泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第三章连续线性算子与连续线性泛函第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是 Banach空间上的有界线性算子与有界 线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景， 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n维向量空间En映射到另一个m维向量空间Em的运算，就是借助于m行n列的矩阵a11a12IIIam Aa2ia22IIIa2n*f卡iam1am2IIIamn ；对En中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算 抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍 有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。定义3.1由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间Y中的映射T 称为算子，D称为算子T的定义域，记为D（T ），为称像集y y =Tx,x D（T p为 算子的值域，记作T D或TD。若算子T满足：（1）T x y =Tx Tyx,y D T（2） T（： x）Tx- : F,x D T称T为线性算子。对线性算子，我们自然要求 T D是X的子空间。特别地，如果T是由X到实数（复数）域F的映射时，那么称算子T为泛函。例3.1设X是赋范线性空间，是一给定的数，映射T : ： x是X上的 线性算子，称为相似算子；当1时，称T为单位算子或者恒等算子，记作I。例 3.2 C l.a,b 1,定义 Tx t x d由积分的线性知，T是C la,b 1到Cla,b 1空间中的线性算子。若令f x x d-x C l-a,bla则f是cab上的线性泛函。定义3.2设X,Y是两个赋范线性空间，T:X X是线性算子，称T在x点 连续的，是指若:x X, xn- x，则TXn； Tx n若T在X上每一点都连 续，则称T在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。定理3.1设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性算子， 若T在某一点X。 D T 连续，则T在D T上连续。证明：对-x D T ，设：xD T，且xn x n：，于是人-x xq ； x。n-：，由假设T在X。点连续，所以当n时，有T Xn -x Xo 二 TXn - Tx Tx。一 Txo因此，TXn Tx，即T在x点连续。由x的任意性可知，T在D T上连续。定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别 地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若Xn二（X中零元），则TXnd （ Y中零元）。例3.3若T是n维赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T在 X上连续。证明：在X中取一组基喀,2,川1，设nXm =送 X（mX（m =1,2,3，川）且冷“ G.mr :，即 卩 |xm r 0 mr -，贝 U1_n f /2P （xjm）t 0（mT 旳）从而 Xjm 0 j =1,2,3,川 n m：。于是|TXm| =亍因此，Txm二m ：，即T在x“处连续，进而T在X上每点连续定理3.2设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射,则T有界的充分必要条件是：存在常数M .0 ,使不等式成立，即Tx空 M x x D T证明：必要性。因T有界，所以T将D中的闭单位球B -x|x 1映成 Y中的有界集，即像集TB 是Y中的有界集。记M =suplTx : xB ,；，此x时，对每个 D T ,T1,- - B， 由 M 的定义有llxllfx 1T -M （ 3,）即Tx M x，而当x*时，不等式（3.1 ）变成等式。故-xD T有II* M llx充分性。设A是D T的任一有界集，则存在常数 Mi使x：；Mi -xA。由 |tx| wm |x（x d（t）知Ty -M y -MMi y A故TA有界。证毕。定理3.3设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到Y中的线 性映射，则T是连续的充要条件是T是有界的。