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不等关系与不等式一、选择题1.(2013浙江高考文科T10)设a,bR,定义运算“”和“”如下:b, ab,a, ab.a， ab,b， ab,ab= ab=若正数a,b,c,d满足ab4,c+d4,则()A.ab2,cd2B.ab2,cd2C.ab2,cd2D.ab2,cd2【解题指南】充分理解新定义的运算,根据它的运算性质求解.【解析】选C.因为ab=mina,b,ab=maxa,b,又ab4,所以a,b中至少有一个大于等于2,所以ab2,排除A,B;因为c+d4,所以c,d中至少有一个小于等于2,所以cd2,故选C. 2.（2013北京高考文科2）设a,b,cR,且ab,则()A.acbcB.C.a2b2D.a3b3【解题指南】利用不等式的性质求解.【解析】选D.y=x3在(-,+)上为增函数,所以a3b3.二、填空题3.(2013浙江高考文科T16)设a,bR,若x0时恒有0x4-x3+ax+b(x2-1)2,则ab=.【解题指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b的关系,再由不等式恒成立求得ab.【解析】因为x0时,0x4-x3+ax+b(x2-1)2恒成立,所以当x=1时,0a+b0成立,所以a+b=0,a=-b,当x=0时,0b1,所以-1a0,所以原不等式为0x4-x3+ax-a(x2-1)2,ax-ax3-2x2+1,所以a(x-1)(x2-x-1)(x-1),当x1时, ax2-x-1=(x1)恒成立,得a-1;所以a=-1.当x0与x0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=() A.B. C.1D.2【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=,故选B.2.（2013新课标全国高考文科3）设满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.【解析】选B.由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如图,平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线z=2x-3y得，选B.3. （2013陕西高考文科7）若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2xy的最小值为 ( )A. 6B .2C. 0D. 2【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y最小值转化为求y=2x-z所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解.【解析】选A.的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线y=2x，在点(-2,2)时，2x y = - 6取最小值.4. （2013山东高考理科6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）A.2 B.1 C. D.【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值.【解析】选C. 作出可行域如图由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由得，即,此时OM的斜率为.5.（2013北京高考理科8）设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，求得m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】作出平面区域，则区域的边界点中有一个在x02y0=2的上方，一个在下方。【解析】选C。作出可行域如下图所示：要使可行域存在，必有，要求可行域内包含直线上的点，只要边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式组得m.6. （2013四川高考文科8）若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（ ）A B. C. D.【解题指南】本题考查的是简单的线性规划问题，求解的关键是正确的作出可行域，然后求出最大值与最小值.【解析】选C，作出可行域如图，结合图形可知，当经过点A时，取最大值16，当经过点B时，取最小值为-8，所以，故选C.7. （2013湖北高考文科9）某旅行社租用，两种型号的客车安排900名客人旅行，两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆则租金最少为( )A31200元 B36000元 C36800元 D38400元【解题指南】利用线性规划求解.【解析】选C. 设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的运营成本为1600x+2400y，依题意，x，y还需满足：x+y21，yx+7，36x+60y900，于是问题等价于求满足约束条件 要使目标函数达到最小值。作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6),由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.zmin=1600x+2400y=16005+240012=36800(元).8（2013天津高考文科T2)与(2013天津高考理科T2)相同设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1 D.2【解题指南】画出约束条件所表示的可行域,平移直线z=y-2x至截距最小即可.【解析】选A.由z=y-2x,得y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域ABC. 作直线y=2x,平移直线y=2x+z,由图象知当直线经过点B时,y=2x+z的截距最小,此时z最小.由得代入z=y-2x得z=3-25=-7.所以最小值为-7.9.(2013福建高考文科T6)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为()A.4和3 B.4和2C.3和2 D.2和0【解题指南】找出可行域,将各端点代入求出最值.【解析】选B.可行域如图所示,可行域的三个端点为,分别代入可得zmin=21+0=2,zmax=22+0=4.10.（2013湖南高考理科4）若变量满足约束条件，（ ）A B C D【解题指南】先作出约束条件对应的可行域，再求出顶点坐标，然后找出最优解即可。【解析】选C.作出不等式组，表示的平面区域,得到如图的ABC及其内部, 其中A,B,C(2,-1).设z=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,当l经过点B时,目标函数z达到最大值,所以z最大值=.二、填空题11（2013新课标高考文科14）设x，y满足约束条件，则的最大值为_.【解题指南】画出x,y满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标函数取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中.【解析】画出可行域如图所示，当目标函数过点时，取得最大值，【答案】12. （2013大纲版全国卷高考文科15）若满足约束条件则 .【解析】画出满足约束条件的可行域，如图可知过点时，目标函数取得最小值，联立，解得,所以.【答案】0. 13.（2013大纲版全国卷高考理科15）记不等式组所表示的平面区域为若直线 .【解析】画出可行域如图所示，当直线过点时，取得最大值为，当直线过点时，取得最小值为.所以的取值范围为.【答案】14.(2013浙江高考理科T13)设z=kx+y,其中实数x,y满足，若z的最大值为12,则实数k=.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y轴上的截距最大时,z最大,由图知当且直线过点A(4,4)时,z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.【答案】215.(2013浙江高考文科T15)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.【解题指南】根据不等式组画出可行域,再把目标函数z转化为在y轴上的截距.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y轴上的截距最大时,z最大,经检验-k0, 则的最小值为 . 【解题指南】将中的1由a + b代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b0，所以，当且仅当时等号成立，此时，或，若，则，若，则所以的最小值为【答案】7. （2013天津高考理科14）设a + b = 2, b0, 则当a = 时, 取得最小值. 【解题指南】将中的1由a + b代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b0，所以，当且仅当时等号成立，此时，或，若，则，若，则所以取最小值时，.【答案】-28.（2013上海高考文科T13）设常数a0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .【解析】 考查均值不等式的应用，【答案】 9. （2013陕西高考文科14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).【解题指南】设出矩形的高y，由题目已知列出x，y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得: .【答案】20.
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