2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析 目录第一部分 第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题 / 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题 / 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题 / 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题 / 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题 / 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题 / 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题 / 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题 / 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题 / 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题 / 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题 / 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题 / 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题 / 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题 / 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题 / 48例 2016年上海市崇明县中考一模第24题如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC4OA（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM/BC交射线AC于M，联结CP，若CPM的面积为2，则请求出点P的坐标 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，CPM的面积为2满分解答（1）由C(0, 4)，OC4OA，得OA1，A(1, 0)设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，代入点C(0, 4)，得43a解得所以顶点坐标为（2）如图2，设P(m, 0)，那么APm1所以SCPA2m2由PM/BC，得又因为，所以SCPM 如图2，当点P在AB上时，BP3m解方程2，得m1此时P(1, 0)如图3，当点P在AB的延长线上时，BPm3解方程2，得此时P图2 图3 例 2016年上海市崇明县中考一模第25题如图1，已知矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EFAE交AC、CD于点M、F，过点B作BGAC，垂足为G，BG交AE于点H（1）求证：ABHECM；（2）设BEx，y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BHE为等腰三角形时，求BE的长图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，有三个时刻，BHE可以成为为等腰三角形 满分解答（1）如图2，因为1和2都是BAC的余角，所以12又因为BAH和CEM都是AEB的余角，所以BAHCEM所以ABHECM图2 图3（2）如图3，延长BG交AD于N在RtABC中，AB6，BC8，所以AC10在RtABN中，AB6，所以ANABtan1，BN如图2，由AD/BC，得由ABHECM，得所以y定义域是0x8（3）如图2，由AD/BC，得所以所以在BHE中，BEx，cosHBE，分三种情况讨论等腰三角形BHE：如图4，当BEBH时，解方程，得x3如图5，当HBHE时，解方程，得如图6，当EBEH时，解方程，得图4 图5 图6 例 2016年上海市奉贤区中考一模第24题如图1，二次函数yx2bxc的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且BAO45（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况满分解答（1）因为抛物线yx2bxc与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以yx(x2)(x1)21顶点C的坐标为(1,1)（2）如图2，作BHx轴于H设B(x, x22x)由于BAH45，所以BHAH解方程x22x2x，得x1，或x2 所以点B的坐标为(1, 3) 图2BDC90 如图3，由A(2, 0)、C(1,1)，可得CAO45因此BAC90所以当点D与点A(2, 0)重合时，BCD是直角三角形BCD90由A(2, 0)、B(1, 3)，可得直线AB的解析式为yx2【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D设D(m,m2 )由BD2BC2CD2，得(m1)2(m1)22242(m1)2(m3)2解得此时点D的坐标为【解法二】构造BMCCND，由，得解得图2 图3 图4 例 