高等数学A(下)期末复习题

高等数学A(下)期末复习题一、 选择题1. 设函数，则下列各式中正确的是 （ ） A. B. C. D.2设，其中，则 （ ）。 A. B. C. D. 3. 若 （ ）。A. B. C. D. 4设 ，则（）A. B. C. D. 5. （ ）.A. 0 B. 1 C. D. 不存在 6极限（ ）。 A. -2 B. 2 C. 不存在 D.0 7.二重极限的值（ ）.A.0 B.1C.D.不存在8.的定义域是（ ）.A. B. C. D. 9函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 10. 设 ，则（ ）A. B. C. D.4211设，则（ ）A. B. C. D. 12.设，则（ ）A. B. C. D. 13. ，则梯度的值为（ ）A. ； B. ；C. ； D. 14的极值点是（ ） A.（1，1） B. （1，1）C.（0，0） D. （0，2）15函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )。A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件16、函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件；C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件。17设函数在点处可微，且，则函数在处（ ）. A. 必有极值，可能是极大，也可能是极小 B. 可能有极值，也可能无极值C. 必有极大值 D. 必有极小值 18设,则f(x,y)在(0,0)点处( ).A. 连续但偏导数不存在 B. 不连续也不存在偏导数 C. 连续且偏导数存在 D. 不连续但偏导数存在19. 二元函数在点（0,0）处 （ ） A. 连续，偏导数存在 B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在 D. 不连续，偏导数不存在20. 设，则（ ） A. B. C. D. 21设，则 ( )。 A. B. C. D. 22 设二元函数，则（ ） A. B. C. D. 23.设，则（）A. B. C.D.24下列说法正确的是 ( )A.偏导数存在是该点连续的充分条件B.偏导数存在是该点可微的充要条件C.偏导数存在是该点可微的必要条件D.偏导数连续是该点可微的充要条件25函数在原点沿向量2，3，1方向的方向导数为（ ）。A. B. C. D. 26函数在点处沿方向的方向导数为（ ） A. B. C. D.27函数在原点沿向量方向的方向导数为（ ）A. B. C. D.28函数在点处的梯度方向的方向导数等于（ ）A. B. C. D. 29.设，则（ ）。A. B. C. ； D. 。30设，则 ( ) A. B. C. D. 31 设可微，则A. B. C. D. 32. 设，则（ ）。 A. B. C. D. 33设具有二阶连续导函数，而，则=（ ）。A. B. C. D. 34. 设 ，则（ ）A. B. C. D.35. 设则（ ）.A. B.1 C.0 D. 36设域D：x2+y21,f是域D上的连续函数，则( )A. B. C. D. 37设积分区域，则( )。 A. B. C. D. 38设是矩形域 ，则的值为( ).A. B. C. D. 39、设积分区域D是圆环 ，则二重积分（ ）A. B. C. D.40设，其中，则（）A.B. C. D. 无法比较41 设（ ）.A. B. C. 0 D. 42设由围成，则（ ）A. B. C.D.43 交换二次积分顺序后，=（ ）。 A. B. C. D. 44. 设是平面与旋转抛物面所围区域，则化为三次积分等于（）A.B.C.D.45设连续，且 ，其中是由所围区域，则 ( )A. B. C. D. 46设在连续，则（）A.B. C. D. 47.若区域D为,则（ ）。A. e B. e1 C. 0 D. 48. 设由围成，则( ). A. B. C. D. 49设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为( )A B. C. D. 50. 交换二次积分顺序后，=（ ）A. B.C. D.51在公式中是指（）A.最大小区间长度B.