性项。函数的第二定义是设是为一小参数，将对求导数，即 (2-18)当趋近于零时 (2-19)这就说明，在=0处对的导数等于在处的微分。称为拉格朗日乘子，此法称为拉格朗日乘子法。泛函的变分也有类似的两个定义。第一个定义：自变函数的变分所引起的泛函的增量，即： (2-20)类似地，其可展开为线性项和非线性项 (2-21)其中L是对的线性泛函项，而是非线性泛函项，是的同阶或高阶微量，当时，同时也趋近于零，这时泛函的增量等于的线性部分，叫做泛函的变分，用来表示。 (2-22)所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分来说是线性的。第二个定义：泛函变分是对在处的示导值。泛函的增量用微小参数表示为： (2-23)因为泛函导数是对的导数在=0时的值，于是有 (2-24)因为线性项对是线性的，故 (2-25)并且当时，得 (2-26)由此得拉格朗日的泛函变分定义为 (2-27)2.2.2 变分运算规则 自变函数的变分是的函数，于是可以用求导数 (2-28)即 (2-29)因此，变分和导数的运算可换，变分的导数等于导数的变分。同理有： (2-30)其它运算规则如下： (2-31)2.2.3 极大极小极值问题与函数的极大、极小问题相类似，泛函也有极大、极小问题。如果任何一条接近的曲线的泛函值不大（或不小）于的泛函，即，则泛函在曲线上达到极大（或极小）值，而且在上泛函的一阶变分等于零 =0 (2-32)因为函数接近度有零阶和高阶之分，所以变分分为强变分和弱变分。对于的零阶接近度的变分称为强变分，这样得到的极值叫强极值。如果是一阶接近度，即 (2-33)则把这类变分称弱变分，所得到极值称为弱极值。和微分的极值条件一样，一阶变分等于零的条件=0只是存在极值（或驻值）的必要条件，而不是充分条件，只有两阶变分才能确定极大或极小。2.3 泛函极值问题的欧拉方程变分的早期工作是把泛函极值问题化为微分方程问题，即欧拉-拉格朗日方程。求泛函 (2-34)在边界条件下的极值。设正确解为，为接近的任意函数，则 (2-35)其中为满足边界条件式的接近于的变分，显然在边界上等于零，即 (2-36)泛函增量为 (2-38)根据泰勒级数展开，有 (2-38)令 (2-39) ： ： ：这时式（1.3.6）可以写成 (2-40)其中，称为一阶变分，二阶变分等。根据式(2-34)的泛函极值条件，=0，即 =0 (2-41)关于泛函的一阶变分式(2-39)或式(2-41)可由导数的概念获得。令F(x,y,z)是自变量x,y,z的函数,则其全导数为 (2-42)令泛函 是函数的函数。假如F不仅与有关，同时与其导数有关，这时泛函一阶变分自变函数可视为和其导数的函数。因此可以把微分符号d用变分符号来代替，而，因泛函的变分只与和的变分有关，故泛函变分为 (2-43)假如泛函含有，则 (2-44)对式（2-42）的第二项进行分部积分，得 (2-45)把上式代入式(2-42)中，得 (2-46)上式第二项是边界条件式，当给定边界条件情况下在和处，（式（1.3.5），即第二项等于零，这个边界条件称为基本边界条件。当没有给定基本边界条件时在和处处可能不等于零，则=0的条件必须要求在边界处，这一边界条件称为自然边界条件。今后将看到弹性力学问题的基本边界条件为位移（包括转角），自然边界条件为力（包括弯矩）。式(2-46)的第一项中是的函数，它不能等于零，故=0的条件是 (2-47)这个方程称为欧拉方程，就是说，泛函极值的积分方程转换成欧拉方程微分方程。这是1744年欧拉提出的著名方程，后来拉格朗日用拉格朗日法简捷地得到相同结果（1755年），所以这个方程又称为欧拉-拉格朗日方程。应当指出，假如原来的泛函的积分方程含有一阶导数，则欧拉方程将含有更高一阶导数。