2017高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 一 解答题 共 30 小题 2 2016 广州模拟 在 ABC 中 角 A B C 对应的边分别是 a b c 已知 3cosBcosC 2 3sinBsinC 2cos2A I 求角 A 的大小 若 ABC 的面积 S 5 b 5 求 sinBsinC 的值 解 I 由 3cosBcosC 2 3sinBsinC 2cos2A 得 2cos2A 3cosA 2 0 2 分 即 2cosA 1 cosA 2 0 解得 cosA 或 cosA 2 舍去 4 分 因为 0 A 所以 A 6 分 II 由 S bcsinA bc bc 5 得 bc 20 又 b 5 所以 c 4 8 分 由余弦定理 得 a2 b2 c2 2bccosA 25 16 20 21 故 a 10 分 又由正弦定理 得 sinBsinC sinA sinA sin2A 12 分 3 2016 成都模拟 已知函数 f x cos2x sinxcosx sin2x 求函数 f x 取得最大值时 x 的集合 设 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 若 cosB f C 求 sinA 的 值 解 函数 f x cos2x sinxcosx sin2x cos2x sinxcosx cos 2x sin2x sin2x cos2x cos 2x 故函数取得最大值为 此时 2x 2k 时 即 x 的集合为 x x k k Z 设 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 若 cosB f C cos 2C cos 2C 又 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 2C C cosB sinB sinA sin B C sinBcosC cosBsinC 4 2016 台州模拟 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 且 c2 a2 b2 ab 1 求角 C 的值 2 若 b 2 ABC 的面积 求 a 的值 解 1 c 2 a2 b2 ab cosC 0 C 180 C 60 2 b 2 ABC 的面积 解得 a 3 5 2016 惠州模拟 如图所示 在四边形 ABCD 中 D 2 B 且 AD 1 CD 3 cosB 求 ACD 的面积 若 BC 2 求 AB 的长 解 因为 D 2 B 所以 3 分 因为 D 0 所以 5 分 因为 AD 1 CD 3 所以 ACD 的面积 7 分 在 ACD 中 AC 2 AD2 DC2 2AD DC cosD 12 所以 9 分 因为 11 分 所以 所以 AB 4 13 分 6 2015 山东 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosB sin A B ac 2 求 sinA 和 c 的值 解 因为 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosB sin A B ac 2 所以 sinB sinAcosB cosAsinB 所以 sinA cosA 结合平方关系 sin2A cos2A 1 得 27sin2A 6 sinA 16 0 解得 sinA 或者 sinA 舍去 由正弦定理 由 可知 sin A B sinC sinA 所以 a 2 c 又 ac 2 所以 c 1 8 2015 湖南 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a btanA 证明 sinB cosA 若 sinC sinAcosB 且 B 为钝角 求 A B C 解 证明 a btanA tanA 由正弦定理 又 tanA sinA 0 sinB cosA 得证 sinC sin A B sin A B sinAcosB cosAsinB sinC sinAcosB cosAsinB 由 1 sinB cosA sin2B 0 B sinB B 为钝角 B 又 cosA sinB A C A B 综上 A C B 10 2015 湖南 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a btanA 且 B 为钝 角 证明 B A 求 sinA sinC 的取值范围 解 由 a btanA 和正弦定理可得 sinB cosA 即 sinB sin A 又 B 为钝角 A B A B A 由 知 C A B A A 2A 0 A 0 sinA sinC sinA sin 2A sinA cos2A sinA 1 2sin2A 2 sinA 2 A 0 0 sinA 由二次函数可知 2 sinA 2 sinA sinC 的取值范围为 11 2015 四川 已知 A B C 为 ABC 的内角 tanA tanB 是关于方程 x2 px p 1 0 p R 两个实根 求 C 的大小 若 AB 3 AC 求 p 的值 解 由已知 方程 x2 px p 1 0 的判别式 p 2 4 p 1 3p 2 4p 4 0 所以 p 2 或 p 由韦达定理 有 tanA tanB p tanAtanB 1 