小区域最大面积 C.小区域直径 D.小区域最大直径52. 设（ ）.A. B. C. D. 53设表示椭圆，方向逆时针，则（）A.B.C.D.054. 设L是y2=4x从(0,0)到(1,2)的一段，则（ ）A. B. C. D. 55. 设L是从点A（1，0）到点B（-1，2）的弧段，则曲线积分 =（ ）A. B. C. D.56 设为球面（），则的值为（ ）。A. B. C. D. 57. 设S是球面，则曲面积分 （ ）A. B. C. D. 58. 设L是从点到点的直线段，则 ( )。A. B. C. D. 59用格林公式求由曲线C所围成区域D的面积A，则A=( )A. B. C. D. 60.已知曲线积分与积分路径无关，则必满足条件（ ） A. B. C. D. 61. 设L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段，则( ). A. B. 1 C. 2 D. 62. 设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则下列等式正确的是（ ）A. B. C. D.63.若曲线积分与路径无关，则常数（ ）。A. B. C. D. 64设表示椭圆，方向逆时针，则（ ）A.B. C. D. 065设是从点到点的有向弧段，则曲线积分( )。A. B. C. D. 066曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系 ( )A. B. C. D. 67设，其中，经球坐标变换后， ( ) A. B. C. D. 68. 设L是y2=4x从(0,0)到(1,2)的一段，则（ ）A. B. C. D. 69设，因为，所以（）A. 对任意闭曲线C，; B. 在曲线C不围住原点时，；C. 因与在原点不存在，故对任意的闭曲线C，；D. 在闭曲线C围住原点时I=0，不围住原点时 。70. 级数的敛散情况是（ ）。 A. 时绝对收敛，时条件收敛 B. 时绝对收敛，时条件收敛 C. 时发散，时收敛 D. 对任何，级数绝对收敛71当时，幂级数的和函数为（ ）。A. B. C. D.72级数（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定73. 若级数 收敛，则级数（ ）A.收敛但不绝对收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定74下列幂级数中收敛区间为的是（ ）A. B. C. D. 75. 下列级数中条件收敛的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 76已知级数收敛，则对于级数 ，下列说法正确的是（） A. 必定收敛B. 必定发散C. 条件收敛D. 可能收敛，也可能发散77. 若无穷级数收敛，则满足 （ ）。A. B. C. D. 78下列级数中发散的是（ ）A. B. C. D.79. 设级数,则该级数( ).A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不确定80下列说法正确的是（）A. 若发散，则必有 B. 若，则必收敛C. 若收敛，则必有 D. 的敛散性与无关81. 下列级数中收敛级数是（ ）A. B. C. D.82. 下列级数条件收敛的是 （ ）A. B. C. D. 83设级数（1）与级数（2），则（）A. 级数（1）（2）都收敛 B. 级数（1）（2）都发散C. 级数（1）发散，级数（2）收敛D. 级数（1）收敛，级数（2）发散84. 幂级数的收敛区间为（ ） A. B. C. D. 85设是非零常数，则（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与有关86. 微分方程满足初始条件的特解为 （）A.B.C.D.87. 微分方程满足初始条件的特解为 （ ）A. B. C. D. 88.在微分方程中用待定系数法可设其特解（ ）A. B. C. D. 89. 微分方程的通解为 （ ）.A. B. C. D. 90. 微分方程的通解为（ ）A. B. C. D.91. 微分方程 的通解（ ）A. B. C. D. 92. 微分方程的特解形式为( ). A. B. C. D. 93. 函数（C为任意常数）是微分方程的（ ） A.