2016年上海市奉贤区中考一模第25题如图1，在RtABC中，ACB90，AB5，BC3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CECD，联结DE，使得EDCA，联结BE（1）求证：ACBEBCAD；（2）设ADx，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当SBDESABC时，求tanBCE的值图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，ABC与DEC保持相似，ACD与BCE保持相似，BDE是直角三角形 满分解答（1）如图2，在RtBAC和RtEDC中，由tanAtanEDC，得如图3，已知ACBDCE90，所以12所以ACDBCE所以因此ACBEBCAD图2 图3（2）在RtABC中，AB5，BC3，所以AC4所以SABC6如图3，由于ABC与ADC是同高三角形，所以SADCSABCADABx5所以SADC所以SBDC由ADCBEC，得SADCSBECAC2BC2169所以SBECSADC所以SS四边形BDCESBDCSBEC定义域是0x5（3）如图3，由ACDBCE，得，ACBE由，得BE由ACBE，A与ABC互余，得ABE90（如图4）所以SBDE当SBDESABC时，解方程，得x1，或x4图4 图5 图6作DHAC于H如图5，当xAD1时，在RtADH中，DHAD，AHAD在RtCDH中，CHACAH，所以tanHCD如图6，当xAD4时，在RtADH中，DHAD，AHAD在RtCDH中，CHACAH，所以tanHCD3综合、，当SBDESABC时， tanBCE的值为或3 例 2016年上海市虹口区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3与x轴分别交于点A(2, 0)、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，tanCBA（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC为直角边的直角三角形BCE有2个 满分解答（1）由yax2bx3，得C(0, 3)，OC3由tanCBA，得OB6，B(6, 0)将A(2, 0)、B(6, 0)分别代入yax2bx3，得 解得，b2所以（2）如图2，顶点D的坐标为(4,1)S四边形ACBDSABCSABD4（3）如图3，点E的坐标为(10, 8)或(16, 35)思路如下：设E当CBE90时，过点E作EFx轴于F，那么所以EF2BF解方程，得x10，或x4此时E(10, 8)当BCE90时，EF2CF解方程，得x16，或x0此时E(16, 35)图2 图3 例 2016年上海市虹口区中考一模第25题如图1，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H设（1）当x1时，求AGAB的值；（2）设y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH3HC时，求x的值图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD时，G是AD的中点，GDH与EBA保持相似还可以体验到，DH3HC存在两种情况满分解答（1）如图2，当x1时，ADAB，F是AE的中点因为AD/CB，所以AGBE所以AGAB12（2）如图3，已知，设ABm，那么ADxm，BE由AD/BC，得所以所以DG图2 图3 图4如图4，延长AE交DC的延长线于M因为GH/AE，所以GDHADM因为DM/AB，所以EBAADM所以GDHEBA 所以y（3）如图5，因为GH/AM，所以因为DM/AB，E是BC的中点，所以MCABDCDH3HC存在两种情况：如图5，当H在DC上时，解方程，得如图6，当H在DC的延长线上时，解方程，得图5 图6 例 2016年上海市黄浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax23axc与x轴交于A(1, 0)、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0, 2)（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）求证：CAOBCO；（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BEOD，垂足为BOD外一点E，若BDE与ABC相似，求点D的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D在射线BC上运动，可以体验到，当点E在BOD外时，有两个时刻，RtBDE的两条直角边的比为12满分解答（1）由yax23axc，得抛物线的对称轴为直线因此点A(1, 0)关于直线的对称点B的坐标为(4, 0)（2）如图2，因为tanCAO，tanBCO，所以CAOBCO（3）由B(4, 0)、C(0, 2)，得直线BC的解析式为设D以ABC（OBC）为分类标准，分两种情况讨论：如图3，当OBCDBE时，由于OBC与OCB互余，DBE与ODC互余，所以OCBODC此时ODOC2根据OD24，列方程解得x0，或此时D如图4，当OBCEDB时，ODOB4根据OD216，列方程解得x4，或此时D图2 图3 图4 例 