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上海市普陀区高三质量调研数学试卷 （理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 已知，则 . 2. 设函数的图像关于原点对称，且存在反函数. 若已知，则 . 3. 函数的定义域是 .4. 已知，则 . 5. 已知椭圆的参数方程为（），则该椭圆的焦距为 . 6. 设，则方程的解集为 . 7. 不等式的解集为 . 8. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 . 9. 在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示）10. 将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_.第11题图PADCMB11. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若， ，且，则 . 12. 平面直角坐标系中，已知点，且（）.当时，点无限趋近于点，则点的坐标为 . 第13题图FADCEB13.如图，在中，. 以点为圆心，线段的长为半径的半圆分别交所在直线于点、，交线段于点，则弧的长约为 .（精确到）14. 在的二项展开式中任取项，表示取出的项中有项系数为奇数的概率. 若用随机变量表示取出的项中系数为奇数的项数，则随机变量的数学期望 . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15. 已知条件，条件，则是成立的 （ ）A充分非必要条件；B必要非充分条件；C充要条件；D既非充分也非必要条件.16. 已知抛物线上的点到定点和到定直线的距离相等，则 （ ）A. ； B. ； C. ； D. .第17题图PADCMB17. 四棱锥底面为正方形,侧面为等边三角形,且侧面底面,点在底面正方形内运动,且满足,则点在正方形内的轨迹一定是 （ ）ABCDC.ABCDA.ABCDB.ABCDD.18. 若函数（）的零点都在区间-10,10上，则使得方程有正整数解的实数的取值个数为 （ ） A. 1; B. 2; C. 3； D. 4.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. （本题满分14分）已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且.试判断：命题和命题之间是否存在推出关系？请说明你的理由.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知数列的首项为1，前项和为，且满足，数列满足. （1） 求数列的通项公式；（2） 当时，试比较与的大小，并说明理由.21. （本题满分14分，其中第1小题8分，第2小题6分）第21题图一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量（件）与电视广告每天的播放量（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.（1）试写出该产品每天的销售量（件）关于电视广告每天的播放量（次）的函数关系式；（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多少次？22.（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）定义变换：可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换：（，）下的不动点的存在情况和个数.23. （本题满分18分，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.（1）若，求方程在区间内的解集；（2）若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准(PT04)一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. 1或3； 2. -4； 3. 理：；文：； 4. ； 5. 理：6；文：1； 6. ； 7. ； 8.理：；文：B；9. ； 10. 60； 11. ； 12. ；13. 理：3.13；文：10； 14. 理：；文：.二、选择题（每题4分，满分16分）： 题号15161718答案ADBC三、解答题： 19.（满分14分）（文）解：由命题为真，可得;由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到，故两个命题同时为真的实数的取值范围是.（理）解：若命题为真，可得;若命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到, 若令集合，集合，可知集合和集合之间互不包含，于是命题和命题之间不存在推出关系.FADCEB20. （文）解法一：联结BD，在中，由余弦定理得 所以.再由正弦定理得.在中，因为，故，所以.解法二：如图，以点B为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，FADCEBxy由条件可得点的坐标为，点的坐标为，故直线的方程为，和圆方程联立得可解得和，即得点的坐标为.于是，得，故向量和的夹角的余弦值为，即.所以，.注：20题理科解答参看文科22题.21. 解：（1）设电视广告播放量为每天次时，该产品的销售量为（，）.由题意，于是当时，（）.所以，该产品每天销售量（件）与电视广告播放量（次/天）的函数关系式为.（2）由题意，有.（）所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次.22.（文）解: (1) 由 (1) ， 得 (2)，由 (2)-(1) 得 , 整理得 ，.所以，数列，是以4为公比的等比数列.其中, 所以，. （2）由题意，.当时， 所以，.注：（理科20题续）又当时，. 故综上，当时，；当时，.（3）由题意，直线的方向向量为，假设向量恰为该直线的方向向量，则有 ，当时，向量不符合条件；当时，由，而此时等式左边的不是一个整数，而等式右边的是一个整数，故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.解法二：同解法一，由假设可得，当时，由 ，不妨设，即为故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.22.（理）解：（1）设椭圆的标准方程为（），由椭圆定义知焦距，即.又由条件得，故由、可解得，.即椭圆的标准方程为. 且椭圆两个焦点的坐标分别为和.对于变换：，当时，可得设和分别是由和的坐标由变换公式变换得到.于是，即的坐标为；又即的坐标为.（2）设是椭圆在变换下的不动点，则当时，有，由点，即，得：，因而椭圆的不动点共有两个，分别为和.(3) 设是双曲线在变换下的不动点，则由因为，故.不妨设双曲线方程为（），由代入得则有,因为，故当时，方程无解；当时，要使不动点存在，则需，因为，故当时，双曲线在变换下一定有2个不动点，否则不存在不动点.进一步分类可知：（i）当，时，即双曲线的焦点在轴上时，；此时双曲线在变换下一定有2个不动点；（ii）当，时，即双曲线的焦点在轴上时，.此时双曲线在变换下一定有2个不动点.23. （文）解：（1）（2）基本同理22题（略）（3）由（2）可知，曲线在变换下的不动点需满足.情形一：据题意，不妨设椭圆方程为（），则有.因为，所以恒成立，因此椭圆在变换下的不动点必定存在，且一定有2个不动点.情形二：设双曲线方程为（），则有,因为，故当时，方程无解；当时，故要使不动点存在，则需，因此，当且仅当时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.进一步分类可知，(i) 当，时，.即双曲线的焦点在轴上时，需满足时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.(ii) 当，时，.即双曲线的焦点在轴上时，需满足时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.23（理）解：（1）由题意，当，时，则有或，.即或，.又因为，故在内的解集为.（2）由题意，的方程为.在该直线上，故.因此， 所以，的值域.又的解为0和，故要使恒成立，只需，而，即，所以的最大值.（3）解：因为，设周期.由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.因此，根据三角函数的图像特征可知，.又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，.（i）当时，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；（ii）当时，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；综上，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”.
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