欧拉方程式(2-47)是泛函极值的条件式。为判定所得解为极大还是极小，需要考虑二阶变分的符号。因所得的解已满足=0，由式（1.3.9） (2-48)因此，若对于任意有0，则解使为极小，反之极大。假如泛函还含有两阶导数，则其泛函数为 (2-49)端点上的边界条件为 (2-50)根据式(2-46)，一阶变分 (2-51)和前面推导一样，上式的第二项进行一次分部积分，第三项进行两次分部积分，并考虑边界条件，得欧拉方程 (2-52)这一欧拉方程与式(2-47)比校，上式多一个全微分项，它是(2-51)的第三项进行两次分部积分时得到的。同理含n阶导数的泛函极值的欧拉方程为 (2-53)这是函数的2n阶微分方程，称为欧拉-柏桑方程，未知常数是2n个，由2n个边界条件确定。例1 连接两点的最短曲线长度 根据数学理论，两点间曲线长度用积分表示为： 泛函只含有，其欧拉方程为 其通解为 其中是由边界条件的两点、确定，最后得 显然，其解是连接两点的直线。由式（1.3.8b）知 因此，泛函是最小值。例2 Winkler基础上初等梁的微分方程Winkler基础上初等梁的总势能为：根据欧拉方程，知Winkler基础上初等梁的控制方程为： （1.3.19）例3 双参数地基上初等梁的微分方程双参数地基上初等梁的总势能为：例4 双参数地基上Timoshenko梁的微分方程 2.3 多维问题泛函及其极值问题2.3.1含有一阶导数的二维、三维泛函 (2-54)自变函数是，的函数，它在边界c上已知。为简便，引进符号 (2-55)显然，式（1.4.1）的一阶变分可写为 (2-56)上式右第二式用附录A公式（A.4）格林公式进行分部积分，得 (2-57)同理，第三式也用格林公式，代入式（1.4.3）中，并考虑到在边界上=0，得 (2-58)由此得欧拉方程为 (2-59)上式称为奥斯特罗格拉斯基公式同理，三维问题泛函式 (2-60)的欧拉方程为 (2-61)和一维问题欧拉方程式（1.3.15）相比校，二维和三维问题欧拉方程式（1.4.4）和（1.4.5）各自增加了第三项和第四项，它们的公式结构与一维问题完全相同。应当特别注意的是，多维积分的分部积分过程中采用附录A的格林公式，它对计算力学发展起了重要作用，它的贡献在于使高维变低维，高阶变分变为一阶变分，在以后的有关章节详述。2.3.2含有两阶导数的二维、三维泛函 (2-62)的一阶变分为 (2-63)其欧拉方程为 (2-64)上式中函数和它的导数是，的函数。同理，三维情况的泛函 (2-65)其欧拉方程为 (2-66)上式中自变函数和它的导数是，z的函数。2.3.3与时间和空间有关的泛函 (2-67)其欧拉方程为 (2-68)上式中，自变函数和它的导数是，t的函数。以上都是含有一个自变函数的情况。2.3.4 含有n个自变函数的泛函现有n个自变函数，其泛函式为 (2-69)其一阶变分为 (2-70)欧拉方程为 (2-71)上式与式（1.3.5）的欧拉方程完全一致，只是 代替，并且式(1.4.9)是n个联立方程。含有高阶导数的多维问题n个自变函数的表达式与式（1.4.4）（1.4.7）完全一致，但是它是联立方程。例1求下列泛函的欧拉方程 上式含有和，故由(2-61),得 或 显然，这是在流体、电磁场及热场中常用到的拉普拉斯方程。例2 求下列泛函的欧拉方程 上式含有和的泛函，由式（2-61）得欧拉方程 这是薄板弯曲微分方程式。例3 多质点系的拉格朗日方程 理论力学中的拉格朗日方程，可以由式（2-71）得到。自变量用时间t代替，自变函数用广义坐标代替，用时间的导数代替，则 根据式（2-71）泛函极值的欧拉方程为 这就是著名的拉格朗日方程，这里L称为拉格朗日函数，它由动能T和位能U组成 L=T-U (1.4.11)泛函式的极值条件又可以写成 （1.4.12）这就是哈密顿原理。