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应用题 复习一、列方程解应用题的一般步骤：1. 认真审题，找出已知量和未知量，以及它们之间的关系；2. 设未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；3. 列出方程中的有关的代数式；4. 根据题中的相等关系列出方程；5. 解方程；6. 答题。注：列方程解应用题的关键是找出题中的等量关系二、常见的应用题类型（一）行程问题：1) 追及问题：a、两个物体在同一地点不同时间同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程=乙路程 甲速度甲时间=乙速度（甲时间+乙先走的时间）b、两个物体从不同地点同时同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程乙路程=原相距路程2) 相遇问题：两个物体同时从不同地点出发相向而行最后相遇的行程问题等量关系：甲路程+乙路程=相遇路程 甲速度相遇时间+乙速度相遇时间=原两地的路程3) 一般行程问题：等量关系：速度时间=路程4) 航行问题：等量关系：顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度水流速度练习一1.轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为_2、甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。3. 甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度？设甲客轮速度为每小时海里，可列方程为_4、一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？5、甲、乙两地相距500 km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均速度提高了40，而从甲地到乙地的时间缩短了2.5 h，求长途客运车原来的平均车速。(结果精确到1 kmh)6、轮船顺流航行100km和逆流航行60km所用时间相等，已知轮船在静水中航行的速度为21km/h，求水流速度。7、A、B两地相距180千米，甲、乙两车分别在两地同时相向出发，经过3小时相遇。已知甲车每小时比乙车多走10千米，求两车的速度。商品的利润率：8 A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时相向而行，两小时后在途中相遇然后甲返回A 地，乙继续前进，当甲回到A 地时，乙离A 地还有2千米，求甲、乙两人的速度9、在昆明“世博会”期间，为方便游客参观，铁道部门临时加开了南宁至昆明的直达列车已知南宁至昆明的路程为828km，普快列车与直快列车由昆明到南宁时，直快列车平均速度是普快 的1.5倍，若直快列车比普快列车晚出发2 h而先到4h，求两列车的平均速度分别是多少？设普快列车的速度为x Km/h，可列方程为_10、甲、乙两地相距300公里，一辆货车与一辆轿车都从甲地开往乙地，货车比轿车早出发5小时，轿车比货车晚到30分钟，已知轿车与货车的速度比为52.（1）求两车的速度。（2）由于石油资源紧缺，97的汽油价由原来的3.15元/升涨到现在3.40元/升，若该辆货车行驶100公里耗油10升，每天从甲、乙往返一次，则该辆货车现在一个月（30天）用油款比原来多多少元？ （二）商品的利润率：等量关系：1.利润=售价进价 2.实际售价=折扣数10%标价 3.利润率=4.利润率= 5.销售额=售价销售量有关增长率的问题：增长率原有值一次增长二次增长xaa(1+x)a(1+x)2练习二1、张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额20%）。2一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是3、小华的妈妈为爸爸买了一件衣服和一条裤子，共用306元其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价为 元4.在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践活动中，春华同学为了锻炼自己，他通过了解市场行情，以每件6元的价格从批发市场购进若干件印有2008北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销，当销售完30件之后，销售金额达到300元，余下的每件降价2元，很快推销完毕，此时销售金额达到380元，春华同学在这次活动中获得纯收入元.5在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利(便宜)2元卖了，他还能获利20，根据下列公式求一个玩具赛车进价是多少元？（公式：利润=进价利润率=销售价打折数让利数进价）6某商品原价500元，连续两次降价10%后，又提价20%，则该商品现价是_元7某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？8、某文化用品商店出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？设现在每支钢笔的价格是x元，可列方程为_（三）工程问题：1、工作量=工作效率工作时间 2、各工作量之和=总工作量 3、总工作量看作1（a）甲、乙一起合做：（b）甲先做a天，后甲乙合做：练习三1某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？2某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成求乙工程队单独做需要多少天完成？3、“丽园”开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场。现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品。设甲工厂每天能加工件产品，可列方程为_4、近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合做，24天可以完成，；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，甲、乙两队单独完成此项工作，各需多少天？5、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由6、某医用制剂厂原计划生产某种消毒液960吨，由于抗击“非典”的紧急需要，在保证质量的前提下，开工后工人们每天的生产量是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，原计划每天生产多少吨？ （四）不等式问题：注意审清题意，不要列成方程来解题。留意“至少”、“多于”、“少于”、“不超过”、“不低于”等字眼，通常包含这些字词的题目都要列不等式（组）解题，并且要理解这些字词所代表的数学意义。