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3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型一、点击考点1数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。例某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离(km)表示为时间(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速(km/h)表示为时间(h)的函数，并画出函数的图象.解汽车离开A地的距离km与时间h之间的关系是：它的图象右如图所示.速度km/h与时间t h的函数关系是： 它的图象如右图所示2数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。例渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围.例（1）；（2）当时，取得最大值（3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即因为当时，所以联想到“”这一等价转化命题，则有，解得但，从而得思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？3数学模型为指数函数的问题一般地，形如的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数作为模型的应用问题很常见.例某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：）分析每次过滤杂质含量降为原来的，过滤次后杂质含量为，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型.解析依题意，得，即.则，故考虑到，即至少要过滤8次才能达到市场要求。4数学模型为对数函数的问题形如（且）的函数叫做对数函数，时，此函数为增函数；时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。例在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(m/s)和燃料的质量(kg)、火箭（除燃料外）的质量(kg)的关系当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？解由，即，利用计算器算得例某城市现有人口100万，如果20年后该城市人口总数不超过120万，年自然增长率应控制在多少以内？解设年自然增长率为，依题意有：由计算器计算得%。答：年自然增长率应控制在0.9%以内。5比较函数模型的增长趋势比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：（1）不等式的方法，即作差比较或解不等式；（2）结合函数的图象，数形结合的方法。例为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间(分)与通话费(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费、与通话时间之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.分析由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题.解（1）由图象可设，把点、分别代入所设两函数式中得（2）令，即，即当时，两种卡收费一致；当时，即“如意卡”便宜；当时，即“便民卡”便宜.6、分段函数问题；考题1“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为全月总收入1000元，税率见下表：级数全月应纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%45%9超过100000元部分（1）若应纳税额为，试用分段函数表示13级纳税额的计算公式.（2）某人2000年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？解析（1）依税率表，有第一级：第二级：第三级：即 （2）这个人10月份纳税所得额答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元。考题2某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司的年产量为（单位：百件）时，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量的函数.（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？解析（1）当时，产品全部出售，当时，产品只能出售500件.（2）当时，当时，有最大值当时，为单调减函数，又，此时（件），当年产量为475件时，利润最大.第三章 单元知识梳理与能力整合一、考点聚焦二、基本思想总结1数形结合的思想数形结合的思想是本章重要的数学思想。例1某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量(件)与销售单价(元/件)可近似看作一次函数的关系（如图所示）。（1）根据图象，求一次函数的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价成本总价）为S元。试用销售单价表示毛利润S；试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解析（1）由图象知，当时，；当时，代入中，得解得（2）销售总价=销售单价销售量=，成本总价=成本单价销售量=500，代入求毛利润的公式，得当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件。点评数形结合有两类题型，一类是函数关系是由图形给出的，另一类是函数关系是一种定性的变化关系，反映在图形上又是怎样的要能正确判断。2用函数与方程的思想解题例1利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.1）.解析设，先画出函数图象的草图，如图的示.因为所以在区间上，方程有一解，记为取2与3的平均数2.5因为，所以再取2与2.5的平均数2.25因为，所以如此继续下去，得因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。点评利用函数图象的性质求方程的根，这是因为若，且在内单调，则必存在一个，使成立。三、基本方法总结1方程的根与函数的零点：方程有实数根函数的图象与轴有交点有零点.2零点判断法如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。3用二分法求零点的近似值的步骤：第1步：确定区间，验证0，给定精确度；第2步：求区间的中点；第3步：计算；（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令此时零点；（3）若，则令此时零点.第4步：判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）（4）。4函数模型的应用实例解函数应用问题，一般地可按以下四步进行。第一步，阅读理解、认真审题。就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试找出问题的函数关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化。第二步：引进数学符号，建立数学模型。一般地设自变量为，函数为，并用表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：再转译成具体问题作出回答。四、典型例题1读图识图题这类问题是将实际问题用图象表示出来，让同学们根据题意作出符合题意的图象，能够考查学生的读图和识图能力。例1（1）图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有（ ）这几年人民的生活水平逐年得到提高；人民生活费收入增长最快的一年是1998；虽然2000年生活费收入增长是缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民的生活仍有较大改善。A1项B2项C3项D0项解析本题主要考查阅读理解能力以及函数曲线变化的观察识别能力，根据图象（如图），“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故正确；“生活费收入指数”1998年1999年最“陡”，故正确，生活价格指数下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故正确，选C。