证明：充分性。设T有界，则存在常数M 0，使对一切x D T ,TxM x，从而对 Xn x n :/x- D T 有TXn Tx 二 T Xn X Tx n：。所以，T是连续的。必要性。若T连续但T是无界的，那么对每个 nN，必存在xD T，使EE加，令八忒1，那么 yn 1 0 n ：:，n续性，Tyn二n：，但是另一方面,Tyn 二TXnnixniinx：-，引出矛盾,第三章连续线性算子与连续线性泛函第三章连续线性算子与连续线性泛函故T有界第三章连续线性算子与连续线性泛函定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用L X,Y表示X到Y的有界线性算子组成的集合。例3.1，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。例3.4考察定义在区间0,1上的连续可微函数全体，记作 C1 10,1丨，其中范数定义为|x|=max x(t )，不难证明，微分算子是把C1 10,1】映入C 0,1中的线 | |0空、jdt性算子。d sin n二 t Idt取函数列sinn二t?，显然，sinn：t =1，但二 n | cos n 二 t 二 n ， n r ：因此，微分算子是无界的定义3.3设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，对一切* X，满足Tx L1 la,b 1，任取 f La, bl，由于 Tf L l.a,bl，从而X f t dt dxdt=dH a (-，a a f t dt dx 二 b -a f因此，T是有界的，并且T乞b-a ;另一方面，对任何使得a ： b的自然数n ，n第三章连续线性算子与连续线性泛函第三章连续线性算子与连续线性泛函n, x a,a1作函数fn X =0,b显然 fnLbbl,且 | fn|=|fntjdt=1，而|Tfn| = L fnUWtdXa !1a七J nn(x a)dx+J 1 J n ndt+J 1 0dt dxaa aa111ba 二b -2nn2n所以，又有 T -SupTfn 二 b-a因此，|T = b - a此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射， 他们的算子范数未必相同。一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对 算子的范数作出估计。例3.6设K s,t在a,bl !a,b】上连续，定义算子T : Ca,b，Ca,bl为bTx s 二 aK s,t x t dt则 T L C(a,b 】,C !a,b】，且证明：由于|T| 兰max K(s,t )dt :a Es兰bllTx(sj f K(s,t)x(t)dt-mofa K(s,t|dtLmax，x(t)J K (s,t )dt: a 兰 s 兰 b!j|x故结论成立。事实上，还可以进一步证明|T|=max( K(s,t Jdt: a 兰 s兰b由于证明要用到实分析知识，这里从略。例3.7已知实矩阵A =(a鳥，定义T : Rm t Rn为Tx= Ax，则-nr m证明：Tx = Ax =ZX aij xji 4j-J1 n m 眾L(Rm,Rn )，且 |T|t 瓦瓦 a2 i j -丿IJ广 n m、2故l|T| 兰SS ai22 z 丿(i吕j 丿1-n广mz m、平Izz2aj迟Xj21iljm) x n ，由f的连续性可得f x =叩- f人=。因此， x N f，所以N f是X的闭子空间。充分性：设N f是闭集，如果f不是有界线性泛函，则对每个自然数 n， 必有 XnXxJ=1,使得 f(XnR n。第三章连续线性算子与连续线性泛函令ynXiXiXn-，则 f (yn ) = 0，即 E N( f )，并且 XnXiyn _f (Xi )Xi。Xnf XnXi但是， f(Xi)fXi)丿f XnXi-1，从而N f。这和N f是f （为）闭集矛盾。因此，f是有界的（2）必要性：设f是连续的，由定理3.i知f在x - V点不连续，从而存在Xn 匸 X ,Xn T 日（n T 吆），但 f （ X* ）色 A 0，对 W X，显然有f（X ）XXn N ff Xn并且x -丄丄xn x n 、，所以N f在X中稠密。f Xn充分性：假设f是连续的，由N f在X中稠密可知，对X，存在 xn； = N f，使 xn； x n ：，从而f x = lim f Xn = 0这与假设f非零矛盾。证毕。我们现在考虑由赋范线性空间 X到赋范线性空间丫的有界线性算子的全体L X,Y的性质。