练习四1、在一次“人与自然”知识竞赛中，试题中共有25道题，每道题共给出 4 个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得 4分，不选或选错倒扣 2 分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于6分，那么他至少选对了几道题？ 2、一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无人住；每间住6人，有一间宿舍住不满，可能有多少间宿舍，多少名学生？ 3把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个，若每人分6个，则最后一个学生能得到的苹果不超过2个，则学生人数是多少，苹果有多少？4为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动若每处安排人，则还剩人；若每处安排人，则有一处的人数不足人，但不少于人求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.5 将一箱苹果分给若干小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，求这箱苹果的个数与小朋友的人数。6. 某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商品准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打( )折A.6 B.7 C.8 D.97.某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间? (五)函数型问题：练习五1、我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A类是固定用户：先缴50元基础费，然后每通话1分钟再付话费0.4元；B类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟通话费0.6元（这里均指市内通话）。若一个月内通话时间为分钟，分别设A类和B类两种通讯方式的费用为，（1）写出、与之间的函数关系式。（2）一个月内通话多少分钟，用户选择A类合算？B类呢？（3）若某人预计使用话费150元，他应选择哪种方式合算？ 2.甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元.(1)列出甲、乙的存款额y1、y2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式，画出函数图象.(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？3.某校校长暑假将带领校、市级“三好学生”去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内全部票价6折优惠”，若全票价为240元.(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费.(表达式)(2)当学生数量是多少时，两家旅行社的收费一样？(3)就学生数x讨论，哪家旅行社更优惠.4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？5、某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为1025人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？6、某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.7、某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费.（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的收费相同？（六）方案问题：练习六1.某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件 A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润 700元；生产一件B种产品，需用甲种原料5kg，乙种原料10kg，可获利润1200元（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？2、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。按该公司要求可以有几种购买方案？若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？3某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元 甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？4某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，需要用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？5、某工厂现有甲种原料226 kg，乙种原料250 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种的产品共40件，生产A、B两种产品用料情况如下表：需要用甲原料需要用乙原料一件A种产品7 kg4 kg一件B种产品3 kg10 kg若设生产A产品件，求的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案。练习一 答案1、2、分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒y米，根据题意，得 答：甲、乙两车的速度分别为25米/秒，15米/秒。3、 4、小时 即10分钟。 5、6、 解得 7、 解得 8、 甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时 9、 10（1）解：设轿车的速度为5xkm/h，则货车的速度为2xkm/h， 所以得：5解这个方程得：x20 检验知：x20是这个方程的根，当x20时，5x520100,2x22040 答：轿车的速度为100km/h，货车的速度为40km/h （2）解：（3.403.15）10630450（元）即每月比原来用油款多450元。练习二 答案1、分析：利率问题：利息=本金利率时间。解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。 解方程组，x=2.25，y=0.99，答：两种储蓄的年利润分别为2.25%和0.99%。2、108元 3、120元 4、140元 5、5元 6、486元7。