福建师范大学21春《近世代数》离线作业2参考答案10

福建师范大学21春近世代数离线作业2参考答案1. 证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算正确答案：设(ijst均为整数)则rn n|i-sn|j-trn于是n整除rn i(j一t)+(is)t=ij一strn从而rnrn即同余类的乘法是Zn的一个代数运算设(i,j,s,t均为整数),则n|i-s,n|j-t于是n整除i(j一t)+(is)t=ij一st从而即同余类的乘法是Zn的一个代数运算2. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记x1，xn与y1，yn)的样本相关系数为rxy，即 则有关系R2=(rxy)2 事实上，因 所以 因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与y有最大线性相关；R2=0，x与y无线性相关关系但用rxy说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当rxy=0.5时，只能推出R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半! 3. 平面上四点(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，a，b)能构成一个二维射影坐标系时，参数a，b应满足的条件是_平面上四点(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，a，b)能构成一个二维射影坐标系时，参数a，b应满足的条件是_正确答案：ab且b0ab,且b04. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A)f(x)必有间断点(B)(x)2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 5. 求直线l1：与直线l2：的公垂线方程求直线l1：与直线l2：的公垂线方程根据题意知公垂线的方向向量可取 ， l1与公垂线所确定平面1的法向量为 , 点(9，-2，0)在平面1上，故1的方程为 -16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0, 即 16x+27y+17z-90=0. 同理，l2与公垂线所确定平面H2的法向量为 , 点(0，-7，7)在平面2上，故2的方程为 58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0, 即 58x+6y+31z-175=0. 1与2的交线即为l1与l2的公垂线，故公垂线方程为 6. 函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足( ) AA0，B任意 BA0，B0 CA0，B任意 DA0，B=0函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足()AA0，B任意BA0，B0CA0，B任意DA0，B=0C7. 设方阵A的特征值都是实数，且满足条件： 12n， |1|n| 为求1而作原点平移，试证：当平移量时幂法收设方阵A的特征值都是实数，且满足条件：12n，|1|n|为求1而作原点平移，试证：当平移量时幂法收厶敛最快方阵B=A-pI的特征值满足 1-P2-Pn-P， 于是 为使乘幂法对B收敛最快，应使 达到最小 记，显然有 ， 于是 下证事实上，令p=p-，若0，则 同理可证，若0，也有成立故对任何户，都有，等号仅当时成立，即当时p达到最小，从而幂法对B收敛最快对A作原点平移求特征值1时，欲证平移量P取时乘幂法收敛最快，只须证明：对任意满足 的实数P，均有 根据题中条件及一些不等式运算即可证明题中结论 8. 求微分方程y&39;&39;+y=2sin3x的通解。求微分方程y+y=2sin3x的通解。(1)先求对应齐次方程的通解。 由于对应齐次方程的特征方程r2+1=0的特征根为r1,2=i，则对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx (2)再求该方程的一个特解。 因为自由项f(x)=2sin3x为Pm(x)exsinx型函数，为求该方程的一个特解，先求方程y+y=2e3ix的一个特解。 由于i=3i不是特征根。故其特解可设为y*=ae3ix。把它代入方程y+y=2e3ix并消去e3ix，得，即y+y=2e3ix的一个特解为 取其虚部就得到题设方程的一个特解为。因此题设方程的通解为 9. 习题1.24 证明：a，b，C不共面当且仅当ab，bc，ca不共面。习题1.24 证明：a，b，C不共面当且仅当ab，bc，ca不共面。a，b，c不共面 由于(ab)(bc)-(ab)cb-ab)bc=(ab)cb 所以 (ab)(bc)(ca)=(ab)cb(ca) =(ab)c(ca)b =(ab)c20 得证ab，bc，ca不共面。 10. 已知下列非齐次线性方程组()、()： () ()已知下列非齐次线性方程组()、()：()()对方程组()的增广矩阵施行初等行变换： 由r(A)=r()=34知，方程组()有无穷多解，且原方程组()等价于方程组 (*) 令x4=1，代入方程组(*)对应的齐次方程组中，求得基础解系为=(1，1，2，1)T. 求特解：令x4=0，得 x1=-2，x2=-4，x3=-5. 