对任意 T,T,T2 l（x,yF，规定Ti +T2 xx ）=T （x）+T2（x ）,（nX ）fTx显然，Ti T2及:T都是线性算子，称Ti T2为Ti与T2的和，:T为与T的积,易验证L X,Y按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子T L X ,Y，算子范数T还满足三个条件：（i） T -sup TX 0，若 T =0，则对一切 x X, Tx =0，即 T =二；x|4x(2) 卜T帘护Tx卜叫啊Tx| =叫|T| ；1X2IIXx, Xxr X(3) 低 +T2| =sup|TiX +T2x| 0 n,m :这说明：Tn x 1是Y中的Cauchy列，由Y的完备性，在Y中存在惟一的一个元，记为T x使得Tn x T x n：。于是，T就是从X到Y的一个算子，其线性可由Tn x的线性推得。又由于Tn - Tm 乞 Tn f 0 n,m 宀因而知数列|Tn卩收敛，即有数0使得sup|Tn|=P，由此推得n|Tx| =nmlTn(x汽p|Tn|Mx =P|x(FXX )故T为有界线性算子，即T L X,Y 。由于|Tn -哺；0 n,m，:，故对-；0，存在自然数N。，使得m,n N。时，有Tn -Tm于是* X, X乞1有Tn X -Tm X乞；X乞；。固定 X，令 mT 比，可得出 |Tn(x)Tm(x3NxE X ,| x| Y 为 Sx t 二 tx t，一t 0,1 lo(1) 问T与S可交换吗？(即ST=TS是否成立？)(2) 求 |S , T ,TS 及 ST4设X为所有有界数列组成的线性空间，范数为| x| =sup ai(x =(a )iqQ给定无穷矩阵T =山)，满足sup瓦tj| 3，定义算子T:Xt X为Tx=y，其中i jmoOx = aj, y = b ，且 bj =tij ajoO证明：TL(X,X )，且 |T|=sup迟 tj oi jT5. 设X二Rn,Y=Rm，在X,Y上定义范数n|xh =送 |XiX=(x,X2|,Xn 卢 Rni zim|yh =送 |yiy =(%”2,川，yn 尸Rm矩阵A = （a定义算子为y=Tx=Axm证明：|T| =max送 q。 | j 1空 y j6. 设f : Rr R连续且可加，即对任意x1,x R有f x-i x2二f捲=f x2 ,证明：f必为f x =R，其中R为常数。7. 设X和Y都是Ba nach空间，TX,Y ）且是满射，证明：对X中任意稠 密子集E，成立FT二Y。8. 设X是Banach空间，T X,X，且T ：:,即在算子范数意义下收敛，记为Tn T n ：；称强 收敛于 T，是指对 Px X, Tn （x ）-T （x | t 0（nT 旳），记为 Tn 1 T（ nT 处）。由定义易知，T T n J: = Tn T n“ ：。但是，反之不成立。例 如，X 二丫 =|2,X 二 1, 2,川，n,IH l2，定义 Tn X 二；1, n-2 ，则 Tn S二n宀，但是，若记e =（0,0，川,0,1,0,川）则人耳1=0，故第三章连续线性算子与连续线性泛函|Tn| = SUP人彳|引人耳=|引=IIX所以对任意自然数n,有|Tn|=1,即|Tn-创=1，故TnT日（n T血）不成立。容易证明，有界线性算子列Tn 致收敛于有界线性算子T的充要条件是Tn 在X的单位球上一致收敛于T。定义3.5设X是一个度量空间，A X，称A是X中的稀疏集，是指A在 X中的任何一个非空开集中均不稠密。又称 X是第一纲的，是指X可表示成至 多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。例3.8 X=有理数集，定义度量，则X是第一纲的，因为Q0 X=Jrn，而单点集rn是X中的稀疏集。n =4下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire纲定理，它是证明共鸣定理的关键。定理3.7设X是完备的度量空间，则X是第二纲的。qQ证明：用反证法。若存在一列稀疏集Z 使X，任取一个闭球n吕Br0 Xo =x: x,Xo 一，由于A在开球Br0 Xo中不稠密，从而可取一个闭球B4 N 0 .1，满足AClBr,为；=必弋口 X4Br0 X。；又A?在开球比为中不稠密，同理，取闭球 瓦X2 02： 4，满足APBZ X2；W,瓦X2二瓦Xi ，按上述过程一直进行下去，可得出闭球列 Brn Xn 1满足如下条件：（1）BroXo= BriXi二 Bq X2二川;（2）BrXnClAn= 一n = 1,2,3,；n丿1（3）o rn2 由条件（3）知，Bg Xn的直径d Br. Xn。n，由闭球套定理，存nnnqQqQ在X，且A Brn （Xn ）=xk ：，对每个，因T是连续的， 所以T必- T x、 Z ，更有T x，又Tx乞p兀，故 TX兰n,即p（x）兰nxA。因X是完备的，由定理 3.7，必存在自然数n， 使A不是稀疏集，从而存在开球Br0 X。