通解 B.特解 C.不是解 D.既不是通解也不是特解94下列方程中，哪个不是二阶微分方程( )。A. B. C. D. 95微分方程满足的特解是（）A. B. C. D. 96下列微分方程中，（ ）是线性微分方程。A. B. ；C. D. 97设二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，则对应的微分方程为( )A. B. C. D. 98已知一个二阶线性齐次微分方程的特征根，则这个微分方程是（）；A. B. C. D. 99下列方程中，不是微分方程的是（ ）.A. B. C. D. 100下列函数组在其定义区间内线性相关的是( ).A. B. C. D. 101设是的三个特解，则（ ）是相应齐次方程的解.A. B. C. D.二、填空题1函数在点（0,1）处沿向量方向的方向导数为 。2. 函数在点（0,1）处沿向量方向的方向导数为 .3函数在点（1,1）处方向导数的最大值为 .4函数在点处沿的方向导数。5函数在点（1,2）处沿从点A（1,2）到点B（2,2）的方向的方向导数等于。6曲线在对应于点处的切线方程为 。7曲面在点处的切平面平行于平面2x+2y+z=0.8. 曲面在点处的切平面方程为 。9函数在点处沿方向角为的方向导数为 。10. 设 .11设，则 。12. ,则全微分dz=.13设 ， 则全微分 。14设，则 。15设，而，则 .16已知方程确定隐函数，则 ；17设，则。18设，则= 。19设，则 。20设方程 确定，则 。21.设 ， 则= .22. .23极限= 24若函数在点处取得极值，则常数。25. 若函数在点(-2,3)处取得极小值3，则常数a,b,c之积abc=.26. 梯度.27设，则=.28设，则 。29.设可微，则 .30设，则 。31设函数,则 。32.可微，则。34设，则 。35、已知方程确定隐函数，则。36函数的驻点是。37交换二次积分的次序得 .38交换积分顺序后，。39改变二次积分的积分次序为 。40变换的积分次序后为 .41交换二次积分的次序 ；42. 交换二次积分的次序得.43. 设D为矩形， .44设D为,则=。45为三个坐标面及平面所围成闭区域，则 46设D：,则=.47设为球体的第一卦限部分，则化成三次积分为 .48设为立体，则三重积分 .49设平面薄片占有平面区域D，其上点处的面密度为，如果在D上连续，则薄片的质量M =。50设为连续函数，则交换积分次序后二次积分 。51.，要使处处连续，则A= 。52. 设L为从点A（0，0）到点B（2，1）的直线，则= .53设L是 平面上点到点的直线，方向是从A到B,则= 。54设为从点到点的直线，则= 。55设为上从点到（0，0）的曲线弧，则 。56. 设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则_。57. 设L为圆周 ，方向为顺时针，则 。58设L为三顶点分别为（0，0），（3，0），（3，2）的三角形边界正向，则_.59.设为球面（），则的值为.60设曲面方程，其在平面上的投影为，则求该曲面的面积公式为 ；61设为立体，则 .62.设、在平面上具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关 和 及 是相互等价的。63.由旋转抛物面与所围封闭立体的体积为.64设曲线段的参数方程为x=(t), y=(t),其中t。如果曲线段上的点(x,y)处线密度函数为(x,y)，则曲线段的质量的计算公式为.65设是点到点的直线段，则_。66设是从沿到的弧段，则 ；67.设为立体，则三重积分 68. 变换的积分次序后为 . .69.设是平面与旋转抛物面所围区域，化成三次积分为 .70设积分区域，则在柱面坐标系下的三次积分为 ；71设是连续函数，则二次积分交换积分次序后为 。72已知有界闭区域的边界是光滑曲线，的方向为的正向，则用第二型曲线积分写出区域的面积公式 。73格林公式 成立的条件是 。74幂级数的收敛半径为 。75. 设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是 .76级数的和函数 。77幂级数的收敛区间为 。78如果幂级数的收敛半径是1，则级数在最大的一个开区间 内一定收敛。79. 展开成的幂级数为。 80.级数是收敛的，其和为.81级数的和为 。