2016年上海市黄浦区中考一模第25题如图1，已知直线l1/l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，ACBC，ABC60，AB4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将DOC沿直线CO翻折，点D与点D重合（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD分别交直线l1、l2于点M、N如图2，当点E在线段AM上时，设AEx，DNy，求y关于x的解析式及定义域；若DON的面积为，求AE的长图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD与AB保持平行，BON与BDO保持相似还可以体验到，有两个时刻DN3满分解答（1）如图3，在RtABC中，ABC60，AB4，O是AB的中点，所以OBC是边长为2的等边三角形又因为DOC与DOC关于CO对称，所以BCD120，CDCD所以AB/DC当点D 落在直线l1上时， AD/BC所以四边形ABCD是平行四边形所以CDBA4此时BDCDCBCDCB422 图3（2）如图4，由于AE/BD，O是AB的中点，所以AEBDx因为AB/DC，所以AOM2又因为AOMBON，21，所以BON1又因为OBNDBO，所以BONBDO所以因此于是得到定义域是0x2在DON中，DN边上的高为当SDON时，DN3有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN3，解得x1，或x4此时AE1情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由，得于是得到当DN3时，解得x4，或x1此时AE4图4 图5 例 2016年上海市嘉定区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(4, 0)、点C(0,4)，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC、BC，求ACB的正弦值；（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（m0），过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q，如果QPOBCO，求m的值 图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QOQPOBOC满分解答（1）将A(4, 0)、C(0,4)分别代入，得解得b1，c4所以点B的坐标是(2, 0)，顶点坐标是（2）由A(4, 0)、B(2, 0)、C(0,4)，得AC，BC，AB6，CO4作BHAC于H由SABC得因此sinACB（3）点P的坐标可以表示为由tanQPOtanBCO，得所以QP2QO解方程，得 图2所以点P的横坐标m 例 2016年上海市嘉定区中考一模第25题如图1，已知ABC中，ABC90，tanBAC点D在AC边的延长线上，且DB2DCDA（1）求的值；（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE，过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G如图2，当CE3BC时，求的值；如图3，当CEBC时，求的值图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E运动，可以体验到，当CE3BC时，BD/AE，BG是直角三角形ABE斜边上的中线当CEBC时，ABFBEH，AF2EH4CF满分解答（1）如图1，由DB2DCDA，得又因为D是公共角，所以DBCDAB所以又因为tanBAC，所以，所以所以（2）如图4，由DBCDAB，得12当BFCA时，13，所以23因为，当CE3BC时，得所以BD/AE所以，2E所以3E所以GBGE于是可得GB是RtABE斜边上的中线所以所以如图5，作EHBG，垂足为H当CEBC时，CF是BEH的中位线，BFFH设CFm由tan1tan3，得BF2m，AF4m所以FH2m，EH2m，DC因此所以所以于是图4 图5 例 2016年上海市静安区青浦区中考一模第24题如图1，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图像与y轴相交于点C，与直线相交于点A、D，CD/x轴，CDAOCA（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，AOB与COA相似 满分解答（1）由，得A(2, 0)，B(0, 1)所以OA2，OB1由于CD/x轴，所以CDA1又已知CDAOCA，所以1OCA由tan1tanOCA，得所以解得OC4所以C(0, 4)（2）因为CD/x轴，所以yDyC4 图2解方程，得x6所以D(6, 4)所以抛物线的对称轴为直线x3因此点A(2, 0)关于直线x3的对称点为(8, 0)设抛物线的解析式为ya(x2)(x8)代入点C(0, 4)，得416a解得所以 例 2016年上海市静安区青浦区中考一模第25题如图1，在梯形ABCD中，AD/BC，ACBC10，cosACB，点E在对角线AC上，且CEAD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G设ADx，AEF的面积为y（1）求证：DCAEBC；（2）当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果DFG是直角三角形，求AEF的面积图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D运动，可以体验到，直角三角形DFG存在两种情况 满分解答（1）如图2，因为AD/BC，所以DACECB又因为ACCB，ADCE，所以ADCCEB所以DCAEBC（2）如图3，作EHBC于H在RtEHC中，CEx，cosECB，所以CH，EH所以SCEB3x因为AD/BC，所以AEFCEB所以所以定义域是0x定义域中x的几何意义如图4，D、F重合，根据，列方程图2 