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2015普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A= A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)(2)若a实数，且 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量A. -1 B. 0 C. 1 D. 2(5)设若A. 5 B. 7 C. 9 D. 11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. B. C. D. (7)已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为A. B. C. D. (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为开始输入a,babab输出a 是 否 是 否结束b=b-aa=a-b A. 0 B. 2 C. 4 D.14(9)已知等比数列CA. 2 B. 1 C. D. （10）已知A,B是球O的球面上两点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A. 36 B. 64 C. 144 D.256(11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记（12）设函数A. B. C. D. 第二卷填空题：本大题共4个小题，每小题5分（13）已知函数 。（14）若x,y满足约束条件 。（15）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 。（16）已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线 。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）（）求 （）若18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频 数2814106（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19. （本小题满分12分）如图,长方体中AB=16,BC=10,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.20. （本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为,点在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.21. （本小题满分12分）已知.（I）讨论的单调性；（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点, O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明.（II）若AG等于O的半径,且 ,求四边形EDCF的面积.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I）求与交点的直角坐标；（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：（I）若 ,则；（II）是的充要条件. 2015普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学答案一、选择题1、选A2、解：因为故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为6、解：如图所示，选D.7、解：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设外接圆的圆心为D，则D（1，）所以，故选B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以a=b=2，故选B.9、解：因为所以，故选C.10、解：因为A,B都在球面上，又所以三棱锥的体积的最大值为，所以R=6，所以球的表面积为S=，故选C.11、解：如图，当点P在BC上时，当时取得最大值，以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB.又函数不是一次函数，故选B.12、解：因为函数故选A.二、填空题13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为16、解：解答题17、解：（）由正弦定理得再由三角形内角平分线定理得（）18、解：（1）B地区频率分布直方图如图所示比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。（2）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6， B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19、解：（I）在AB上取点M,在DC上取点N，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面。（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即20、解、（I）如图所示，由题设得又点的坐标满足椭圆的方程，所以，联立解得： （II）设A,B两点的坐标为上面两个式子相减得：（定值）21、解：已知. （II）由（1）知，当选做题：22、（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所以AEF是等腰三角形，又AB=AC,所以（II）解：23.在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I）求与交点的直角坐标；（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.解：（I）曲线 的直角坐标方程是（II）曲线24、证明：（I）因为由题设知（II）（必要性）（充分性）若- 11 -
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