具有n个质点的质量为的力系，各质点上作用的力为（又称力函数），是位能U的函数，它们之间的关系为 （1.4.13）这个力系的动能T为 于是泛函式为 根据式（1.4.10），并利用式（1.4.13），得 拉式方程为 同理 i=1,2,n例4 薄板弯曲振动微分方程 薄板弯曲的弯矩及扭矩为 薄板变曲应变能为 动能为 能量泛函式为 这一泛函是只含有时间t的一阶导数和x，y的两阶导数的函数，其欧拉方程直接由式（1.4.8）得这就是薄板弯曲的振动微分方程式。2.5 条件极值问题 上几节讨论的泛函极值问题，习惯上称为无条件极值问题。所谓无条件，并不是说在自变函数选取中不考虑任何条件。自变函数必须使给定泛函在某一范围内有意义，并满足边界条件，因为这些条件容易被满足，所以称为无条件极值问题。在工程实际中，有些约束条件不易得到满足，这种在给定约束条件下来求泛函极值，称为条件极值问题。2.5.1函数条件极值问题求函数 (2-72)在约束条件下的极值问题。上述极限问题有两种方法，第一种方法是由约束条件式消去y，代入（2-72）式，得 函数取得极值的条件是，得x=-3/2, y=-3/2, F(-3/2, 3/2)=11/4 .第二种方法是利用拉格朗日乘子法进行求解。选择拉格朗日乘子，把乘以条件式，与式（2-72）相加，形成新的泛函 (2-73)这时新的泛函不仅是，的函数，同时也是的函数，的极值条件为 上面第三式正是约束条件式。由此可解出=-3/2, =3/2, =-3.把它代入式（2-73），得（-3/2, 3/2, -3）=11/4，其结果与第一方法完全相同。拉格朗日乘子法是通过拉格朗日乘子，将有条件极值问题的旧函数改造成为无条件极值问题的新函数。有时把拉格朗日乘子又称为权数或权函数，这是行之有效的一种方法，加权残值法、广义变分原理也是基于拉格朗日乘子法得来的。2.5.2泛函条件极值问题约束条件式为的函数 (2-74)满足式（2-74）的约束条件下，求泛函 (2-75)的条件极值问题。与前述一致，此问题也有两种方法，第一方法是通过式(2-74)的k个自变函数来表示泛函式(2-75)中的n-k个未知自变函数。把n个未知自变函数泛函式(2-75)的有条件极值问题转化为n-k个未知自变函数的泛函极值问题。第二种方法是拉格朗日乘子法，选择拉格朗日乘子函数，乘以式（2-74），相加式（2-75）的函数中，得到新的泛函 (2-76)显然，泛函是自变函数的函数，同时又是的函数，因此泛函是n+k个未知自变函数的极值问题。首先对式(2-76)用求极值，即有变分时极值条件为 (2-77)因为是任意值，不等于零，上式可导出 (2-78)这就是约束条件式(2-74)下求泛函式(2-75)的极值问题。不难证明，式(2-76)的欧拉方程为 (2-79)为了能求出待定拉氏乘子，需要诸乘子的系数满足下列行列式不为零的要求，即： (2-80)同理，约束条件含一阶导数的情况，即 (2-81)求泛函 (2-82)的极值问题欧拉方程为 (2-83)在式(2-81)的约束条件下求泛函 (2-84)的极值问题的欧拉方程为 (2-85)例1 如图（1.5.1）所示梁在处，为给定端点挠度，建立欧拉方程及边界条件式。这例题相当于求泛函 (a)在处约束条件为时的 图 1.5.1极值条件。用拉格朗日乘子，建立新的泛函 (b)其变分式为 (c)对上式右第一项进行两次分部积分，得 (d)把上式代入式(c)，并整理后，其极值条件为 (e)上式成立的条件为 （1） 在=0域内 （2） 在=处 （3） 在=处 (f) （4） 在=0处 (5) 在=0处和在=处上式中第一式是梁弯曲微分方程式，即欧拉方程；第二式是确定拉格朗日乘子的方程，很明显，拉格朗日乘子的物理意义是在=处的剪力；第三式就是给定约束条件；第4和第5式是剩余的边界条件，其中包括基本边界条件以及自然边界条件，即弯矩、剪力的边界条件，如图1.5.1的情况，在=0处，在=处。