图3 图4（3）如图5，如果FGD90，那么在RtBCG和RtBEH中，tanGBC由（1）得ACDCBE由cosACDcosCBE，得所以因此解得x5此时SAEF如图6，如果FDG90，那么在RtADC中，ADACcosCAD8此时SAEF图5 图6 例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，如果四边形POPC为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，请求出此时点P的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POPC为菱形时，PP垂直平分OC还可以体验到，当点P与抛物线的顶点重合时，或者点P落在以BC为直径的圆上时，PCB是直角三角形满分解答（1）将B(3, 0)、C(0,3)分别代入yx2bxc，得解得b2，c3所以二次函数的解析式为yx22x3（2）如图2，如果四边形POPC为菱形，那么PP垂直平分OC，所以yP解方程，得所以点P的坐标为图2 图3 图4（3）由yx22x3(x1)(x3)(x1)24，得A(1, 0)，顶点M(1,4)在RtAOC中，OAOC13分两种情况讨论PCB与AOC相似：如图3，作MNy轴于N由B(3, 0)、C(0,3)，M(1,4)，可得BOCMCN45，所以BCM90又因为CMCB13，所以当点P与点M(1,4)重合时，PCBAOC 如图4，当BPC90时，构造AEPPFB，那么设P(x, x22x3)，那么化简，得解得此时点P的横坐标为而是个无理数，所以当BPC90时，PCB与AOC不相似 例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ABC90，对角线AC、BD交于点G，已知ABBC3，tanBDC，点E是射线BC上任意一点，过点B作BFDE，垂足为F，交射线AC于点M，交射线DC于点H（1）当点F是线段BH的中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BEx，CMy，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）联结GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，点G是BD的一个三等分点，CH始终都有CE的一半还可以体验到，GF可以与BC垂直，也可以与DC垂直 满分解答（1）在RtBCD中，BC3，tanBDC，所以DC6，DB如图2，当点F是线段BH的中点时，DF垂直平分BH，所以DHDB此时CHDBDC图2 图3（2）如图3，因为CBH与CDE都是BHD的余角，所以CBHCDE由tanCBHtanCDE，得，即又因为CH/AB，所以，即因此整理，得x的取值范围是0x3（3）如图4，不论点E在BC上，还是在BC的延长线上，都有，如图5，如果GFBC于P，那么AB/GF/DH所以所以BP1，由PF/DC，得，即整理，得解得此时如图6，如果GFDC于Q，那么GF/BE所以所以DQ4，由QF/BC，得，即整理，得解得此时 图4 图5 图6例 2016年上海市浦东新区中考一模第24题如图1，抛物线yax22axc（a0）与x轴交于A(3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为M（1）求a、c的值；（2）求tanMAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，COP与ABC相似存在两种情况 满分解答（1）将A(3,0)、C(0,3)分别代入yax22axc，得解得a1，c3（2）由yx22x3(x1)24，得顶点M的坐标为(1,4)如图2，作MNy轴于N由A(3,0)、C(0,3)、M(1,4)，可得OAOC3，NCNM1所以ACOMCN45，AC，MC所以ACM90因此tanMAC（3）由yx22x3(x3)(x1)，得B(1, 0)所以AB4如图3，在COP与ABC中，OCPBAC45，分两种情况讨论它们相似：当时，解得此时点P的坐标为(2,1)当时，解得此时点P的坐标为图2 图3例 2016年上海市浦东新区中考一模第25题如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与A、D不重合），EBM45，BE交对角线AC于点F，BM交对角线于点G，交CD于点M（1）如图1，联结BD，求证：DEBCGB，并写出的值；（2）如图2，联结EG，设AEx，EGy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M为边DC的三等分点时，求SEGF的面积图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，EBD与GBC保持相似，EBG保持等腰直角三角形 满分解答（1）如图3，因为EBMDBC45，所以12又因为EDBGCB45，所以DEBCGB因此图3 图4（2）如图3，由DEBCGB，得又因为EBMDBC45，所以EBGDBC（如图4）所以EBG是等腰直角三角形如图4，在RtABE中，AB6，AEx，所以BE所以yEGBE定义域是0x6（3）如图5，由于SEGBEG2，所以由（1）知，DECG，所以 xAEADDE如图6，当时，所以此时xAE3所以所以所以如图7，当时，所以此时xAE所以所以所以图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG：如图8，作GHEB于H，那么GBH是等腰直角三角形一方面，另一方面，所以于是可得EBGGBH所以EBG是等腰直角三角形如图9，第（2）题也可以构造RtEGN来求斜边EGy：在RtAEN中，AEx，所以ANEN又因为CG，所以GNACANCG所以yEG如图10，第（2）题如果构造RtEGQ和RtCGP，也可以求斜边EGy：由于CG，所以CPGP所以GQPD，EQ所以yEG图8 