一次函数的图象和性质(基础)知识讲解

一次函数的图象与性质（基础）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象掌握一次函数的性质利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且0）的图象是一条直线 ；当0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当0时，直线是由直线向下平移|个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且0）的图象与性质：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，0）中有两个待定系数，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.解：设函数的解析式为.它的图象过点（1.5，0），（0，2）该函数的解析式为.【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为_【答案】 ；提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得122解得 一次函数解析式为【变式2】（2015春广安校级月考）已知函数y1=2x3，y2=x+3（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积【答案】解：（1）函数y1=2x3与x轴和y轴的交点是（1.5，0）和（0，3），y2=x+3与x轴和y轴的交点是（3，0）和（0，3），其图象如图：（2）设y1=2x3，y2=x+3的交点为点A，可得：，可得：，SABC=BC1=（31.5）1=类型二、一次函数图象的应用2、（2016春南昌期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解答下列问题（1）分别写出当0x100和x100时，y与x之间的函数关系式；（2）若该用户某月用电80度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？【思路点拨】（1）对0x100段，列出正比例函数y=kx，对x100段，列出一次函数y=kx+b；将坐标点代入即可求出（2）根据（1）的函数解析式以及图标即可解答即可【答案与解析】解：（1）当0x100时，设y=kx，则有65=100k，解得k=0.65 y=0.65x 当x100时，设y=ax+b，则有，解得y=0.8x15 （2）当用户用电80度时，该月应缴电费0.6580=52（元） 当用户缴费105元时，由105=0.8x15，解得x=150该用户该月用电150度【总结升华】本题主要考查一次函数的应用，关键考查从一次函数的图象上获取信息的能力举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.【答案与解析】解：（1），即2，为任何实数时，随的增大而增大； （2）当、是满足即时，函数图象经过原点； （3）若图象经过一、二、三象限，则，即【总结升华】一次函数的图象有四种情况：当0，0时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；当0，0时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；当0，0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；当0，0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小4、（2015春咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设OPA的面积为S（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=4时，求P点的坐标【思路点拨】（1）根据题意画出图形，由x+y=5可知y=5x，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）由点P（x，y）在第一象限，且x+y=5得出x的取值范围即可；（3）把S=4代入（1）中的关系式求出x的值，进而可得出y的值【答案与解析】解：（1）如图所示，x+y=5，y=5x，S=4（5x）=102x；（2）点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，0x5；（3）由（1）知，S=102x，102x=4，解得x=3，y=2，P（3，2）【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键举一反三：【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）【答案】B；提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方,故选B.