82幂级数的和函数 .83将函数 展开成关于的幂级数为_。84. 幂级数的收敛半径为.85幂级数的收敛区间为 。86.级数的和为 。87. 幂级数 的收敛域为 。88级数是 （发散，条件收敛，绝对收敛）的。89. 微分方程满足初始条件的特解 90. 微分方程的通解是.91. 微分方程的通解为 .92. 微分方程的通解为 .93.微分方程的通解为 。94方程的通解为 。95. 微分方程的通解为 。96微分方程的通解为 .97微分方程的通解为_。98非齐次微分方程，它的一个特解应设为 。99设二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，则对应的微分方程为 。100微分方程满足的特解是_。101方程的通解为 102. 方程满足初始条件的特解_。三、解答题1求曲线在对应于点处的切线方程及法平面 方程。2.求椭球面上平行于平面的切平面方程。3.求曲面上点处的切平面方程与法线方程。4求曲线x=2t2+7t,y=4t-2,z=5t2+4t在点(-5,-6,1)处的切线及法平面方程。 5.求曲线在点处的切线及法平面方程。6.在椭圆抛物面上求一点，使该点的切平面与平面平行，并求该点的切平面及法线方程。7.求函数在点处沿其梯度方向的方向导数。8.求在点处沿向量的方向导数.9.设可微，求。10设是由方程所确定的隐函数，其中可微，求。11.设，求，。12设，求。13. 设 ，求14设方程 确定，求15设方程确定，试求。16.设方程 确定，求。17.设，其中具有二阶导数，求。18.设，求。19. 设 ，求。20设，其中具有连续的二阶偏导数，求。21. 设方程 确定，求22. 设。 23. 已知方程确定二元隐函数，试求。24、设，其中可导，试求。25.设而，为可导函数，试求。26.求由方程所确定的函数的偏导数。27. 设具有二阶连续偏导，求 28. 设，其中具有二阶连续偏导数，求。29、设由方程确定，求。30. 设方程确定的隐函数z=z(x,y)，求dz。 31. 设,计算梯度. 32.求函数的极值。33.求三元函数的全微分。34.设 ，求全微分。35.设由方程 确定，可微，a 和b是已知常数， 求 。36.求函数的极值。37. 求函数的极值。38在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-160三直线的距离平方之和为最小。39. 求函数的极值。40. 求函数的极值。41. 现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？42.在椭圆上求一点，使其到直线的距离为最短。43求44计算二重积分，是由和围成的面积小的那部分区域。45计算二重积分 ，其中D由围成。46.计算二重积分，其中。47.利用二重积分计算由平面 (其中) 及坐标面所围立体的体积48.设D是以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）为顶点的三角形区域，求。49.求，由与围成的第一象限中的区域。50.计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。51. 求，为上半个球面和圆锥面所围区域。52. 求，积分区域为上半个球体：53求二重积分，其中D是由直线y2,y=x及y=2x所围成的闭区域。 54. 计算其中L是y=x2和y2=x所围区域的边界曲线的正向。55. 求二重积分，D由 围成。56.利用极坐标计算二次积分。57. 求曲面与曲面所围立体的体积。58.求，为由与轴围成的区域。59求，其中为以点为顶点的三角形区域.60求，。61. 设为立方体：，（），求三重积分65. 求使 ，其中D：（）。63.设有圆形簿片D：，其面密度为，求簿片的质量。64.利用柱坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的区域。65设是由及所围的有界闭区域，计算。66. 用格林公式计算，其中L为圆周上从点0（0，0）顺时针到点A（2，0）这段曲线。67用格林公式计算，其中L为圆周上从点0（0，0）顺时针到点A（2，0）这段曲线。68计算，其中L是从A(1.0)沿半圆周逆时针到B(1，0)69. 计算曲线积分 ，L是正向圆周 70. 验证是某个函数的全微分，并求出它的一个原函数。71.求曲线积分 ，其中L是在圆周上由点(0，0)顺时针到点(1，1)的弧段。