r0 0使An。在Br0 X。中稠密，人。是闭 的，所以An二BrX。对任一 XB!V-X：X乞仃，注意到X rx,x -rx Br x则p X rx 乞 n,p x rx 乞 np 2rxp x rx p -x rx=p x rxp x - rx 乞 2n所以p（x）兰。对每个九e、tX兰p（x）兰，即rrIt=sup|Tx|:B!（日餐匹进一步有sup T.x _-no =：:ro证毕。上述共鸣定理说明，对每个xEX,|Tx|泡5 有界，则| .IS 有界。 这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此， 共鸣定理又称一致 有界原理。一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么 条件时是强收敛的？ L X, Y在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了 这些问题。定理3.9设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，汁二L X,Y，若对于每个X,lim T, x在 Y中存在，定义线性算子 T : X Y为T lim Tnx，则 ng：n i.T L X, Y，且Tn ?有界。证明：由lim Tnx在丫中存在，知sup TnX ： :。据定理3.8知，存在常数 n存n 1M 0，使 sup Tn : M，故|TX| =叫1|兰卜艸|训|兰M |x|即T L X,Y。证毕。定理3.10设X是赋范线性空间，Y是Banach空间，计L X,Y，如 果满足下列条件：（1）人1是有界数列；（2）在X中某一稠密子集G中每个元素x,Tnx1收敛。则Tn 1强收敛于某一有界线性算子T ,且T 0，使对一切n = 1,2,3,川,|Tn| M。任取x X，注意到G在X中稠密，故对于任给； 0，存在r G ,使X 丁 I。由条件（2）可知，屮收敛，故存在自然数N，使对一切n-N以及任 意自然数p有Tn .py -Tn y ：；. 3于是|Tn + X _TnX| 勻Tn*X Tn4py +|Tn* y Tn y +|Tn y -Tnx|兰 M L十 #3 + M = S-为M3M故汀nx?是Cauchy列，由于Y是完备的，故Tnx收敛。令Tx = imTnx x X ,则T是定义在X上而值域包含在丫中的线性算子。再由TxJimTnX 汀m Tn x C0,1为nTn(X)(tX(t)CknXt)kT通过计算得出nE =腔閔 CM |(n2,l3)从而 弋汕寸有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道n=1, 2,13,因此，supTn二=,于是由共鸣定理必存在XoC0,1，使Tnxo不收敛于X。，n即Tn xo t不一致收敛于xo t o证毕。例3.11（机械求积公式的收敛性）在积分近似计算中，通常我们考虑形如bnaxtdt :人 tka 乞 to :右：川:tn 乞 b第三章连续线性算子与连续线性泛函第三章连续线性算子与连续线性泛函的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能 保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列第三章连续线性算子与连续线性泛函(3.4)nx(t pt 化送 AfX(t)k其中 a_tn : tin ： 111： t, -b,n = 0,1,2,|需讨论的使在什么条件下，当n时，式（3.4）误差趋向于0,这就是机械求 积公式的收敛性问题。现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数xC0,1都收敛，即(3.5)nb送 AfX(t门)t J x(t )dt(nT 虫k卫a当且仅当以下两个条件成立:n（1） 存在常数 M0，使 a Akn M n =0,1,2,| ;k =0（2）公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。证明：考虑Banach空间Ca,b上的线性泛函nfn x 八 Aknx tkn ,(n =0,1,2,|l|)k 二0对于每个X，Ca,b，nfn（X#E川以仕阳k 二0第三章连续线性算子与连续线性泛函第三章连续线性算子与连续线性泛函因此，| fn|兰|哝卜k=0另一方面，对于每个n（n =1,2,川），取a,b上连续函数（t），使得|対=1且于是所以Xn(tkn)=sgnA)(k =1, 2 n)nk=0fn，An(n = 1, 21 )k=0由条件（2）若x t是多项式函数结论成立，又由于多项式全体是C0,1的稠密子集，由定理3.10,对每一个x. C0,1，公式(3.5)成立。