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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律 3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率（3）最可几速率Vp 解：（1）平均速率：(m/s) (2) 方均根速率(m/s)3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解：3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。解：代入数据则分别为：T=100K时 T=1000K时 T=10000K时 3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。解：因 由题意得： T2/T1=3-5 求0时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为v=1m/s） 解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500501m/s之间内的分子数为N，由麦氏速率分布律： N= Vp2= ，代入上式 N=因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V=500m/s，又 V=1m/s（=1.24）代入计算得：N=1.86103N个3-6 设氮气的温度为300，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数N2之比。解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, V1=V2=10m/s由5题计算过程可得：V1=N2= N/N2=其中VP=m/s =1.375，=0.687 解法2：若考虑V1=V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求N1，N2 dN= N1= N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果: N1= （1） N2=（）其中VP= 查误差函数表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722将数字代入（）、（）计算，再求得：3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1） 速率在区间vp1.0vp1内（2） 速度分量vx在区间vp1.0vp1内（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp1.0vp1内解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为N1、N2、N3（1） 由麦氏速率分布律： N=令v2=1.01vp，vi=vp，则，利用16题结果可得；查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468（2） 由麦氏速率分布律：令， ，利用误差函数：（3）令，由麦氏速度分布律得：3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：将=3.14，N=NA=6.021023T=100Km=3210-3代入上式得到常数：A= （1）为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令则得又在V=0时，y=0，V时，y0又 T1=100KT2=400K 由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值。解：3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1）（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：其中是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，是小孔面积，t=3600s，故，代入数据得： N=4.051019（个）3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：证明：设p1p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。 从1跑到2的分子数： 从2跑到1的分子数：实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）因t=1秒，T1=T2=T若P2P1，则M0，表示分子实际是从2向1转移。3-12 有N个粒子，其速率分布函数为(1) 作速率分布曲线。(2) 由N和v0求常数C。(3) 求粒子的平均速率。解：（1） 得速率分布曲线如图示（2）即 （3）3-13 N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当vv0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。（3） 求分子的平均速率。 解：由图得分子的速率分布函数： () () f(v)= ()(1) (2) 速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数 3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： 其中 证明：3-15设气体分子的总数为N，试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为：（提示：速度的x分量在0到之间的分子数为）证明：由于速度的x分量在区间vxvx +dvx内的分子数为：故在vx范围内的分子数为： 由题意：令利用误差函数得：3-16 设气体分子的总数为N，试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为：其中，vp为最可几速率。提示：证明：令 ，则由提示得：3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子数占总分子数的比率。 解：设总分子数N，速度分量vx大于2 vp的分子数由15题结果得：其中可直接查误差函数表得：erf（2）=0.9952也可由误差函数： erf（z）=将z=2代入计算得：erf（2）=0.97523-18 设气体分子的总数为N，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=vp（2）v=2vp，具体算出结果来。解：（1）v=vp时，速率大于vp的分子数：利用16题结果：这里（2）v=2vp时，则速率大于2vp的分子数为：3-19 求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。解：由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为：在垂直x轴向取器壁面积dA，则速率大于v能与dA相碰的分子，其vx仍在0间，由热学P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为： 3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K，转筒的直径为D=10cm，转速为=200l/s，试求铋原子Bi和Bi2分子的沉积点P到P点（正对着狭缝s3）的距离s，设铋原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动。解：铋蒸汽通过s3到达P处的时间为：在此时间里R转过的弧长为： 代入数据得：3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为270C；起飞后压力计指示为0.80atm，温度仍为27 0C，试计算飞机距地面的高度。 解：根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - H = - In 其中In =In = -0.223，空气的平均分子量u=29.H= 0.223 =2.0103(m)3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0 0C. 解：由题意知： =0.75 故H = -In 代入数据得：H =2.3103(m)3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97. 解：H = - In 代入数据得：H=2.0103(m)3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。 解：（1） x= -vx2f(vx)dv x =2 0vx2( ) e - vx2dv x = v -1p 0vx2 e - vx2dv x查热学附录3-1表得： x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x= (2)分子总的平动能： 2= 2= = m x= 同理得： = = 可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于 KT.3-25 令= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间+d内的分子数占总分子数的比率为：f()d= (KT) -3/2 e-/KTd 根据上式求分子平动能的最可几值。 证明：（1） f(v)dv =4( )3/2e v2v2dv = (KT) -3/2( v2)1/2e-mv2/2KTd( ) = mv2 故上式可写作： F()d= (KT) -3/2 e -/KTd(2) 求最可几值即f()为极大值时对应的值。 = (KT) -3/2 e -/KT(- )+e- - = (KT) -3/2e - ( - - /KT)=0 - - =0 得: p = = 3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？ 解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。 由能均分定理得： = RT = 8.31300 = 3.74103 (J) = RT = 8.31300 = 2.49103(J) 3-27 在室温300K下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少？一克氢和一克氮的内能各是多少？ 解：U氢= RT =6.23103(J) U氮= RT =6.23103(J) 可见，一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关。 一克氧和一克氮的内能： U= U氢= = = 3.12103(J) U氮= = = 2.23103(J)3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热 解：设Cv1 、Cv2 分别为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。在常温下可忽略振动自由度，则有： Cv1= R =3R Cv1= = Cv2= R =2.5R Cv2= = Cv = = = ( + ) = 5.9 (J/gK)3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定容比热Cv = 75CalKg-1K-1,求氩原子的质量和氩的原子量. 解：（1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说： Cv = (t+r+2s)R 分子质量m = = = (t+r+2s)R = (t+r+2s) (Cv=75cal/kgk) (2) 氩是单原子分子，故Cv = R =3(Cal/molK) 故氩的原子量u= = 4.010-2(Kg/mol) 分子质量m= = 6.610-26(Kg)3-30 某种气体的分子由四个原子组成，它们分别处在正四面体的四个顶点： （1）求这种分子的平动、转动和振动自由度数。 （2）根据能均分定理求这种气体的定容摩尔热容量。 解：（1）因n个原子组成的分子最多有3n个自由度。其中3个平动自由度，3个转动自由度，3n-1个是振动自由度。这里n=4，故有12个自由度。其中3个平动、个转动自由度，6个振动自由度。 (2) 定容摩尔热容量： Cv= (t+r+2s)R = 182= 18（Cal/molK）
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