高中数学《三角函数》详解公式精题(附讲解).doc

高中数学三角函数详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要内容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。其考查内容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。两倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及 的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等内容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。 2 近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。每年有 2 3 道选择题或填空题，或 1 2 道选择、填空题和 1 道解答题。总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。 （ 1 ）关于三角函数的图象 立足于正弦余弦的图象，重点是函数 的图象与 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。 （ 2 ）求值题 这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。如 2002 年（ 15 ）题。 （ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题 （ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。如 2001 年（ 7 ）题。 （ 5 ）关于反三角函数， 2000 2002 年已连续三年不出现。 （ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合） 今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话， 应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。 二、复习策略 1、 近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查，重点已转移到对基础和基本技能的考查上。所以复习中用好教材、打好基础犹为重要。（ 1 ）一定要掌握好三角函数的图象，特别是 的图象的五点法作图及平移、伸缩作图。（ 2 ）熟知三角函数的基本性质、切实掌握判定三角函数奇偶性、确定单调区间及求周期的方法。（ 3 ）熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。*三角函数公式大全锐角三角函数公式sin =的对边 / 斜边cos =的邻边 / 斜边tan =的对边 / 的邻边cot =的邻边 / 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是sinA的平方 sin2（A） ）三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(3/2)²-sin²a=4sina(sin²60-sin²a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2诱导公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,第二个除(cos)2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0*三角函数专题复习：（1）求函数的初相的问题（2）函数的图象及应用（3）三角函数的最值问题（4）角的拆拼在求值中的应用教学目的通过对四个三角函数中的热点问题的专题研究，引导学生复习三角函数中的主要知识点和重点题型的解题方法，深层挖掘三角函数的内在联系，尽量使学生对三角函数知识的掌握融会贯通。教学重点、难点上述四个专题中涉及的核心思想知识分析（一）求函数的初相的问题在三角函数问题中，我们经常遇到求函数的初相的问题，这一类问题是学习中的难点，又是高考中的热点，现在我们将相关题型进行归纳，帮助同学们复习相关知识：1、由图象求此类问题，解题的关键是从图象特征入手，寻找解题的突破口。 例1. 如图1所示函数的图象，由图可知（ ）图1A. B. C. D. 解：由已知，易得A2函数图象过（0，1）和，再考虑到故选C。 例2. （2005年福建）函数的部分图象如图2所示，则（ ）图2A. B. C. D. 解：由图象知点（3，0）是在函数的单调递减的那段曲线上。因此令，得，故选C。2、由奇偶性求例3. （2003 全国）已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值。解：由是偶函数，得即所以对任意x都成立，且，由，解得3、由最值求例4. 函数以2为最小正周期，且能在x = 2时取得最大值，则的一个值是（ ）A. B. C. D. 解：当时取得最大值，即当时，故选A。四、由对称性求例5. （2005 全国）设函数，图象的一条对称轴是直线，求。解：因为是函数的图象的对称轴，所以(二) 函数的图象及应用下面我们谈一谈函数的图象在日常生产、生活中的几个应用。1、显示水深例6. （2004 湖北）设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中。下表是该港口某一天从0时到24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观测，函数的图象可以近似地看成函数的图象。下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A. B. C. 解：由已知数据，易得的周期为T12由已知易得振幅A3又t0时，y12，k12令得故2、确定电流最值例7. 如图3 表示电流 I 与时间t的函数关系式： I =在同一周期内的图象。（1）根据图象写出I =的解析式；（2）为了使I =中t在任意段秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？图3解：（1）由图知A300，由得（2）问题等价于，即，正整数的最小值为314。