8、6练习三 答案1解：设甲工厂每天能加工件新产品， 则乙工厂每天能加工件新产品依题意得方程 解得或（不合题意舍去）， 经检验是所列方程的解， 答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品2解：设乙工程队单独做需要x天完成则30+20()=1，解之得：x=100经检验得x=100是所列方程的解，所以求乙工程队单独做需要100天完成3、4、解：设甲、乙单独完成此项工程分别需x天、 y天，根据题意，得解这个方程组，得x30，y120经检验x30，y120是方程组的解答：甲单独完成此项工需30天，乙单独完成此项工程需120天 5解：设规定日期为x天由题意，得 解之，得 x=6经检验，x=6是原方程的根. 显然，方案（2）不符合要求；方案（1）：1.26=7.2（万元）；方案（3）：1.23+0.56=6.6（万元）因为7.26.6，所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款. 6、x=120吨练习四 答案1、设选对了x 道题，则不选或选错题为（25 - x）道，则有 100 - 6（25 - x）60 解得：x18 ，即他至少选对了19道题。 2、04x+19-6(x-1)6 x x=10，11，12当x=10时，有49个同学；当x=11时，有63个同学；当x=12时，有67个同学。3、4，19 4、解：设参加处公共场所的义务劳动，则学校派出名学生，依题意得： 又为整数， 当时， 答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动 5解：设共有x个小朋友，则苹果共有个，依题意得：解这个不等式组，得： x只能为正整数，x只能取5，6当x=5时，苹果有（个）当x=6时，苹果有（个）答：当有5个小朋友时，苹果有37个；当有6个小朋友时，苹果有42个。6. B 7. 设该宾馆有x间宿舍；则x取10或11.练习五 答案1、(1)y1=50+0.4x ,y2=0.6x(2) 由y1250,x250, (3) B客户.2. (1)y1=600+500x y2=2000+200x (2)x4，到第5个月甲的存款额超过乙的存款额.3.(1)y甲=120x+240，y乙=144x+144 (2)4 (3)当学生数小于4时，乙旅行社更优惠，当学生数大于4时，甲旅行社更优惠.4、解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元，根据题意，得y1=15%x+（x+15%x）10%=0.265x,y2=30%x700=0.3x700.（1）当y1y2,即0.265x0.3x700时，x20000;（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x700时，x=20000;（3）当y1y2，即0.265x0.3x700时，x20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.5、解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则y1=2000.75x=150x y2=2000.8（x1）=160x160当y1=y2时，150x=160x160,解得x=16;当y1y2时，150x160x160,解得x16;当y1y2时，150x160x160,解得x16.因为参加旅游的人数为1025人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17x25时，选择甲旅行社费用较少，当10x15时，选择乙旅行社费用较少.6、解：设需刻录x张光盘，则到电脑公司刻录需y1=8x（元） 自刻录需y2=120+4x（元）当y1=y2时，8x=120+4x， 解得x=30;当y1y2时，8x120+4x, 解得x30;当y1y2时，8x120+4x, 解得x30.所以，当需刻录30张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等；当需刻录超过30张光盘时，自刻费用省；当需刻录不超过30张光盘时，到电脑公司刻录费用省.7、解：设宣传材料有x份，则选择甲公司所需费用为y1元，选择乙公司所需费用为y2元，y1=20x+3000 y2=30x当y1y2时，20x+300030x, 解得x300;当y1y2时，20x+300x30x, 解得x300;当y1=y2时，20x+3000=30x, 解得x=300.所以，当材料超过300份时，选择甲公司比较合算；当材料少于300份时，选择乙公司比较合算；当材料等于300份时，两公司的收费相同.练习六 答案1（1）30，31，32对应B20，19，18 (2)y= -500x+60000,x=30时，最大值为45000.2、（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6x）台。由题意，得，解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为175532万元；，新购买机器日生产量为1100560400个；按方案三购买机器，所耗资金为274534万元；新购买机器日生产量为2100460440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。3（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6x）台由题意，得，解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为175532万元；，新购买机器日生产量为1100560400个；按方案三购买机器，所耗资金为274534万元；新购买机器日生产量为2100460440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二4(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为(50-x)件解这个不等式组得：30x32，而x为整数x只能取30，31，32，相应的(50-x)的值为20，19，18生产方案有三种：第一种：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种：生产A种产品32件，B种产品18件(2)设生产A种产品的件数为x，则生产B种产品的件数为(50-x)根据题意得，y700x1200(50-x)-500x60000，其中x只能取30，31，32-5000，此一次函数y随x的增大而减小当x30时，y的值最大即按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：-500306000045000(元)5、解：依题意有： 解得：为整数 取25或26该工厂的生产方案有：方案1、生产A产品25件、B产品15件；方案2、生产A产品26件、B产品14件。
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