由式(f)的第二式，把代入式(b)得新的泛函式 (g)由此可知，泛函极值方程(e)给出欧拉方程式和所有边界条件式，所以变分问题式(c)等价于式(f)的微分方程的解。例2证明如图1.5.2的无条件泛函式为 图 1.5.22.6 加 权 残 值 法大量的应用科学和工程学问题往往可以归结为根据一定的边界条件，初始条件等，来求解问题的控制微分方程式或微分方程组或关键的积分方程。微分方程式（组）可以是常微分方程，偏微分方程，线性的或非线性的。加权残值法是一种数学方法，可以直接从微分方程式（组）中得出近似解。该方法用于解算力学问题具有原理的统一性和方法的一致收敛性，应用的广泛性，且简便，准确，工作量少，程序简短，亦可用于解复杂问题等优点。2.6.1 加权残值法的基本方法按权函数进行分类，加权残值法共有五类，可称为加权残值法的基本方法。1、最小二乘法解某一问题时，在物体域内的残值R平方积分式为： (2-86)为使为最小，应用求函数的极值条件： (2-87)可得消除残值方程式为： （j=1,2,n） (2-88)由此可知，最小二乘法中的权函数为，进行运算后(2-88)式即可化为n个代数方程式，足以求出n个待定系数（j=1,2,n）。如果求解的问题系属二维的，则有最小二乘法消除残值方程组为： （j,k=1,2,n） (2-89)同样，三维问题的最小二乘法消除残值方程组为： (j,k,l=1,2,n) (2-90)2、配置法最初发展的配置法仅是配点法，今年来在我国发展了配线法，配面法及配域法等，这里将详述配点法。这是一种使用极为广泛又很方便的加权残值法。如果以笛拉克函数作为权函数： (2-91)就得到了配点法。笛拉克函数又称为单位脉冲函数。一维的单位脉冲函数其主要的性质如下：a. (2-92)b. (2-93)c. (2-94)d. (2-95)二维的单位脉冲函数的主要性质如下：a. (2-96)b. (2-97)c. (2-98) （1）配点在积分域内，（2）配点不在积分域内）于是，按(2-95)即有一维问题的配点法，即： （j=1,2,n） (2-99)按(2-98)即有二维的配点法，为： (2-100)上面两个方程的意义就是残值应在n个配点（一维），（二维）处为零。亦即在残值方程中代入配点坐标，置方程为零即可。于是解代数方程组（1-3-13）或（1-3-14）即能解出待定系数。3、子域法将物体的域分为n个子域（j=1,2,n），权函数如下确定： (2-101)列出消除残值方程组为： （j=1,2,n） (2-102)运算后解n个代数方程式即可求得。4、伽辽金法若按加权残值法的观点去理解伽辽金法，伽辽金法实际上就是将试函数项当作为权函数的加权残值法。以薄板弯曲问题为例，薄板弯曲的控制微分方程为： (2-103)式中，为抗弯刚度，E为弹性模量，h为板的厚度，为材料泊松比，算子为，w为板的挠度，为作用于板上分布荷载的集度。若假设薄板挠度的试函数已满足了所有的边界条件为： (2-104)则这块薄板弯曲问题的伽辽金法方程为： （j=1,2,n） (2-105)或即为 （j=1,2,n） (2-106)式中 ， (2-107)所以，在伽辽金法中权函数就是试函数。对(2-106)式进行运算可得到一组代数方程组，从其中可解出待定系数。5、矩量法在一维问题中，矩量法的权函数为。消除残值方程式为： (2-108)这里有n个代数方程式，可求出试函数中n个二维问题矩量法的消除残值方程式为： (2-109)运算后得代数方程组可以解出试函数中的。2.6.2 加权残值法的试函数在加权残值法计算力学中，如何选用或确定待求函数的试函数十分重要。我国国内加权残值法计算力学研究工作者在实践中曾采用有下列试函数并取得良好的效果。