3、显示最大温差例8. （2002 全国）如图4某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数（1）求这段时间的最大温差（2）写出这段曲线的函数解析式。图4解：（l）由图4知这段时间的最大温差是301020（）（2）在图4中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，解得由图4知这时将代入上式，可取综上所述，所求解析式为：4、研究商品的价格变化例9. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而商品在商店内的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由。解：由条件可得出厂价格函数为销售价格函数为则利润函数为所以，当时，即6月份盈利最大。（三）三角函数的最值问题1、型函数解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数，即化为，其中角所在象限由点（a，b）所在象限确定，且例10. 当时，函数的（ ）A. 最大值是l，最小值是1 B. 最大值是l，最小值是C. 最大值是2，最小值是2 D. 最大值是2，最小值是1解：解析式可化为时，时，故选D2、型函数策略：先降次、整理，再化为形如型来解。例11. 求的最小值，并求出函数y取最小值时点x的集合。解： 当时，y取最小值时，使y取得最小值的x的集合为3、型函数此类函数的特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。可先转化为型，再利用三角函数的有界性来求三角函数的最大值和最小值。 例12. 求函数的最大值和最小值。解：去分母整理得即解之得故4、同时出现型函数此类函数的特点是含有或经过化简整理后出现与式子，处理方法是应用进行转化，变成二次函数的问题。例13. 函数的最大值为_解法一：令则所以由二次函数的图象知，当时，解法二：令，则由，得于是有当时，由以上的几种形式可以归纳解三角函数最值问题的基础方法：一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法来解决；以后还可以利用重要的不等式公式或利用数形结合的方法来解决。（四）角的拆拼在求值中的应用 例14. 已知、为锐角，则y与x的函数关系是（ ）A. B. C. D. 对此题，不少同学采取的求解思路是：根据已知条件求出cos、sin的值后，再将sin，cos，cos，sin的值同时代入的展开式中，从中解出y来，思路直接。但运算量非常大，不可取，而如果利用“凑”的思想，注意到（这就是“凑”），也就是用已知的角来表示目标角（因为），继而求出y与x的函数关系式，而x的范围可由ycosB0来确定。解：为锐角，且又、为锐角，且于是 由，即易得，故选A。 例15. 已知，且，求的值。分析：观察条件和结论中角的种类差异，可配凑角，这样就可以将已知角与待求角联系在一起，实现了由未知角向已知角的转化。解：又，故 【练习】 已知，求。提示：配凑角：，可通过求出和的差的余弦来求，较简便。解：又同学们不难看到，上面的例题中我们分别利用了；等“凑”角的技巧。此外根据题目的不同，还常用的“凑”的技巧有：，及，今后解题时要多关注“配凑”的思想方法。【模拟试题】一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 使的意义的m的值为（ ）A. B. C. D. 或 2. 函数的一个单调增区间是（ ） A. B. C. D . 3. 若是夹角为60的两个单位向量，则的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 4. 已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与ABC的位置关系是（ ）A. P在AC边上B. P在AB边上或其延长线上C. P在ABC外部D. P在ABC内部 5. 若，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 在ABC中，则ABC是（ ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 D. 不能确定形状 8. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数为偶函数（），其图象与直线y2的交点的横坐标为x1，x2，若的最小值为，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数，点P在线段AB上，且，则的最大值为（ ） A. a B. 2a C. 3a D. 11. 已知，p与q的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ） A. 15 B. C. 14 D. 16 12. 函数在区间a，b上是增函数，且，则函数在区间a，b上（ ）A. 是增函数B. 是减函数C. 可取得最大值MD. 可取得最小值M二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若在区间上的最大值为，则_。 14. 已知a（6，2），b（4，），直线l经过点A（3，1），且与向量a2b垂直，则直线l的方程为_。 15. 已知，且x，y都是锐角，则_。 16. 给出下列命题：在其定义域上是增函数；函数的最小正周期是；函数的单调递增区间是（）；函数有无奇偶性不能确定。其中正确命题的序号是_。三、解答题（本大题包括6个小题，共74分） 17. （12分）已知，求的值。 18. （12分）求值 19. （12分）如下图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数。（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。 20. （12分）已知，点M为直线OC上的一个动点，当取最小值时，求及cosAMB的值。 21. （12分）如下图所示，AOE和BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C，使，连结AC交BE于D。（1）用t的表示的坐标；（2）求与所成角的大小。 22. （14分）已知。（1）求a与b的夹角；（2）求和；（3）若，作ABC，求ABC的面积。