注：本例中条件(2)，多项式集合可用C0,1中稠密子集来代替，如果逐段线性函数集合来代替，结论仍然成立。习题3.21. 设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，T L X, Y n 1,2, 3,若 SUp|Tn|= +0，证明：存在 Xn 亡 X，使得 SUp|TnXo|=M。nn2. 设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，T L X, Y n=1,2,3,H如果 -x X,吒X是Y中的Cauchy列，则f是有界的。3. 设X为多项式全体构成的集合，按通常的函数加法与数乘运算成为一个线性空间，又对任意x t二a。期antn X ,定义|x| =max0 , a1|忆卩(1) 证明证明X不完备；取丫 =R,定义算子列TKX=a 印71 务 (2 1,2|)证明Tk是有界线性算子，且对任意X，成立sup|Tkx| 畑,但是sup|Tkx| =畑 kkqQ4 给定数列，若满足对任意收敛数列，级数二：n收敛，证明：级n =1qQ数迟|Bn v畑。n AqQ5.给定数列n，若对任意X Nlt1,t2,lH l1,级数: ntn收敛，证明：SU -:。 nmn3.3 Hahn-Banach 定理已知X是n维赋范线性空间，在X中取一组基e,e2,Hlen，设(ai,a2,IH,an)是一nn组数，当x八xe X，定义f (x)八xiei，易知，f是X上的线性泛函，记i =ii dai = f (e ) i, =1,2 ,n，,第三章连续线性算子与连续线性泛函n当x = 7 Xie时，由f的线i 4性可得nnf (x)=：Z x f(e)迈昭7i丄这告诉我们n维赋范线性空间上的线性泛函与数组(qaJZan )一一对应，而且 有具体的泛函表达式，本章3.1节例3.1告诉我们，有限维赋范线性空间上的任 何线性泛函都是连续的，因此，对于有限维赋范线性空间上的连续线性泛函的情 况，我们已经有了一个基本了解。那么，我们自然要问：任何一个无限维赋范线 性空间上是否一定有非零连续线性泛函呢？如果有，是否足够多？本节将从线性泛函的延拓入手，讨论这个问题。【定义3.6】若X是实线性空间，称p:X )R为次可加正齐次泛函，如果满足：(1) P(x y)岂 p(x) p(y);(2) p(: x) = : p(x)(: _ 0, x, y X).注：这里所给出的“次可加，正齐次泛函”对我们并不陌生，实际上，在赋范线性空间中，元x的范数x就是这种泛函，一般说来，它未必是“加法”的或“齐次”的。【定理3.12 ( Hahn-Banach定理)设X是实线性空间，p:X R是次可加正齐次泛函。M X是一子空间，f是M上定义的一个实线性泛函，且f(m) p(m)(mM )，那么存在X上的实线性泛函F，满足：(1) F(m) = f (m)(m M );(2) F(x)空 p(x)(x X).证明：我们仅来证明一种特殊情况，当 X比M仅多一维，此时，X 可表示为 X二 mtx0:m M,： R这里 x0 X -M。定义X上的线性泛函F为F(x) =F(m ： X。)= f (m) CC是一个待选择的常数。由于f是M上的线性泛函，那么F是X上的线性泛函，且显然满足(1) 为满足(2),我们来确定常数C,若满足(2),则对一切(mw M ) 及一 R成立不等式f (m) ： C 二 p(m 亠二 x0)这个不等式又等价于下面两个不等式：f () C 一 p(Xo ):0(1) ：f () -C _ p( -Xo): ：: 0I OtCt因为对任何m , m v M有f (m ) f (m )二 f (m m )-p(m m ) _ p(m - X) p(m x0)即(2)f (m ) - p(m -X。) p(m X。)- f (m )于是，令 =supf (m) - p(mx0): m MK2 =inf p(m X) - f (m ): m M据(2)式，:Kj心：:，从而选取C 心&2,则这样的C满足(1)式，于是F(x)在X上满足F(x)岂p(X)。证毕。对于一般情况，由于涉及到超限归纳法，这里略去其证明。由定理3.12,我们可得出下面的有界线性泛函的存在定理和连续线性泛函的 “保范延拓”定理。【定理3.13】设X是实赋范线性空间，如果X门/，则在X上必存在非零 的连续线性泛函。证明：因 X =寸，故 X -= 一，任取 x0 X -p，令 M 二x0 :* 三 R, 又取c =対|，作M上的泛函f : ： X。：c,(怙(X。)= : c)显然，f0是M上的非零有界线性泛函，只要将定理 3.12中p取为p(x) = |X，便可知f0必可延拓成X上的有界线性泛函f，显然f不是零泛函。