故所求通解为 x=k(1,1,2,1)T+(-2,-4, 5,0)T$由1的结论可知，方程组()的通解为 x1=-2+k，x2=-4+k，x3=-5+2k，x4=k， 分别将上述解代入方程组()，得 整理可得 由于方程组()的通解中的k可取任意常数，故 m-2=0, n-4=0, t=6, 即 m=2, n=4, t=6 11. 求微分方程xy&39;-y=x3+3x2-2x的通解求微分方程xy-y=x3+3x2-2x的通解12. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%写出X的分布，并求X2500.12(即X30)的概率设各客户是否提出索赔相互独立按题意知Xb(250，0.10)现在需要求 即需求 由拉普拉斯定理得 13. 设P(A)0，P(B)0，则_正确 A若A与B独立，则A与B必相容 B若A与B独立，则A与B必互不相容 C若A与B互设P(A)0，P(B)0，则_正确A若A与B独立，则A与B必相容B若A与B独立，则A与B必互不相容C若A与B互不相容，则A与B必独立D若A与B相容，则A与B必独立A因为P(A)0，P(B)0，所以，若A与B独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0 从而AB，即A与B相容，所以选项A正确，而选项B不正确 A的等价命题也成立，即若A与B互不相容，则A与B必不独立，所以C不正确，D显然不正确 故应选A 14. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。 15. 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y&39;。设函数y=y(x)由参数方程确定，求y。dx=-sintdt，dy=(cost-cost+tsint)dt=tsintdt 16. 比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。组合逻辑电路测试方法有穷举法、一维通路敏化法、布尔差分法和D算法等。时序逻辑电路测试的主要方法是把时序电路构造成相应的组合电路。17. 已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功？以y为积分变量，则y的变化范围为0，12，相应于0，12上的任一小区间y，y+dy的一薄层水近似看作高为dy、底面积为x2=y的一个圆柱体，得到该部分体积为ydy，水的密度P=1000kg/m3，该部分重力为1000gydy，把该部分水抽出的移动距离为12-y，因此作功为 . 18. 给定微分方程组 ， 其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解给定微分方程组，其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解不稳定取定正，有V=-(x2+y2)f(x，y)当f0时V定负，零解渐近稳定，而f0时V定正，零解不稳定19. 叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式20. 设矩阵Amn经初等行变换变成了矩阵Bmn，证明：A的由第j1，j2，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，jr列组成设矩阵Amn经初等行变换变成了矩阵Bmn，证明：A的由第j1，j2，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，jr列组成的向量组有相同的线性相关性.证 由A与B行等价知存在可逆方阵P，使得PA=B.设A，B按列分块分别为 A=1 2n，B=1 2n 则PA=B可写成 P1 P2Pn=1 2n 即Pj=j (j=1，2，n) (3-37) 设有一组数x1，x2，xr，使得 (3-38) 用矩阵P左乘上式两端，并利用(3-37)式，得 (3-39) 反过来，若有x1，x2，xr使(3-39)式成立，用P-1左乘(3-39)式两端，并利用P-1j=j，便得(3-38)式成立.故关于x1，x2，xr的两个齐次线性方程组(3-38)与(3-39)是同解的，当它们只有零解时，向量组和向量组都线性无关；当它们存在非零解时，向量组和向量组都线性相关，且如果有常数k1，ki-1，ki+1，kr，使，则对应地有.所以向量组与向量组有相同的线性相关性.本题证明了：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性相关性.由此可知，若A与B行等价，则为B的列向量组的极大无关组为A的列向量组的极大无关组. 21. 对于下列修正的Newton公式 设f(x*)=0，f(x*)0 试证明：该方法至少是二阶收敛的对于下列修正的Newton公式设f(x*)=0，f(x*)0试证明：该方法至少是二阶收敛的证明 设 因为f(x*)=0 且f(x*)0 所以x*是f(x)=0的单根 所以在xk与xk+f(xk)之间 f(x+f(x)-f(x)=f()f()f(x) 因为 且 所以所以迭代法收敛于x* 因为 所以 所以修正的Newton法至少二阶收敛 22. 设z=x2y，在点(1，2)处，当x=0.1，y=0.2时，求z和dz设z=x2y，在点(1，2)处，当x=0.1，y=0.2时，求z和dzz=0.662，dz=0.623. 