广西桂林十八中2014-2015学年高二数学上学期开学试卷理(含解析).doc

广西桂林十八中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）函数的定义域是（）A1，2B（，12，+）C（1，2）D（，1）（2，+）2（5分）若x+y0，a0，ay0，则xy的值为（）A大于0B等于0C小于0D符号不能确定3（5分）已知等比数列an的公比q=，则等于（）AB3CD34（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元5（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图（）ABCD6（5分）已知等比数列an满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a3+a4+a5=（）A33B84C72D1897（5分）若f（x）=3x2x+1，g（x）=2x2+x1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）Af（x）g（x）Bf（x）=g（x）Cf（x）g（x）D随x的值的变化而变化8（5分）不等式ax2+bx+20的解集是，则a+b的值是（）A10B10C14D149（5分）己知，是夹角为60的两个单位向量，则=2+模是（）A3BCD710（5分）若tan+=4，则sin2=（）ABCD11（5分）数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n1）的前n项和为（）A2n1Bn2nnC2n+1nD2n+12n12（5分）在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在，中最大的是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）直线2xy+1=0与直线ax+y+2=0垂直，则a等于14（5分）函数f（x）=Asin（x+）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为15（5分）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）f（4）=16（5分）若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an=三、解答题（17小题10分，其余各12分，共70分）17（10分）设等差数列an满足a3=5，a10=9（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值18（12分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在10，20），20，30），50，60）的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；（3）按分层抽样的方法在受访市民中抽取n名市民作为本次活动的获奖者，若在10，20）的年龄组中随机抽取了6人，则n的值为多少？分组频数频率10，20）180.1520，30）3030，40）40，50）0.250，60）60.0519（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，M是线段EF的中点（1）证明：CM平面DFB（2）求异面直线AM与DE所成的角的余弦值20（12分）已知函数（）求f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值21（12分）已知数列an，cn满足条件：a1=1，an+1=2an+1，（1）求证数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Tn，并求使得对任意nN*都成立的正整数m的最小值22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y1）2=4和圆C2：（x4）2+（y5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标广西桂林十八中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）函数的定义域是（）A1，2B（，12，+）C（1，2）D（，1）（2，+）考点：一元二次不等式的解法；函数的定义域及其求法专题：计算题分析：根据平方根的定义可知负数没有平方根，得到被开方数大于等于0，列出关于x的不等式，再根据两数相乘，同号得正的取符号法则转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集，即为函数的定义域解答：解：函数有意义，x23x+20，即（x1）（x2）0，可化为：或，解得：x2或x1，则函数的定义域为（，12，+）故选B点评：此题属于以函数的定义域为平台，考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是2015届高考中的基本题型2（5分）若x+y0，a0，ay0，则xy的值为（）A大于0B等于0C小于0D符号不能确定考点：不等式分析：用不等式的性质判断两个变量x，y的符号，由符号判断xy的值的符号方法一：综合法证明一般性原理；方法二用特值法证明可以看到方法二比方法一简单解答：解：法一：因为a0，ay0，所以y0，又x+y0，所以xy0，所以xy0法二：a0，ay0，取a=2得：2y0，又x+y0，两式相加得xy0故应选A点评：本题考点是不等式的性质，本题考查方法新颖，尤其是第二种方法特值法充分体现了数学解题的灵活性3（5分）已知等比数列an的公比q=，则等于（）AB3CD3考点：等比数列的性质专题：计算题分析：根据=，进而可知=，答案可得解答：解：=，=3故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题4（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元考点：线性回归方程专题：概率与统计分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果解答：解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故选：B点评：本题考查线性回归方程考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现5（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图（）ABCD考点：简单空间图形的三视图专题：作图题；压轴题分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选D点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错6（5分）已知等比数列an满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a3+a4+a5=（）A33B84C72D189考点：等比数列的性质；等差数列的性质专题：计算题分析：由4a1，2a2，a3成等差数列，根据等差数列的性质和a1的值，即可求出公比q的值，然后写出等比数列的通项公式，利用通项公式把所求的式子化简即可求出值解答：解：由4a1，2a2，a3成等差数列，得到4a2=4a1+a3，又a1=3，设公比为q，可化为：12q=12+3q2，