（2）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫，下列各图能基本上反映出亮亮这一天（0时24时）体温的变化情况是（ ）.降上午降半夜升下午解析从亮亮的体温变化，可看出图象应为：早晨37以上 37(中午) 晚上37以上 37，故选C。例2甲、乙两人连续6年对某农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息如图所示。甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只。乙调查表明：甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明：（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；（2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；（3）哪一年的规模最大？说明理由。解析首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了。（1）由图可知，直线，经过(1,1)和(6,2)可求得同理可得第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为（万只）.（2）规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只。（3）设第年规模最大，即求的最大值.当年，最大.即第二年规模最大，为31.2万只。2与几何图形有关的应用问题我们还会经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关，在求数学模型时，要注意平面几何的有关性质的应用。例1设计一个水槽，其横截面为等腰梯形（如图所示），要求满足条件AB+BC+CD=（常数），写出横截面积与腰长间的关系式，并求它的定义域和值域。解设，则，作于，于是故梯形面积由实际问题的意义可知：又当时，有最大值，即值域为例2某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（尺寸如图，单位：m）.解析当一端点在BC上，只有在B点时长方形BB1DC的面积最大，m2.当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形的面积最大，m2.当一端点在AB边上时，设该点为M，如图构造长方形，并补出长方形，设又且，当时，比较，得最大，此时m，m.故当长方形一端落在AB边上离B点m处时，公寓占地面积最大。3、已知和选择函数模型题例1某地上年度电价为0.8元，年用量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量(亿度)与元成反比例，又当元时，（1）求与之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0.3，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益=用电量(实际电价成本价)解析（1）与成反例，设把代入上式，得即与之间的函数关系式为（2）依题意得，得整理，得. 解得经检验都是所列方程的根，因的取值范围是之间，故不符合题意，应舍去.所以，取答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。例2根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番，问这20年间，年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？解析这是一个增长率问题，按照每年的顺序，借助指数函数的性质逐步推导出公式，从而建立目标函数.解：设平均每年的增长率为从2000年到2020年共计21个年头，若2000年工农业总产值为1，则2001，2002，2003，的年总产值分别为第个年头为根据题意，有两边取对数得 ，即平均每年增长7.2%，就可完成第二阶段的任务。例3某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产量销售情况良好，为了推销员在推销产品时，接收定单不至少过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？解析首先建立直角坐标系，画出散点图（如图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数：；二次函数： ；幂函数型：；指数函数型：最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数。解：设月产量为万件，月份数为，建立直角坐标系，可得（1）对于直线，将B、C两点的坐标代入，有，解得，故将A、D两点的坐标代入，得，与实际误差为0.1，与实际误差为0.03.（2）对于二次函数，将A、B、C三点的坐标代入，有解得 故 将D点的坐标代入，得，与实际误差为0.07.（3）对于幂函数型，将A、B两点的坐标代入，有解得故 将C、D两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；，与实际误差为0.11.（4）对于指数函数型，将A、B、C三点的坐标代入，得，解得： 故 将D点的坐标代入，得，与实际误差为0.02。比较上述4个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而恰好反映了这种趋势，因此选用比较接近客观实际。五、同步练习1、李老师骑自行车上班，最初某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误几分钟，为了按照到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程(km)与行进时间(h)的函数图象的示意图，同学们画出的示意图如图，你认为正确的是（ ）解析李老师最初以某一速度匀速行进，则；中途停下，则（定值），至此排除A；修好车后，仍保持匀速行进，增大，排除B；修好车后，李老师加快了速度，因此，但，即这时直线的斜率变大了，因此排除D。答案C2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到, 共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从, 推出的a=_.(1994年全国高考试题)分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+(a-) 最小由于y=na-2(+)a+(+)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n0,二次函数f(a)图象开口方向向上.当a= (+)，y有最小值.所以a= (+)即为所求.3、用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用. 解：如图，设AB=2x，则CD弧长=x,于是AD=因此y=2x,即y=-再由解之得0x即函数式是y=-+mx定义域是：（0，）4、按复利计算利率的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式. 如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？解析已知本金为元.1期后的本利和为；2期后的本利和为；3期后的本利和淡；期后的本利和为将(元)，代入上式得由计算器算得(元).答案复利函数式为5期后的本利和为1117.68元.5、分别就和画出函数，的图象，并求方程的解的个数。解析利用Excel、图形计算器或其他画图软件，可以方便地画出函数的图象，随着由大变小，有下列3种情形，如图所示。根据图象，我们可以知道，当和时，方程解的个数分别是0,2,1.6、某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。解析以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如图所示：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。， 把代入式，得，解得故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用表示，再把，代入式，得，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用表示。设下月投资A种商品万元，则投资B种商品为万元，可获纯利润故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润1.1万元。
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