图9 图10 例 2016年上海市普陀区中考一模第24题如图1，已知二次函数的图像经过A(0, 8)、B(6, 2)、C(9, m)三点，延长AC交x轴于点D（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与MDQ相似，求此时点P的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q在线段AD上运动，可以体验到，APQ与MDQ相似只存在一种情况 满分解答（1）将A(0, 8)、B(6, 2)分别代入，得解得，c8所以二次函数的解析式为所以（2）由A(0, 8)、C(9, 5)，可得直线AC的解析式为所以D(24, 0)因此cotADO3（3）如图2，如果APQ与MDQ相似，由于AQPMQD，PAQ与DMQ是钝角，因此只存在一种情况，APQMDQ因此APQD作BNy轴于N，那么BPND因此cotBPNcotD3所以PN3BN18此时点P的坐标为(0, 20)图2 例 2016年上海市普陀区中考一模第25题如图1，已知锐角MBN的正切值等于3，PBD中，BDP90，点D在MBN的边BN上，点P在MBN内，PD3，BD9直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设（1）求x2时，点A到BN的距离；（2）设ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C运动，可以体验到，AH与BH的比值tanB3为定值，AH与PD的比值CACPx满分解答（1）如图2，作AHBC于H，那么PD/AH因此所以AH2PD6，即点A到BN的距离为6图2 图3（2）如图3，由，得AHxPD3x又因为tanMBN3，所以BHx设BCm由，得整理，得所以ySABC定义域是0x9x9的几何意义是点C与点H重合，此时CA27，CP3（3）在ABC中，BA，cosABC，BC如图4，当BABC时，解方程，得如图5，当ABAC时，BC2BH解方程，得x5如图6，当CACB时，由cosABC，得解方程，得图4 图5 图6 例 2016年上海市松江区中考一模第24题如图1，已知抛物线yax2bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是(3, 0)，tanOAC3（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且PABCAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上的一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与ABC相似，求出符合条件的点D的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D在y轴正半轴上运动，可以体验到，BCD与ABC相似存在两种情况 满分解答（1）由yax2bx3，得C(0,3)，OC3由tanOAC3，得OA1，A(1, 0)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)代入点C(0,3)，得a1所以y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，作PHx轴于H设P(x, (x1)(x3)由tanPABtanCAB，得所以解得x6所以点P的坐标为(6, 21)（3）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，得BA4，BC，ABCBCO45当点D在点C上方时，ABCBCD45分两种情况讨论BCD与ABC相似：如图3，当时，CDBA4此时D(0, 1)如图4，当时，解得此时D图2 图3 图4 例 2016年上海市松江区中考一模第25题已知等腰梯形ABCD中，AD/BC，BBCD45，AD3，BC9，点P是对角线AC上的一个动点，且APEB，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（2）如图2，当点E在AD的延长线上时，设APx，DEy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG时，求AE的长图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，DG存在两种情况，对应的DE也存在两种情况 满分解答（1）如图3，作AMBC，DNBC，垂足分别为M、N，那么MNAD3在RtABM中，BM3，B45，所以AM3，AB在RtAMC中，AM3，MC6，所以CA如图4，由AD/BC，得12又因为APEB，当E、D重合时，APDCBA所以因此解得此时AP（2）如图5，设（1）中E、D重合时点P的对应点为F因为AFDAPE45，所以FD/PE所以，即因此定义域是x图3 图4 图5（3）如图6，因为，所以由DF/PE，得所以由DF/PE，所以如图6，当P在AF的延长线上时，如图7，当P在AF上时，图6 图7 例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在RtAOB中，AOB90，已知点A(1,1)，点B在第二象限，OB，抛物线经过点A和B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当BOE和BCD相似时，直接写出点E的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E在射线BA上运动，可以体验到，BOE和BCD相似存在两种情况 