按其使用频繁的程度次序列出如下：1、单B样条函数形式如： (2-110)其中为从3次到9次的B样条函数，为正交函数，或为正弦或余弦的三角函数如等，或为傅里叶级数等。2、多三角级数形式如： (2-111)及单三角级数如： 3、多项式双幂级数形式如： (2-112)4、单多项式级数形式如： (2-113)5、双B样条函数形式如： (2-114)及都是B样条函数，从3次到9次。 6、多项式与三角函数积并与多项式之和 形式如： (2-115)7、双调和函数如由组成，或为： (2-116)8、梁振动函数 (2-117)9、对数函数如： (2-118)用于分析开孔物体中。10、指数函数如：11、贝塞耳函数如：12、“完备系”试函数如：13、柱稳定函数如：试函数是选择在低级近似计算中十分重要。因为，这会影响计算结果。在高级近似计算中则不太重要，因为，计算中依靠了解的收敛性。试函数选择得当与否只会影响解的收敛速度。试函数必须是完备的并且各试函数项之间是线性无关。属于连续的函数大多可以用多项式展开。试函数的完备性能够保证在取足够多的试函数项时可以逼近精确解，所以比较重要。拟解决问题的对称性和边界条件可以帮助确定试函数的形式。对称问题，试函数也应该是对称的。如果已知一个问题中的边界条件为g(x,y)，则这问题中的试函数可假设为： (2-119)当然，式中试函数项在边界条件上应为零。多种正交多项式都是有用的试函数。它们可以满足若干边界条件，再附加一定的多项式以满足其他的边界条件。这种设立试函数的方法可以满足一些难以全部满足边界条件的边值问题，如大挠度板壳及厚板厚壳问题。正交多项式的正交性可以使得计算正确方便。超越函数可以作为试函数，但大多用作初次近似的试函数，在高次近似计算中，则有计算累赘不堪的缺点。这类函数可以作为特征值问题的试函数。有限元法单元中，位移模式所用的试函数也可以作为加权残值法的试函数。各类样条函数都可以作为加权残值法的试函数。 2.7 Ritz法和Galerkin法2.7.1基于位移变分原理的Ritz法使用位移变分原理求解，首先需要列出所有变形可能的位移，然后从中找出使总势能取驻值的那组位移，这就是真实位移。对于稳定平衡状态，相应于位移变分原理的最小势能原理成立，因此使总势能取最小值的那组位移，就是真实位移。但问题在于要列出所有变形可能的位移非常困难，也不现实。因此，在求解实际工程问题时，只能根据受力特点和边界条件，凭经验假设一组位移的实验函数，其中包括有限个待定常数，这种处理缩小了寻找位移解的范围。若从中找出一组使总势能取最小值的位移，一般来说，这组位移不是真正的位移，但它在缩小的范围内是与真实位移最接近，从而可以作为问题的近似解。设位移实验函数为： (2-120)式中、和、是预先设定的空间坐标的函数，、称为基函数或形状函数（它表示变形形状），应当满足函数连续性、可微性、线性独立性及基本边界条件（又称固定边界条件，但自然边界条件不一定必须满足），基函数是选择函数，一般采用指数函数或三角函数，此时函数的连续性、可微性及独立性易被满足，所以选择基函数时特别注意满足边界条件。而、是待定系数又称广义参数，由泛函极值条件确定。位移的变分是通过待定系数、取变分来实现的，而与函数、无关，于是： (2-121)位移实验函数必须满足位移边界条件，且在位移边界条件上的变分为零，为满足这两个条件就要求：在位移边界上，、等于已知位移，而、（k=1,2,n）均等于零。将式（1-4-1）代入下列总势能表达式 (2-122)将总势能表示成待定系数的、的函数： (2-123)变分原理要求： (2-124)由于、是相互独立的，也是任意的，它们的系数应分别为零，于是： (2-125)对于线弹性力学问题，将导致下面3n个线性方程组： (2-126)解上述3n个线性方程组，可得出待定系数、。