复变函数积分复习题

1 5 3 1 计算积分 其中 C 是 2Czd 1 原点到 的直线段 i 2 原点到 2 再到 的折线 3 原点到 i 再沿水平到 的折线 2i 解 1 C 的参数方程为 201zttit dzi 于是 223Ciidtit 2 参数方程为 12 102zt 参数方程为2 1zitt 12 220013CCzddidti 3 参数方程为 2 zit 参数方程为2 zti 12 2120013CCzdditdtii 3 2 设 C 是 是从 到 的一周 计算 ie 1 2 3 Rz ImCz Cz 解 cosinie sincodd 1 cCz i 2 Isiics 3 cono2Czdidi 3 3 计算积分 其中 C 是由直线段 及上半单位圆周组成的正向闭A1 0 xy 曲线 解 表示为 12 1zxiy 表示为 2Ccosn0zxiy sincodzd 2 5 1210cosinsicoCCCzdzzdx di A 3 5 沿下列指定曲线的正向计算积分 的值 21Cz A 1 2 3 4 1 Cz z i 3 2Czi 解 1fii 1 2 120221CCCCdzzdzdziiii AA 2 21iizziziz 3 2 10221CCCCdddiii 4 212zzzziiiiAA 3 6 设区域 D 为右半平面 z 为 D 内的圆周 上的任意一点 用在 D 内的任意一条曲1 线 C 连接原点与 z 证明 20Re4zd 证明 函数 在右半平面解析 故从 0 到 z 沿任意曲线 C 的积分与路径无关 积分路21 径换为先沿实轴从 0 到 1 再沿圆周到 z 点 222000 1izdxed 04cosi 所以 20Re1zd 3 8 设 C 为正向椭圆 定义 z 不在 C 上 求49xy 2Cfzd A 3 5 1 fifi 解 在 内部时 在 处不解析 zC2z 22Cfdiz A 2114zfizi 2zi 4fi 3 9 计算下列积分 1 2 3 4 sinzd 1ized 21izd 1lnizd 解 1 icos2i insin44zi ziz si2 2 1111i izziziziiededee 3 2311i ii 4 22211lnlnln1li izdzi 21ll4i 23lnl8i 3 10 设 求 当 时 求 32efzdz A fi 2z fz 解 在 内部时 在 处不解析 3z 332zefdiez A 4 5 332ziifiee 2zii 当 时 将处处解析 所以2z 3ez 320efzdz A 3 11 沿下列指定曲线的正向计算各积分 1 5cos 1Cdrz A 2 231 zC 3 2sin Czd 4 为 的任何数 3 1 zCezaa A 5 2sin 29diz 6 其中 取正向 取负向 123coC 1 Cz2 3Cz 解 1 在由 围成的区域内解析 sz r 5415cocos 2zCiid A 2 函数 在由 围成的区域内无奇点 处处解析 所231fzz Cr 以 230Cdz 3 函数 在由 围成的区域内无奇点 处处解析 所以2sinzf 3 2Cz 2si0Czd A 5 5 4 当 时 在由 围成的区域内无奇点 处处解析 所以1a 3zefa 1Cz 30zCed A 当 时 在由 围成的区域内有奇点 1a 3zefa 1Cz za 32 zzaCeidi 5 函数 在由 围成的区域内有奇点 2sin9fz 2Ci 3zi 32i sin3sinsihziCCziddz A 6 设 取正向 1212333coscscosCCCzzz 00 zzii 0 3 12 设 在 上解析且 试求 fz1 1f 12zfzdi A 解 21 122z z ffzfdzi i A200zff z 2f