p 所以 1 tanAtanB 1 1 p p 0 从而 tan A B 所以 tanC tan A B 所以 C 60 由正弦定理 可得 sinB 解得 B 45 或 B 135 舍去 于是 A 180 B C 75 则 tanA tan75 tan 45 30 2 所以 p tanA tanB 2 1 12 2015 河西区二模 设 ABC 的内角 A B C 的内角对边分别为 a b c 满足 a b c a b c ac 求 B 若 sinAsinC 求 C 解 I a b c a b c a c 2 b2 ac a2 c2 b2 ac cosB 又 B 为三角形的内角 则 B 120 II 由 I 得 A C 60 sinAsinC cos A C cos A C cosAcosC sinAsinC cosAcosC sinAsinC 2sinAsinC cos A C 2sinAsinC 2 A C 30 或 A C 30 则 C 15 或 C 45 13 2015 浙江 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 A b2 a2 c2 1 求 tanC 的值 2 若 ABC 的面积为 3 求 b 的值 解 1 A 由余弦定理可得 b 2 a2 bc c2 又 b2 a2 c2 bc c2 c2 b c 可得 a2 b2 即 a cosC C 0 sinC tanC 2 2 3 解得 c 2 3 15 2015 江苏 在 ABC 中 已知 AB 2 AC 3 A 60 1 求 BC 的长 2 求 sin2C 的值 解 1 由余弦定理可得 BC 2 AB2 AC2 2AB ACcosA 4 9 2 2 3 7 所以 BC 2 由正弦定理可得 则 sinC AB BC C 为锐角 则 cosC 因此 sin2C 2sinCcosC 2 16 2015 天津 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 ABC 的面 积为 3 b c 2 cosA 求 a 和 sinC 的值 求 cos 2A 的值 解 在三角形 ABC 中 由 cosA 可得 sinA ABC 的面积为 3 可 得 可得 bc 24 又 b c 2 解得 b 6 c 4 由 a2 b2 c2 2bccosA 可得 a 8 解得 sinC cos 2A cos2Acos sin2Asin 17 2015 怀化一模 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 c asinC ccosA 1 求角 A 2 若 a 2 ABC 的面积为 求 b c 解 1 由正弦定理 化简已知的等式得 sinC sinAsinC sinCcosA C 为三角形的内角 sinC 0 sinA cosA 1 整理得 2sin A 1 即 sin A A 或 A 解得 A 或 A 舍去 则 A 2 a 2 sinA cosA ABC 的面积为 bcsinA bc 即 bc 4 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 得 4 b 2 c2 bc b c 2 3bc b c 2 12 整理得 b c 4 联立 解得 b c 2 19 2015 衡水四模 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 函数 f x 2cosxsin x A sinA x R 在 x 处取得最大值 1 当 时 求函数 f x 的值域 2 若 a 7 且 sinB sinC 求 ABC 的面积 解 函数 f x 2cosxsin x A sinA 2cosxsinxcosA 2cosxcosxsinA sinA sin2xcosA cos2xsinA sin 2x A 又 函数 f x 2cosxsin x A sinA x R 在 处取得最大值 其中 k z 即 其中 k z 1 A 0 A 2x A 即函数 f x 的值域为 2 由正弦定理得到 则 sinB sinC sinA 即 b c 13 由余弦定理得到 a2 b2 c2 2bccosA b c 2 2bc 2bccosA 即 49 169 3bc bc 40 故 ABC 的面积为 S 20 2015 潍坊模拟 已知函数 f x 2cos 2x 2 sinxcosx x R 当 x 0 时 求函数 f x 的单调递增区间 设 ABC 的内角 A B C 的对应边分别为 a b c 且 c 3 f C 2 若向量 1 sinA 与向量 2 sinB 共线 求 a b 的值 解 I 令 解得 即 f x 的递增区间为 由 得 而 C 0 可得 向量向量 1 sinA 与向量 2 sinB 共线 由正弦定理得 由余弦定理得 c 2 a2 b2 2ab cosC 即 9 a2 b2 ab 由 解得 21 2015 济南二模 已知向量 cos 2x cosx sinx 1 cosx sinx 函 数 f x 求函数 f x 的单调递增区间 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 f A a 2 B 求 ABC 的面积 S 解 向量 cos 2x cosx sinx 1 cosx sinx 函数 f x cos 2x cos 2x sin2x cos 2x