用拉氏变换解微分方程：y&39;&39;+3y&39;+y=3cost，y(0)=0，y&39;(0)=1用拉氏变换解微分方程：y+3y+y=3cost，y(0)=0，y(0)=1sint24. 一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x轴的截面为半圆求该立体的体积一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x轴的截面为半圆求该立体的体积由已知条件，该底面三角形可表示为，0x4，并且对于区间0，4上的任一x，线段就是半圆的直径，因此垂直于x轴的该半圆面积为 从而该立体的体积为 25. 求微分方程x+kx=0的通解求微分方程x+kx=0的通解特征方程为3+k=0 当k=0时，有通解为：x=C1+C2t+C3t2， 当k0时，特征根分别为通解为 26. 设函数f(x)可导，且f&39;(3)=2，求设函数f(x)可导，且f(3)=2，求 27. 一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)不同的糕点?如果在每打中每种糕点至少1个，你又能买到多少打不同的糕点?假设面包店每种糕点都有很多(每种至少12个)。由于每打中的糕点顺序与购买者无关，故为组合问题，则能买到不同糕点打数即为6种类型的多重集(无穷重数)的12-组合数，其值为 如果每打中每种类型糕点至少出现一次，则12-组合数是力程 x1+x2+x6=12 xi1 i=1，2，6 的整数解个数。作变量代换 yi=xi-1 i=1，2，6 则方程变为 y1+y2+y6=6 yi0 i=1，2，6 这个方程的非负整数解个数为 28. 求曲面M：z=axy(a0)上两坐标曲线x=x0与y=y0之间的夹角求曲面M：z=axy(a0)上两坐标曲线x=x0与y=y0之间的夹角正确答案：解设曲面M的参数表示为x(xy)=(xyaxy)则xx=(10ay) xy=(01ax)E=xx.xx=1+a2y2 G=xy.xy=1+a2x2F=xx.xy=a2xy第1基本形式为I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xy dxdy+(1+(a2x2)dy2设坐标曲线x=x0的方向为(01)y=y0的方向(10)则两坐标曲线x=x0与y=y0的夹角的余弦为rn故rn解设曲面M的参数表示为x(x,y)=(x,y,axy),则xx=(1,0,ay),xy=(0,1,ax),E=xx.xx=1+a2y2,G=xy.xy=1+a2x2,F=xx.xy=a2xy第1基本形式为I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xydxdy+(1+(a2x2)dy2设坐标曲线x=x0的方向为(0,1),y=y0的方向(1,0),则两坐标曲线x=x0与y=y0的夹角的余弦为故29. 设M=1，2，3)，与是M的置换：，求-1，-1设M=1，2，3)，与是M的置换：，求-1，-1 30. 求x2e1-2x3dx求x2e1-2x3dx 31. 从装有3只红球，2只白球的口袋中任意取出2只球，则事件“取到2只白球”的逆事件是( ) A取到2只红球 B取到从装有3只红球，2只白球的口袋中任意取出2只球，则事件“取到2只白球”的逆事件是()A取到2只红球B取到的白球数大于2C没有取到白球D至少取到1只红球D因为逆事件等同于否事件，而取到2只白球的否为至少取到1只红球32. 设f为以2为周期，且具有二阶连续可微的函数， 若级数绝对收敛，则设f为以2为周期，且具有二阶连续可微的函数，若级数绝对收敛，则由于f是以2为周期，且具有二阶连续可微的函数，由3习题1知bn=-n2bn，再由3习题3(2)知，即有 故 33. 设A为三阶非零矩阵，r(AB)=1，则正确的是_ (A)t=2时，r(A)=1 (B)t=2时，r(A)=2 (C)f2时，r(A)=1 (D)设A为三阶非零矩阵，r(AB)=1，则正确的是_(A)t=2时，r(A)=1(B)t=2时，r(A)=2(C)f2时，r(A)=1(D)t2时，r(A)=2C当t=2时，有 ，|B|=0，B不可逆 当t2时，r(B)=3，从而B可逆，则r(AB)=r(A)=1 故应选(C). 34. 设A，B，C为三相异共线点，求证：可适当选择A，B的齐次坐标a，b，而使cab，其中c是C点的齐次坐标，写出设A，B，C为三相异共线点，求证：可适当选择A，B的齐次坐标a，b，而使cab，其中c是C点的齐次坐标，写出对偶情况正确答案：设ABC的齐次坐标分别为a1、b1、c则根据定理34存在常数lm使cla1mb1rn 因为ABC为不同的点所以l0m0取A点的坐标为la1B点的坐标为mb1则有cab设A,B,C的齐次坐标分别为a1、b1、c,则根据定理34,存在常数l,m,使cla1mb1,因为A,B,C为不同的点,所以l0,m0,取A点的坐标为la1,B点的坐标为mb1,则有cab35. 设随机变量服从参数为2的指数分布，试证=1-e-2在区间(0，1)上服从均匀分布设随机变量服从参数为2的指数分布，试证=1-e-2在区间(0，1)上服从均匀分布因为服从参数为2的指数分布，则概率密度函数为 分布函数 在x0时，y=1-e-2x的反函数是，有 故服从均匀分布 36. 函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足()A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升A37. 