即（q2）2=0，解得：q=2，所以an=32n1，则a3+a4+a5=12+24+48=84故选B点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题7（5分）若f（x）=3x2x+1，g（x）=2x2+x1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）Af（x）g（x）Bf（x）=g（x）Cf（x）g（x）D随x的值的变化而变化考点：二次函数的性质专题：计算题分析：比较大小一般利用作差的方法，进而得到f（x）g（x）=x22x+2，然后再利用二次函数的性质解决问题即可解答：解：由题意可得：f（x）=3x2x+1，g（x）=2x2+x1所以f（x）g（x）=x22x+2=（x1）2+11，所以f（x）g（x）故选A点评：解决此类问题的关键是熟练掌握比较大小的方法与二次函数的性质，并且结合正确的运算8（5分）不等式ax2+bx+20的解集是，则a+b的值是（）A10B10C14D14考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系专题：计算题分析：不等式ax2+bx+20的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可解答：解：不等式ax2+bx+20的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故a=12b=2点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题9（5分）己知，是夹角为60的两个单位向量，则=2+模是（）A3BCD7考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用数量积的定义和性质即可得出解答：解：，=故选：C点评：本题考查了数量积的定义和性质，属于基础题10（5分）若tan+=4，则sin2=（）ABCD考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求解答：解：sin2=2sincos=故选D点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题11（5分）数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n1）的前n项和为（）A2n1Bn2nnC2n+1nD2n+12n考点：数列的求和专题：计算题分析：由1+2+22+2n1=2n1可知，数列的前n项和为：（211）+（221）+（231）+（2n1）=21+22+23+2nn=2n+12n解答：解：1+2+22+2n1=2n1数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+（1+2+22+2n1）=（211）+（221）+（231）+（2n1）=21+22+23+2nn=2n+12n故选D点评：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题12（5分）在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在，中最大的是（）ABCD考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和专题：计算题分析：由题意知a80，a90由此可知0，0，0，0，0，0，所以在，中最大的是解答：解：由于S15=15a80，S16=8（a8+a9）0，所以可得a80，a90这样0，0，0，0，0，0，而S1S2S8，a1a2a8，所以在，中最大的是故选B点评：本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）直线2xy+1=0与直线ax+y+2=0垂直，则a等于考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出解答：解：直线2xy+1=0与直线ax+y+2=0垂直，斜率满足2（a）=1，解得a=故答案为：点评：本题考查了两条直线互相垂直的充要条件，属于基础题14（5分）函数f（x）=Asin（x+）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的图像与性质分析：由函数图象得到，解方程组得到A，b的值，再由图象得到周期，代入周期公式求得，再由f（0）=1求得的值解答：解：由图可知，解得A=，b=1T=4，即，则=由，得sin=0，=0故答案为：点评：本题考查了由y=Asin（x+）的部分图象求函数解析式，考查了三角函数的周期公式，是基础题15（5分）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）f（4）=1考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质；函数的周期性专题：计算题分析：利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可解答：解：若f（x）是R上周期为5的奇函数f（x）=f（x），f（x+5）=f（x），f（3）=f（2）=f（2）=2，f（4）=f（1）=f（1）=1，f（3）f（4）=2（1）=1故答案为：1点评：本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）（或f（x）=f（x），那么函数f（x）是奇（偶）函数16（5分）若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an=（2）n1考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n2时，an=SnSn1，可得数列为等比数列，且公比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案解答：解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n2时，an=SnSn1=（）（）=，整理可得，即=2，故数列an从第二项开始是以2为首项，2为公比的等比数列，故当n2时，an=（2）n1=（2）n1经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（2）n1点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题三、解答题（17小题10分，其余各12分，共70分）17（10分）设等差数列an满足a3=5，a10=9（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和分析：（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项（2）由上面得到的首项和公差，写出数列an的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值解答：解：（1）由an=a1+（n1）d及a3=5，a10=9得a1+9d=9，a1+2d=5解得d=2，a1=9，数列an的通项公式为an=112n（2）由（1）知Sn=na1+d=10nn2因为Sn=（n5）2+25所以n=5时，Sn取得最大值点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性18（12分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在10，20），20，30），50，60）的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；（3）按分层抽样的方法在受访市民中抽取n名市民作为本次活动的获奖者，若在10，20）的年龄组中随机抽取了6人，则n的值为多少？