cos2x cos2x sin2x cos2x cos2x sin2x sin 2x 令 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z 则函数 f x 的单调递增区间为 k k k Z 由 f A sin 2A 得 sin 2A A 为 ABC 的内角 由题意知 0 A 2A 2A 解得 A 又 a 2 B 由正弦定理 得 b A B sinC sin A B sin A B snAcosB cosAsinB 则 ABC 的面积 S absinC 2 22 2015 和平区校级三模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a 3 b 4 B A 1 求 cosB 的值 2 求 sin2A sinC 的值 解 1 cosB cos A sinA 又 a 3 b 4 所以由正弦定理得 所以 所以 3sinB 4cosB 两边平方得 9sin2B 16cos2B 又 sin2B cos2B 1 所以 而 所以 2 2A 2B sin2A sin 2B sin2B 又 A B C sinC cos2B 1 2cos2B 23 2015 洛阳三模 在锐角 ABC 中 1 求角 A 2 若 a 求 bc 的取值范围 解 1 由余弦定理可得 a 2 c2 b2 2accosB sin2A 1 且 2 又 b 2sinB c 2sinC bc 2sin 135 C 2sinC 24 2015 河北区一模 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 2cosAcosC 1 2sinAsinC 求 B 的大小 若 求 ABC 的面积 解 由 2cosAcosC 1 2sinAsinC 得 2 cosAcosC sinAsinC 1 又 0 B 由余弦定理得 又 故 25 2015 云南一模 在 ABC 中 a b c 分别是内角 A B C 的对边 且 sinA sinB sinC sinC sinB sinB sinC sinA 若 1 求 A 的大小 2 设 为 ABC 的面积 求 的最大值及此时 B 的值 解 1 sinA sinB sinC sinB sinC sinA sinBsinC 根据正弦定理得 a b c c b a bc 即 a2 b2 c2 bc 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 得 cosA 又 A 0 A 2 a A 由正弦定理得 2 b 2sinB c 2sinC S bcsinA 2sinB 2sinC sinBsinC S cosBcosC sinBsinC cosBcosC cos B C 当 B C 时 即 B C 时 S cosBcosC 取最大值 27 2015 高安市校级模拟 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 sin A 2cos B C 0 1 求 A 的大小 2 若 a 6 求 b c 的取值范围 解 1 由条件结合诱导公式得 sinAcos cosAsin 2cosA 整理得 sinA cosA cosA 0 tanA 0 A A 2 由正弦定理得 即 6 b c 12 当且仅当 B 时 等号成立 28 2015 威海一模 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c sin B A cosC 求 A B C 若 S ABC 3 求 a c 解 sinCcosA sinCcosB cosCsinA cosCsinB 即 sinCcosA cosCsinA cosCsinB sinCcosB 得 sin C A sin B C C A B C 或 C A B C 不成立 即 2C A B 得 则 或 舍去 又 即 29 2015 新津县校级模拟 已知向量 函数 f x 求函数 f x 的单调递增区间 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 f B 1 b sinA 3sinC 求 ABC 的面积 解 2cosx 1 cosx 2 sinxcosx 1 f x 2cos2x 2 sinxcosx 1 sin2x cos2x 2sin 2x 2x 2k 2k k Z x k k k Z 函数 f x 的单调递增区间为 k k k Z f B 2sin 2B 1 sin 2B 即 2B 即 B sinA 3sinC a 3c b b 2 a2 c2 2accosB a 3 c 1 S acsinB ABC 的面积为 30 2015 和平区二模 在 ABC 中 角 A B C 为三个内角 已知 cosA cosB BC 5 求 AC 的长 设 D 为 AB 的中点 求 CD 的长 解 在 ABC 中 2 分 由正弦定理得 4 分 即 6 分 在 ABC 中 AC 7 BC 5 由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 8 分 即 整理得 AB2 2AB 24 0 解得 AB 6 10 分 在 BCD 中 BC 5 由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cosB 11 分 即 13 分