计算第一类曲线积分Lf(x，y)ds时，要注意哪些问题?计算第一类曲线积分Lf(x，y)ds时，要注意哪些问题?(1)如果积分弧段L用显式方程y=y(x)(axb)给出，则可把它当作特殊的参数方程x=t，y-y(t)(atb)的情形来处理但此时有一点要注意：有些可用参数方程统一表示的曲线(特别如闭曲线)，若用显式方程y=y(x)(或x=x(y)来表示，也许需要分弧段表示比如圆L：x=cost，y=sint(0t2)，若用显式方程表示则需分成上半圆L1：(-1x1)和下半圆L2：(-1x1)，这时计算在L上的第一类曲线积分就要分别计算在L1和L2上的第一类曲线积分，然后把结果相加 如果积分弧段L用极坐标方程=()()表示，则可把它看作是特殊的参数方程 x=()cos， y=()sin() 的情形处理容易算得，此时 (2)如同重积分那样，也可以利用对称性来化简第一类曲线积分的计算，有关结论与重积分的情况类似比如，若积分弧段L关于x轴对称，而被积函数f(x，y)关于y是奇函数，则Lf(x，y)ds=0；若f(x，y)关于y是偶函数，则Lf(x，y)ds=2L1f(x，y)ds，其中L1是L上的y0的那一部分弧段又若L关于直线y=x对称，则Lf(x，y)ds=Lf(y，x)ds，等等读者可类比得出其他情况下的结论 计算第一类曲线积分时，还可以利用积分弧段L的方程来化简被积函数(计算第二类曲线积分时也可以这样处理)由于积分变量x，y取在L上，故x，y满足L的方程，因此，需要时可将L的方程代入被积函数，达到化简的目的，这是计算曲线积分(以及以后的曲面积分)特有的方法 38. 求二次曲线224y5y268y1000的主轴求二次曲线224y5y268y1000的主轴正确答案：主轴为612y110和2y20主轴为612y110和2y2039. 下列函数的弹性函数为常数(即不变弹性函数)的有( )，其中a，b，为常数 Ay=ax+b By=ax C Dy=x下列函数的弹性函数为常数(即不变弹性函数)的有()，其中a，b，为常数Ay=ax+bBy=axCDy=xBCD直接计算知B，C，D正确： B： C： D： 事实上，B，C是D的特例. 40. 一个口袋装有许多红色(r)、白色(w)、蓝色（b）的乒乓球，其中任取4个，则观察到的颜色种类的样本空间一个口袋装有许多红色(r)、白色(w)、蓝色（b）的乒乓球，其中任取4个，则观察到的颜色种类的样本空间为_。参考答案r,w,b,rw,rb,wb,rwb41. 设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值当x0时，f(x)=xe-x，最大值f(1)=e-142. 求平面图形的面积：曲线y=a-x2(a0)与x轴所围成的图形求平面图形的面积：曲线y=a-x2(a0)与x轴所围成的图形43. 求方程(x2y2y)dx(2x3yx)dy=0的通解求方程(x2y2-y)dx+(2x3y+x)dy=0的通解 故得解 x2y2+y=cx 44. 已知f(x，y)=x2-2xy+3y2，求f(1，0)，f(tx，ty)，已知f(x，y)=x2-2xy+3y2，求f(1，0)，f(tx，ty)，f(1，0)=1；f(tx，ty)=t2(x2-2xy+3y2)；45. 证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交，从而 N=BT=(cost，sint，0)。故N与z轴垂直 即主法线与z轴垂直，且螺线上任一点r(t)处的主法线方程为=()=r(t)+N(t)=(acost，asint，bt)+(cost，sint，0)。显然z轴上的点(0，0，bt)=(-a)在主法线上，故主法线与z轴垂直相交，交点为(-a)。 46. 0n|sinx|dx (n是自然数)0n|sinx|dx(n是自然数)0n|sinx|dx k=0n-1k(k+1)|sinx|dx 令 x=k+t 则 k(k-1)|sinx|dx=0(k+t)sinxtdt =(2k+1) 原式=k=0n-1(2k+1)=n2 解2 令x=n-t，则 0n|sinx|dx=0n(n-t)|sint|dt =n0n|sint|dt-0nt|sint|dt 从而有 47. 从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?正确答案：矩阵和行列式是两个完全不同的概念。矩阵是由mn个元素排成的一张表,它的行数和列数不一定相等；而行列式是一个特定的算式,其结果为一个数,它的行数和列数必须相等。对于方阵,相应的有与之对应的行列式。方阵行列式的引入,在矩阵与行列式之间建立起了一定的联系,从而可以利用行列式来研究矩阵,如利用|A|0可以判断方阵A的可逆等。48. 画一个无向简单图，使它满足：画一个无向简单图，使它满足：见下图(a) $见图(b)$见图(c)$见图(d) 49. 已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_正确答案：应填3分析向量组的秩小于向量的个数时，可用行列式为0或初等行变换来讨论详解1由于r(1，2，3)2，则矩阵的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即解得t3详解2r(1，2，3)2t25，即t3评注反求参数，一般均可联想到某行列式为零，但初等行变换对于具体的向量组始终是一个有力的工具50. f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )正确答案：