这就是所谓的Ritz方法。在获得位移的近似解后，代入几何方程，求得应变的近似解，再代入本构方程，得到应力的近似解。应当指出：由于位移变分原理等价于平衡微分方程和力边界条件，因此现在所得的近似解对于平衡微分方程和力边界条件来说是近似满足的，而其他方程和条件均严格满足。2.7.2 基于应力变分原理的Ritz方法如果我们主要关心物体内的应力分布，使用应力变分原理求解会更合适一些。对于稳定平衡状态，该方法的实质就是从所有静力可能的应力场中，找到使总余势能取最小值的那组应力，这就是真实应力。求解时，首先要选取应力的实验函数，它必须是静力可能的应力场，即满足平衡方程和力边界条件： (2-127)式中、和、是预先设定的空间坐标的函数，、满足给定体积力的平衡方程和给定面力的力边界条件，而、满足体积力为零的平衡方程和表面力为零的力边界条件；、是相互独立的待定常数，应力的变分将通过这些待定常数来实现。代入总余能表达式并求极值，则有： (2-128)它们为待定系数的线性方程组，解出这些待定系数则得问题的解。选择的应力场要求满足平衡方程和力边界条件，往往是不易做到的，但是，对于某些问题，应力分量可用应力函数表示，而应力函数表示的应力分量总是能满足平衡微分方程的。这样，我们在选取应力函数的表达式时，只需要使其给出的应力分量满足力边界条件即可，从而减小了难度。应当指出：由于应力变分原理等价于几何方程和位移边界条件，因此现在所得的近似解对于几何方程和位移边界条件来说是近似满足的，而其他方程和条件均严格满足。例1 简支梁的弯曲问题如图1.6.1所示梁的梁端简支，梁的泛函式为 (a) 选如下的基函数 (b)这一函数满足的基本边界条件， 但不一定要求满足自然边界条件， 图 1.6.1而自然边界条件由变分本身得到满足。把式（1.6.5）代入式（1.6.4），得 (c)由上式对和求导数，使它等于零，得两个联立方程 (d)得如下表达式 (e)联立求解得，把它代入式（1.6.5），得 (f)由上述的Ritz法求得梁中点挠度为，其理论精确解为 ，其误差为12%，其中L=2。假如坐标原点取在左端，并作为近似函数选为正弦函数 (g)用同样方法，得跨中挠度为（仅取第一项），与精确值相比，误差仅有0.3%。基函数的选择直接影响精度。另一方面，对不同问题、不同边界条件及载荷条件，相应的基函数也在变化，同时基函数是适应整个计算域内，对高阶导数泛函问题，适应性更小，所以实用上受到限制。但这一方法对弹性力学的近似计算方法的发展，发挥了重要作用。随着电子计算机的发展而活跃起来的有限元方法，接受了李兹法的思想，但克服了其缺点，基函数选择在微小块单位内，使基函数的选择成为规格化，扩大了应用范围。2.7.3 Galerkin法从虚位移原理导出下式： (2-129)改式与虚位移原理完全等价。若选取的位移实验函数（1-4-1）除满足位移边界条件外，还满足力边界条件，直接使用式(2-129)而不是变分方程式进行近似求解会比较方便。这时，式(2-129)退化为： (2-130)将式（1-4-1）代入式(2-130)并展开，得到三组线性方程，即： (2-131)通过求解这些线性方程组，确定待定常数、，从而得到问题的近似解。利用式(2-131)进行近似求解的方法称之为Galerkin方法。它属于加权残值法的一种特殊形式。对于薄板弯曲问题，若所设的挠度实验函数除满足所有位移边界条件外，还满足所有力边界条件，由位移变分原理可导出相应的变分方程为： (2-132)上式就是Galerkin方法计算薄板弯曲问题的控制方程。 2.8 能量原理 势能驻值原理是虚位移原理的能量形式。这两个原理是位移法和位移型有限元的理论基础。如果把问题限定为弹性力学线性问题，则势能的驻值实际上又是极小值，此时又称为最小势能原理。