证毕【定理3.14 ( Banach保范延拓定理)设X是实赋泛线性空间，M是X的 子空间，f是M上的有界线性泛函，则存在 X上的有界线性泛函F满足：(1)F(m)二 f(m),m M ；m。证明：由于f是M上的有界线性泛函，那么f(xl|f|LIIXI这里 II f|M =sup f (m) : m M 是 f 在 M 上的范数。令 p(x) f | M | X，则 P 是 X lim丄上定义的次可加正齐次泛函，由式(3.6)对M，有f (m) _ p(m)。根据定理3.12,存在X上连续线性泛函F满足结论(1)，且F(m)兰p(m)。又F(-x)乞 p(-x) = f m -x = f m x所以F(x f m x可见，F式X上有界线性泛函，且 F乞f M，又F是f的延拓，所以F =suplF(x):x X - sup F (m) : m M /x 1x 1supf f (m) : m M 4 f m l|m|1即 F =| f |m。证毕。注:从定理3.12证明过程中，我们知道多讨论的延拓并不惟一，由此可知， 赋范线性空间的子空间上连续线性泛函的保范延拓一般也不惟一。例3.12设X =R2，对x=(X1,X2)，规定|x| =捲+反,X按此范数|口成为赋范线性空间。又设 M二(知0) :x Y是满射，且Tx |x(x，X)。注：当X是丫的嵌入子空间时，X是丫的子空间TX结构完全相同，因此， 可记为X Y ;当X与Y等距同构时，这两个空间结构也完全相同，可记为X二丫例 3.13 Co =x: x =aj,lim aj =0, a 亡 R，在 c中赋予范数 |=sup ai ,则 ccO”是赋范线性空间。l1 =x: x=bj,瓦|bi -Ho,b R，赋予范数|凶=迟b，则li 4i=1也是赋范线性空间，我们有(Co)* J1证明：对于任一二b l1，定义Co上线性泛函F为：qQF ( x F(ia=J i 于是i 4兰supa任|b )屮ii=1ocFn(x)|=|Fn(ai)| = 2： abi=1所以，FI，即 F (co)另一方面，对 F (Co)*，令d = F(e)，这里e= (0,0，川,0,1 ,0川1)。记二bi，对每个 X 二g Co，由于aje-a= supq t 0(nT 也)，而 F 是第三章连续线性算子与连续线性泛函第三章连续线性算子与连续线性泛函连续线性泛函，因此,nnF(x) = F(q) =nmF(E a：e)=1匹瓦盯)八 i=!i=!F面证明。令(N) = n(N)，其中(N)= nsg nbn=$0这里sgnx是符号函数，贝U lim n(N 0，即(Nr c，且(N)乞1，由式(3.7)知NNbn 八 bnsgn( b.)二 F (畀)乞 Fl乞 F nVn z!N由N的任意性，v bn ： 一 :：，又是得到/I * F。根据上述两步，定义n =1T：l1 (Co)*为T( F , l1，则T是线性算子，是满射，而且 T( )| | (因而是一一映射)。这说明丨1与(C。)*是等距同构的，即(CoJ-l1。例 3.14 (丨1)* =丨：:。证明：令Q是丨1中第k项为1，其它项为0的数列，任取 r (l1)*，令Ck = f(6k), M 二 span e直在M上:_nf(x)八 Ck k, X 八kQ Mk4k4且f (x)兰supcJIX，而M在l1中稠密，由Hahn-Banach定理可得k1f (x)| 兰sup Ck|x|，曽xE lk故 f (x) 0,(n ：)nF是连续线性泛函，所以F(ai) 4mFC a.e.) =m ajF(e)二、ajF(eJ八 i 4八7=1(3.9)记b寸）=bi，下面证 lq。对自然数N，记I|bnsg nbn,0则山= 7b lP，由式（3.9）得N1p（q）、 n =1= F( N F N 厂 F心)第三章连续线性算子与连续线性泛函第三章连续线性算子与连续线性泛函N丄二 F r bnq)pn AN丄于是r bnq)J Fn 1则（、），即卩q n =1由上述两方面证明，定义线性算子T:lq （lp）*为T（）二F，则T是满射，且T（）二 q，故（Ip）* “。证毕。a,例 3.16 Lp a, b f ： f是 a_tb L e bl可积g函数(p1)，定义范数:|f | =(f |f pdt)p，则 FW(Lpa, bj)的充要条件是存在 gLpa,b(其中 a11b一十_=1 ),满足 |F|=|g| ,及 F( x)Jax( t) g)pd,t x 即L a bp _(Lp a b ,* =L_)a b o ,由于证明比较复杂，这里略去。下面讨论一类很重要的赋范线性空间 一自反空间。设X是赋范线性空间，X*是它的共轭空间，因为X*也是赋范线性空间，它也有共轭空间(X*)*，把它记为X*，称为X的二次共轭空间，如此继续下去，就有X的三次共轭空间* * *X =(X )这些空间之间自然是有联系的，我们