三次函数的性质-总结练习

三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆性质一 单调性以a0为例，如图1，记=b23ac为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当0时，f(x)为R上的单调递增函数；当0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值性质一的证明 f(x)的导函数为f(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b23ac)，进而易得结论例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5，求直线l的方程解 由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1性质二 对称性如图2，f(x)的图象关于点P(b3a,f(b3a)对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为f(x)=(xm)3+(xm)+n,其中0性质二的证明 由于f(x)=a(x+b3a)3+(cb23a)(x+b3a)bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(cb23a)(x+b3a)+f(b3a),于是性质二得证例2 设函数f(x)=x(x1)(xa)，a1（1）求导数f(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f(x1)+f(x2)0成立，求a的取值范围（1）解 f(x)的导函数f(x)=(x1)(xa)+x(xa)+x(x1)=3x22(a+2)x+a,而f(0)f(1)f(a)=a0,=1a0,于是f(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13)是两个极值点对应的函数图象上的点的中点于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)0,即2a+13a232a+130,结合a1，可得a的取值范围是2,+)注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题性质三 切割线性质如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标图3 切割线性质推论1 设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4图4 切割线性质推论一推论2 设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x10时，bma0时为1个公共点，bma=0时为2个公共点，bma0时为3个公共点；当a0时为3个公共点，bma=0时为2个公共点，bma0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：ab0曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1（1）确定b,c的值；（2）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2)证明：当x1x2时，f(x1)f(x2)；（3）若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围解 （1）f(x)的导函数为f(x)=x2ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（2）函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2at)(xt)+13t3a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根考虑f(x1)f(x2)=(x21ax1)(x22ax2)=(x1x2)(x1+x2a),而23x31a2x21+1=0,23x32a2x22+1=0,两式相减并约去x1x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2x1x2(x1+x2)214(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2a,进而可得f(x1)f(x2).（3）函数f(x)的对称中心为(a2,a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为y=a24(xa2)a312+1,根据性质四的结论 ，可得12233,即a的取值范围是(233,+)注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）练习题练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f(1)=0（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间；（3）令a=1，设函数f(x)在x1,x2（x1x2）处取得极值，记点M(x1,f(x1)，N(x2,f(x2)，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为、2、求|的取值范围练习3、如图8，记原点为点P1(x1,y1)，由点P1向三次函数y=x33ax2+bx（a0）的图象（记为曲线C）引切线，切于不同于点P1的点P2(x2,y2)，再由点P2引此曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3)如此继续作下去，得到点列Pn(xn,yn)试回答下列问题：图8（1）求数列xn的递推公式与初始值；（2）求limn+xn，并指出点列Pn的极限位置在何处？练习4、已知f(x)=x3x，过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当x0(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积练习5、已知函数f(x)=2x33x（1）求f(x)在区间2,1上的最大值；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；（3）问过点A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f(1)=0（1）试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；（2）令a=1设函数f(x)在x1,x2（x1x2）处取值极值，记点M(x1,f(x1)，N(x2,f(x2)，P(m,f(m)，x1mx2请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解答以下问题： 若对任意的m(t,x2，线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t的最小值； 若存在点Q(n,f(n)，x1nm，使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必写出求解过程）练习题的参考答案练习1、（1）f(x)的导函数为f(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a1.（2）在（1）的基础上，有f(x)=(x+1)(x+2a1),于是当a1时，函数f(x)的单调递增区间是(12a)和(1,+)，单调递减区间是(12a,1)（3）此时f(x)=13x3x23x,而f(x)=x22x3,于是M(1,53)，N(3,9)根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,113)注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数f(x)=3x2+2bx+c的零点，于是c=0又f(2)=0，于是8+4b+d=0,即d=4b8,从而f(x)=x3+bx2(8+4b)=(x2)x2+(b+2)x+2b+4,因此()2=(+)24=(2b)216.另一方面，由f(x)在(0,2)上是减函数得f(2)0，即12+4b0,于是可得b的取值范围是b3.从而|的取值范围是3,+)练习3、（1） 根据已知，联立P1出发的切线方程与曲线C的方程，得(xx1)(xx2)2=0,又x1=0，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得n3nN,2xn=xn1+xn2.于是数列xn的递推公式与初始值为xn=xn1+xn22,n3nN,x1=0,x2=32a.（2）由数列的递推公式不难得到通项nN,xn=a1(12)n1,于是limn+xn=a.因此点列Pn的极限位置为(a,2a3+ab)，也就是三次函数的对称中心练习4、函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=x,于是根据性质四的结论 ，我们可得所求区域面积为10x3x(x)dx=10x3dx=14.练习5、（1）f(x)的导函数f(x)=6x23,于是可得f(x)在区间2,1上的最大值为maxf(22),f(1)=2.（2）函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=3x,根据性质四的结论 ，可得3tf(1),即3t1时，函数f(x)的单调递增区间为(,12a)和(1,+)，单调递减区间为(12a,1)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为R；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(12a,+)，单调递减区间为(1,12a)（2）t的最小值为2，证明从略；m的取值范围为(1,3注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）10