2.8.1弹性系统的势能弹性系统的势能用基本未知函数位移u表示的能量，由弹性体的应变能U和荷载的势能两部分组成： (2-133)应变能U为： (2-134)其中应变是由位移u导出的，即。荷载势能为： (2-135)上式右边第一项是体积力的势能，第二项是边界上边界荷载的势能。由于势能是位移函数的函数，因此是一个泛函。2.8.2 势能驻值原理的表述势能驻值原理可表述为在位移满足几何条件的前提下，如果位移相应的应力还满足静力条件，则该位移必使势能为驻值；反之，在位移满足几何条件的前提下，如果位移还使势能为驻值，则该位移相应的应力必满足静力条件。或者说，在位移为可能的前提下，势能驻值条件 （2-136）与静力条件彼此等价。如果弹性体的位移既满足几何条件，而其相应的应力又满足静力条件，则该位移就是弹性体的真实位移。因此，势能驻值原理又可表述如下：在所有的可能位移中，真实位移势能为驻值；反之，使势能为驻值的可能位移就是真实位移。与结构力学相比，弹性力学是势能原理在文字表述上完全相同，只是要注意数学上的差异。2.8.3 势能的变分由式（4-23a,b,c）可得出势能变分如下： （2-137）其中和是由位移u导出的应变和应力： (2-138)又 （2-139）如果位移u是可能位移，满足位移边界条件 （在上） (2-140)则位移变分在上满足齐次边界条件： （在上） （2-141）在恒等式 (2-142)中，将换成，并引入式（4-26）和（4-27），得： (2-143)将式（4-28）代入式（4-25），得： (2-144)这就是在位移为可能位移的前提下势能变分的表达式。2.8.4、势能驻值原理的证明在位移为可能位移的前提下，势能驻值条件（4-24）是静力方程 (2-145)的必要条件和充分条件。下面从两个方面对上述原理加以证明。1、必要性设位移相应的应力满足静力方程。将静力方程代入式（4-29），得。因此，在位移为可能位移的前提下，势能驻值条件成立。证毕。2、充分性设在位移为可能位移的前提下势能驻值条件（4-24）成立。根据式（4-29），式（4-24）可写成： (2-146)由于位移变分在V内以及在上具有任意性，故由上式即可导出静力方程。证毕顺便指出，势能驻值原理也可由虚位移原理导出。由式（4-27）得知，在位移u是可能位移的前提下，位移变分是任意齐次可能位移。在虚位移方程 (2-147)中将换成，即得： (2-148)上式就是虚位移方程的变分形式。应用式（4-25），由虚位移方程（4-31）即可导出势能驻值条件（4-24）。因此，由虚位移原理可以导出势能驻值原理。虚位移原理与势能驻值原理是密切相关的两个原理。在虚位移和位移变分是齐次可能位移的前提下，虚位移方程和势能驻值条件分别是用虚功形式和能量形式表述的静力方程。两个原理的区别在于：第一，虚位移原理中的应力和位移是彼此无关的，没有引入应力应变关系。势能驻值原理中的应力是由位移导出来的，引入了应力应变间的线性弹性关系。因此，势能驻值原理只适用于弹性问题，而虚位移原理的应用范围则更广。第二，势能驻值条件的表述形式更简洁，更便于应用。2.8.5、最小势能原理在弹性力学线性问题中，可以证明，真实位移不仅使势能为驻值，而且使势能为极小值。也就是说，不仅势能驻值原理成立，而且最小势能原理也成立。最小势能原理可表述如下：设u是真实位移，是与真实位移邻近的任意可能位移（显然，位移差是齐次可能位移），则： (2-149)证：根据势能的定义（4-23），有： (2-150) (2-151)以上二式相减，得： (2-152)由于是真实应力，满足静力方程，而是齐次可能位移，因此虚位移方程成立。仿照虚位移方程，有： （2-153）将式(b)代入式(a)，得： （2-154）上式右边是应变相应的应变能，不可能是负值。因此，式（4-32）成立。证毕。2.8.6 最小余能原理和余能驻值原理 最小余