分组频数频率10，20）180.1520，30）3030，40）40，50）0.250，60）60.05考点：频率分布直方图；分层抽样方法；众数、中位数、平均数专题：图表型分析：（1）利用统计中，求出表中的M，利用频数和为120及频率分布直方图中频率=纵坐标组距求出a的值进行计算即得（2）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方（3）令在10，20）的年龄组中在所有市民中所占的比例等于抽到的在10，20）的年龄组中与样本容量的比，列出方程，求出n的值解答：解：（1）由分组20，30）内的频率是0.02510=0.25，知频率分布统计表中第二行的空格中填0.25，由分组40，50）内的频率是0.2，知频率分布统计表中第四行的空格中填0.2120=24，根据样本容量120得出分组30，40）内的频数是42，根据频率和为1得出此组的频率为0.35，作出频率分布统计表如图（2）受访市民年龄的中位数为：30+=30+33；（3）由，解得n=40点评：本小题主要考查频率分布直方图、中位数、分层抽样方法等基础知识在解决频率分布直方图的问题时，要注意直方图中的纵坐标，直方图中求频率等于纵坐标乘以组距19（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，M是线段EF的中点（1）证明：CM平面DFB（2）求异面直线AM与DE所成的角的余弦值考点：直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角专题：空间位置关系与距离分析：（1）设正方形的对角线AC和BD相交于点O，由条件证明MF和CO平行且相等，四边形COFM为平行四边形，故CMOF，再由直线和平面平行的判定定理证得 CM平面DFB（2）建立空间直角坐标系，求得点C、点A、点E、，点D、点M的坐标，可得和 的坐标，以及|、|和 的值再利用两个向量的夹角公式求得、的夹角 的余弦值，再取绝对值，即得所求解答：解：（1）设正方形的对角线AC和BD相交于点O，M为的中点，ACEF为矩形，故MF和CO平行且相等，故四边形COFM为平行四边形，故CMOF，而OF平面DFB，CM不在平面DFB内，CM平面DFB（2）以点C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，则点C（0，0），点A（，0），点E（0，0，1），点D（，0，0），点M（，1），=（，1），=（，0，1），|=，|=，=1+0+1=2设、的夹角为，cos=，故异面直线AM与DE所成的角的余弦值为 点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求异面直线所成的角的余弦值，两个向量的夹角公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题20（12分）已知函数（）求f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值考点：正弦函数的单调性；数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+），由2k（2x+）2k+，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间（II）在ABC中，由，求得A的值；根据b，a，c成等差数列以及=9，利用余弦定理求得a值解答：解：（I）f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）令 2k（2x+）2k+，可得 kxk+，kz即f（x）的单调递增区间为k，k+，kz（II）在ABC中，由，可得sin（2A+）=，2A+2+，2A+= 或，A= （或A=0 舍去）b，a，c成等差数列可得 2a=b+c，=9，bccosA=9，即bc=18由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=4a254，求得a2=18，a=3点评：本题考查等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题21（12分）已知数列an，cn满足条件：a1=1，an+1=2an+1，（1）求证数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Tn，并求使得对任意nN*都成立的正整数m的最小值考点：数列的求和；等比数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）由an+1=2an+1，知an+1+1=2（an+1），由此能证明数列an+1是等比数列，并求出数列an的通项公式（）由，用裂项求和法求出Tn=，由此能求出使得对任意nN*都成立的正整数m的最小值解答：（本小题满分12分）解：（）an+1=2an+1an+1+1=2（an+1），a1=1，a1+1=20（2分）数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）（），（6分）=（8分），又Tn0，TnTn+1，nN*，即数列Tn是递增数列当n=1时，Tn取得最小值（10分）要使得对任意nN*都成立，结合（）的结果，只需，由此得m4正整数m的最小值是5（12分）点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的最小值的求法解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y1）2=4和圆C2：（x4）2+（y5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；转化思想；直线与圆分析：（1）直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，可求直线l的方程（2）与（1）相同，设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程解答：解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，l被C1截得的弦长为2d=1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=直线l的方程为：y=0或7x+24y28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为yb=k（xa），k0则直线l2方程为：yb=（xa）（6分）C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+akb|=|5k+4abk|1+3k+akb=（5k+4abk）即（a+b2）k=ba+3或（ab+8）k=a+b5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，）或点P2（，）经检验点P1和P2满足题目条件（12分）点评：在解决与圆相关的弦长问题时，一般有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷本题所用方法就是第三种方法