江苏南通中学高三上期中数学理试题解析版

2017届江苏南通中学高三（上）期中数学（理）试题一、填空题1已知集合，若，则 【答案】【解析】试题分析：【考点】集合包含关系，集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2命题“”的否定是 【答案】【解析】试题分析：命题“”的否定是【考点】命题的否定3函数的定义域为 【答案】【解析】试题分析：由题意得，定义域为【考点】函数定义域4若角的终边经过点P（a，2a）（a0），则cos = 【答案】【解析】试题分析：【考点】三角函数定义5设是等比数列的前项的和，若，则的值是 【答案】2【解析】试题分析：，因此【考点】等比数列公比与求和6如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么 （用和表示）【答案】【解析】试题分析：【考点】向量表示7已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【答案】2，5【解析】试题分析：，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件2等价法：利用pq与非q非p，qp与非p非q，pq与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件8已知直线与曲线相切，则的值为 【答案】【解析】试题分析：设切点为【考点】导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.9在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，则边AC等于 【答案】【解析】试题分析：由三角形面积公式得,由余弦定理得【考点】解三角形【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.10已知函数是奇函数且函数f（x）在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为 【答案】（1，3【解析】试题分析：当时，所以，所以的单调增区间为，因此【考点】函数性质【思路点睛】（1）运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系11函数y2sin与y轴最近的对称轴方程是 【答案】【解析】试题分析：由题意得，因此与y轴最近的对称轴方程是【考点】三角函数对称轴12如图，点为的重心，且，则的值为 ABCO【答案】32【解析】试题分析：设AB中点为M,则【考点】向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.13已知为数列的前项和，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：，因此，由得，因为关于正整数的解集中的整数解有两个，因此【考点】叠乘法求数列通项14已知函数 函数，若函数 恰有4个零点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：，所以要有4个零点，需满足【考点】函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、解答题15已知向量，记函数若函数的周期为4，且经过点（1）求的值； （2）当时，求函数的最值【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1） 先根据向量数量积、二倍角余弦公式得 ，再根据余弦函数周期性质得 ，解得 （2）根据图像过点解得，再根据，解得，从而由得，再根据余弦函数性质得时取最大值；时取最小值试题解析：（1）由题意得：周期，故 （2）图象过点，即，而，故，则 当时，当时，当时， 【考点】三角函数解析式与性质【方法点睛】已知函数的图象求解析式（1）.（2）由函数的周期求（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求.16设公差不为零的等差数列的前项的和为，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设数列，求证：数列的前项和【答案】（1） （2）详见解析【解析】试题分析：（1） 求等差数列通项公式，一般根据待定系数法求解，由等差数列求和公式得 再由成等比数列得，解方程组得，舍去公差为零的情况，最后根据等差数列通项公式得 （2）由数列通项公式特点，应用裂项相消法求和：，所以试题解析：（1）设等差数列的的首项为，公差为，则或（舍去）故数列的通项公式为即 （2）由（1），得 【考点】裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n2）或.17如图，在中，角的对边分别为，BACD（）求；（）若，为外一点，求四边形面积的最大值【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1） 由正弦定理将边化为角： ，再根据三角形内角关系及诱导公式得 ，结合两角和正弦公式展开化简得 ，最后根据三角形内角范围得 ， （2） 四边形面积由两个三角形面积和组成，其中由于为等腰直角三角形，所以，利用余弦定理可得，又，因此，最后根据正弦函数性质可得最值试题解析：（）在中， ， ，又，故，即又， （）在中，又，由（）可知，为等腰直角三角形， 又，当时，四边形的面积有最大值，最大值为 【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值【答案】（1） S（x）1600sinx800x，0x（2） 【解析】试题分析：（1） 根据扇形面积公式得S扇形AOC800x ，根据三角形面积公式得SCODOCODsinCOD1600sin（x）1600sinx，从而S（x）SCODS扇形AOC1600sinx800x，定义域为0x（2）利用导数求函数最值：先求导数S（x）1600cosx8001600（cosx），再求导函数零点x，最后列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性变化规律，进而得极大值，也是最大值试题解析：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，AOCx rad，所以 扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x 在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积SCODOCODsinCOD1600sin（x）1600sinx 从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x （2）由（1）知， S（x）1600sinx800x，0x S（x）1600cosx8001600（cosx） 由 S（x）0，解得x从而当0x时，S（x）0；当x时， S（x）0 因此 S（x）在区间（0，）上单调递增；在区间（，）上单调递减 所以 当x，S（x）取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大 【考点】利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f（x）0或f（x）0求单调区间；第二步：解f（x）0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小19已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若在上恒成立，求的取值范围【答案】（1） （2） 详见解析（3） 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数： ，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：当时， ，因此在和上单调递增；当时，导函数有两个零点，因此先增再减再增（3）本题不宜变量分离，故直接研究函数，先求导数，导函数有两个零点，再根据两个零点大小分类讨论：时，；时，；时，试题解析：（1）当 时， 所以，函数在点处的切线方程为即： （）函数的定义域为： 当时，恒成立，所以，在和上单调递增当时，令，即：，所以，单调递增区间为，单调减区间为 （）因为在上恒成立，有在上恒成立所以，令，则令则 若，即时，函数在上单调递增，又所以，在上恒成立； 若，即时，当时，单调递增；当时，单调递减所以，在上的最小值为，因为所以不合题意 即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为又因为，所以恒成立综上知，的取值范围是【考点】导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）a恒成立，只需f（x）mina即可；f（x）a恒成立，只需f（x）maxa即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.20已知数列的前项和为，且，N（1）求数列的通项公式；（2）已知（N），记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列【答案】（1） （2） （3）详见解析【解析】试题分析：（1） 由和项求通项，注意分类求解: 由时，相减得，再根据等比数列定义得 （2）先化简 = ，由于常数列与n无关，所以，解得 （3） 当时，两边同时乘以得，两式相减得，最后根据等差数列定义证明试题解析：（1），所以 由得时， 两式相减得， 数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以（） （2）由于数列是常数列= 为常数，只有；解得，此时 （3），其中，所以 当时，式两边同时乘以得，式减去得，所以且所以数列是以为首项，公差为的等差数列 【考点】等差与等比数列定义，由和项求通项【方法点睛】证明an为等差数列的方法：（1）用定义证明：anan1d（d为常数，n2）an为等差数列；（2）用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列；（3）通项法：an为n的一次函数an为等差数列；（4）前n项和法：SnAn2Bn21设矩阵A的逆矩阵为，矩阵B满足AB，求，B【答案】A1，B =【解析】试题分析：由的逆矩阵公式可得，再根据矩阵运算得BA1AB试题解析：因为A，所以|A|76-1由逆矩阵公式得，A1 5分因为AB，所以BA1AB 【考点】矩阵逆矩阵22设矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量【答案】特征值对应的一个特征向量为，特征值对应的一个特征向量为【解析】试题分析：先根据逆矩阵公式得，再根据特征多项式得，解得，最后根据对应向量关系求对应特征向量试题解析：矩阵的逆矩阵为，则特征多项式为令，解得，设特征向量为，则， 易算得特征值对应的一个特征向量为，同理可得特征值对应的一个特征向量为【考点】特征值及特征向量23已知曲线C的极坐标方程为 r2cos，直线l的极坐标方程为 r sin（）m若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值【答案】-或【解析】试题分析：根据将极坐标方程化为直角坐标方程（x1）2y21及，再根据直线与圆位置关系列，解得实数m的值试题解析：曲线C的极坐标方程为 r2cos，化为直角坐标方程为x2y22x 即（x1）2y21，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆 直线l的极坐标方程是 r sin（）m，即rcosrsinm，化为直角坐标方程为 因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以1，解得m或m所以，所求实数m的值为或 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程24在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： （q为参数，qR），直线l： （t为参数，tR），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值【答案】【解析】试题分析：利用代入消元法将参数方程化为普通方程xy60再根据点到直线距离公式得，最后根据三角函数有界性求最值试题解析：将直线l的参数方程化为普通方程为xy60因为点P在曲线C： （为参数）上，所以设P（4cos，3sin）点P到直线l的距离d，其中tan，是锐角所以当cos（）1时，dmin所以点P到直线l的距离的最小值为 【考点】参数方程化为普通方程，点到直线距离公式