满分解答（1）由A(1,1)，得OA与x轴负半轴的夹角为45又因为AOB90，所以OB与x轴负半轴的夹角也为45当OB时，点B到x轴、y轴的距离都为2所以点B的坐标为(2,2)（2）将A(1,1)、B(2,2)分别代入，得解得，所以抛物线的对称轴是直线x1（3）如图2，由A(1,1)、B(2,2)、C(1, 1)、D(1,1)，以及AOB90，可得BO垂直平分AC，BO，BABC，BD如图3，过点A、E作y轴的平行线，过点B作y轴的垂线，构造RtABM和RtEBN，那么设点E的坐标为(x, y)，那么图2 图3当点E在射线BA上时，EBODBC分两种情况讨论相似：当时，解得此时解得x，y0所以E（如图4）当时，解得此时解得x，y所以E（如图5）图4 图5 例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，C60，ABAD5，CBCD8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且BEQ90BAD设A、P两点间的距离为x（1）求BEQ的正切值；（2）设y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离 图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，AEPBEQABHADH，ABFBEFBDP，AEPADF 满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H因为ABAD，CBCD，所以A、C在BD的垂直平分线上所以AC垂直平分BD因此BAHBAD因为BEQ90BAD，所以BEQ90BAHABH在RtABH中，AB5，BH4，所以AH3 所以tanBEQtanABH 图2（2）如图3，由于BEQABH，BEQAEP，ABHADH，所以AEPBEQABHADH图3 图4 图5如图3，因为BFA是公共角，所以BEFABF如图4，因为DBP是公共角，所以BEFBDP所以ABFBDP所以因此所以所以如图5，因为DAF是公共角，所以AEPADF所以定义域是0x5（3）分三种情况讨论等腰AEP：当EPEA时，由于AEPADF，所以DFDA5（如图6）此时BF3，HF1作QMBD于M在RtBMQ中，QBM60，设BQm，那么，在RtFMQ中，tanMFQtanHFA3，所以QM3FM解方程，得BQm如图7，当AEAP时，E与B重合，P与D重合，此时Q与B重合，BQ0不存在PEPA的情况，因为PAEPAHAEP图6 图7 例 2016年上海市杨浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx4经过A、C两点（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P、Q在抛物线上（点P在对称轴左边），且PQ/AO，PQ2AO，求点P、Q的坐标；（3）动点M在直线yx4上，且ABC与COM相似，求点M的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M在射线CA上运动，可以体验到，ABC与COM相似存在两种情况满分解答（1）由yx4，得A(4, 0)，C(0, 4)将A(4, 0)、C(0, 4)分别代入，得解得b1，c4所以抛物线的表达式为（2）如图2，因为PQ/AO，所以P、Q关于抛物线的对称轴对称因为抛物线的对称轴是直线x1，PQ2AO8，所以xP5，xQ3当x3时，所以P，Q（3）由，得B(2, 0)由A(4, 0)、B(2, 0)、C(0, 4)，得AB6，AC，CO4当点M在射线CA上时，由于MCOBAC45，所以分两种情况讨论相似：当时，解得此时M(3, 1)（如图3）当时，解得此时M（如图4）图2 图3 图4 例 2016年上海市杨浦区中考一模第25题如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且ECFB，直线CF交直线AB于点M（1）求B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BEx，BMy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，123，MCE与MBC保持相似 满分解答（1）如图2，作ANBC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC在RtABO中，AB5，AO3，所以BO4因为S菱形ABCD，所以解得AN在RtABN中，AB5，AN，所以BN因此cosB（2）如图3，当点E与点A重合时，由于ECFB，FEC1，所以ECFABC所以，即解得由BC/AF，得，即解得图2 图3（3）如图4，因为ECFABC，根据等角的邻补角相等，得MCEMBC如图5，因为M是公共角，所以MCEMBC所以因此作MHBC，垂足为H在RtMBH中，MBy，cosMBH，所以BH，MH在RtMCH中，根据勾股定理，得MC2MH2CH2因此整理，得定义域是x5定义域中x的几何意义如图6所示，此时D、F重合，AB/CF由CFCE，CFCB，得CECB所以解得BE图4 图5 图6 例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0, 2)，对称轴为直线x1，对称轴交x轴于点E（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若EBP与ABD相似，求点P的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名