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第8讲 高考中常用数学的方法-配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A)(B)(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得： 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ,应选C.例2设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是( ). (A)1(B)(C)2(D)分析及解：欲求(1),而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90,得(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,故 , 选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为,a=2b,因此所求双曲线方程可写成： (1),故只需求出a可求解.设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|= (2),点Q(x,y)在双曲线上,(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有(ya或y-a).二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域ya或y-a,因此,需对a4与a4分类讨论.(1)当a4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,令,得a2=4所求双曲线方程为.(2)当a4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,令,得a2=49,所求双曲线方程为.注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y=f(x)=ax+b (a0),可知 ,.比较系数可知： 解此方程组,得 ,b=2,所求f(x)=.例5如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x0,y0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.分析及解：设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y) (1)此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2)这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数,0x3,0y3,3t,当t=4时,SABCD的最小值为.此时注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.例6设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若3,求k的取值范围.解：3,以,代入整理得(k2-2)25,又=4k2-160,解得k(-),+.例7点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.解：点P(x,y)在椭圆上移动, 可设 于是 = = 令, ,|t|. 于是u=,(|t|). 当t=,即时,u有最大值. =2k+(kZ)时,.例8过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.解：设A(x1,y1),B(x2,y2) 直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方程整理得 (*)由韦达定理,(1),(2) 又F(1,0)且AFBF, 即 , 将,代入上式整理得 , 将(1)式,(2)式代入,解得 . 故直线l的倾斜角为或.注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.例9设集合A=(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；(2)当aB时,不等式x2-5x-60且方程化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,则=0 或即a=1或a0,从而B=(-,01.(2)当a=1时,x0恒成立,故 4.综上讨论,x的取值范围是(,4).
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