72计算，其中L是沿曲线逆时针方向一周。73求曲线积分，其中与x轴所围曲线,取正向。74.试计算，其中为曲线上相应于从0变到的这段弧。75.求由曲面z=x2+y2与z=4所围立体的体积。76.计算其中L是在圆周由点顺时针到点的一段弧.77.求曲面积分，其中为球面在第一卦限部分的外侧.78计算，其中L是从A(1，0)沿半圆周 到B(1，0)。79求 ，其中L的方程为。80试用高斯公式计算，其中光滑曲面围成的的体积为V。81计算曲线积分，是由和所围区域的正向边界线。82.计算，其中光滑曲面围成的的体积为V。83.将函数展开成的幂级数。84试把展开成的幂级数。85、把展开成的幂级数。86判断级数的敛散性87判断级数的敛散性88求幂级数 的收敛区间及和函数。89.判别级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？90. 求微分方程满足初始条件的特解。91.求微分方程满足初始条件的特解。92.求微分方程的通解。93.求微分方程满足初始条件的特解。94.求微分方程满足初始条件的特解。95求微分方程的通解。四、综合题1证明极限不存在。2.设 ，其中具有二阶连续偏导数，求，。3.设，其中具有二阶连续的偏导数，求。4.设 可微，求5. 设，求函数。6. 设函数由方程确定，证明：7设试求二元函数 8、 证明：9平面薄片由围成，其上各点的面密度等于该点到x轴的距离，试求薄片的质量。10现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？并求最大体积。11. 要造一个容积为k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。12.求在点处沿下列方向的方向导数：（1）沿向量；（2）沿梯度方向的方向导数.13计算，其中L为有向折线OAB，这里O，A，B依次是点（0,0），（1，0），（1,1）。14.证明： 。15.设在上连续，求证： 16. 设在上连续，试证明：。17函数由方程=0 确定，且具有连续的偏导数，证明： 。18试求指数，使曲线积分在的区域内与路径无关。19. 设xoy平面上正向曲线L围成的区域为D，证明：。20用格林公式等两种不同的方法计算，其中是以为顶点的三角形闭区域。21用先对和先对两种方法求 ，其中D由x=0,y=和y=x围成。22.设积分区域由围成，求23.求 ，其中由曲面和平面（）围成。24.求，其中为球面及三个坐标面围成的第一卦限内的部分。25.设立体由圆锥和平面围成，（1）用重积分求的体积；（2）求的边界面的面积。26试用格林公式和曲线积分二种方法计算 ，其中为三顶点分别为和的三角形区域的正向边界线。 27.计算，其中的起点为，终点为，路径分别为（1）直线； （2）折线，点为28设曲线积分为，根据下列路径计算该曲线积分：（1）为上从点到点的曲线（2）为从点到点再到点，最后回到点的折线.29. 用曲线积分和格林公式两种方法计算 ，其中L为圆周上从点0（0，0）逆时针到点A（2，0）这段曲线。30设曲线L是从点A（0，1）到点B（1，0）的直线，试求下列曲线积分：（1） （2） 31. 已知，（1）求满足该等式的函数；（2）设曲线为上从点（1，1）到点（0，0），求32.证明曲线积分在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。33. 设L是从点（1，0，1）到点（0，3，6）的直线段，试求三元函数的第一类曲线积分 34设平面薄片所占的闭区域D由抛物线和直线所围成，它在点(x,y)处的面密度，试求（1）该薄片的质量； （2）该薄片的的质心。35. 用格林公式等两种方法计算 ，其中L为圆周上从点0（0，0）顺时针到点A（2，0）这段曲线。36计算二重积分：（1）是由和围成的面积小的那部分区域。（2）是由围成的区域。37. 设积分区域：，试从直角、柱面二个坐标系，把化成二种形式的三次积分。38.设收敛，试证明：绝对收敛. 39.将函数 展开成 的幂级数，并求出收敛区间。40.将函数展开成的幂级数。41证明级数是收敛的，并求出其和。42、求幂级数的收敛域43.试讨论级数的敛散性。44判别下列级数的敛散性： （1）； （2）45. 求幂级数的和函数和收敛区间。46.证明正项级数是收敛的.47 证明：48. 求微分方程满足初始条件的特解。49.求微分方程的通解。50. 求方程的解。