二元函数的定义学习教案

会计学1二元函数二元函数(hnsh)的定义的定义第一页，共53页。第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,导数的应导数的应用用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第1页/共52页第二页，共53页。1赵树嫄赵树嫄. 微积分微积分. 中国中国(zhn u)人民人民出版社出版社2同济大学同济大学. 高等数学高等数学. 高等教育出版社高等教育出版社第2页/共52页第三页，共53页。第3页/共52页第四页，共53页。（1）邻域）邻域(ln y)第4页/共52页第五页，共53页。（2）区域）区域(qy)EP例如例如(lr)，即为开集即为开集第5页/共52页第六页，共53页。EP第6页/共52页第七页，共53页。连通的开集称为连通的开集称为(chn wi)区域或开区域区域或开区域例如例如(lr)，xyo例如例如(lr)，xyo第7页/共52页第八页，共53页。有界闭区域有界闭区域(qy)；无界开区域无界开区域(qy)xyo例如例如(lr)，第8页/共52页第九页，共53页。（3）聚点）聚点 内点一定内点一定(ydng)是聚点是聚点； 边界点可能边界点可能(knng)是聚是聚点；点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第9页/共52页第十页，共53页。 点集点集E的聚点可以的聚点可以(ky)属于属于E，也可以，也可以(ky)不属于不属于E例如例如(lr),(0,0) 是聚点但不属于是聚点但不属于(shy)集合集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第10页/共52页第十一页，共53页。（4）n维空间维空间 n维空间的记号维空间的记号(j ho)为为 n维空间中两点间距离维空间中两点间距离(jl)公式公式 第11页/共52页第十二页，共53页。 n维空间中邻域、区域维空间中邻域、区域(qy)等概念等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面时，便为数轴、平面、空间两点间的距离、空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域内点、边界点、区域(qy)、聚点等概念也可定义、聚点等概念也可定义邻域邻域(ln y)：设两点为设两点为第12页/共52页第十三页，共53页。（5）二元函数）二元函数(hnsh)的定义的定义类似类似(li s)地可定义三元及三元以上函数地可定义三元及三元以上函数第13页/共52页第十四页，共53页。例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第14页/共52页第十五页，共53页。（6） 二元函数二元函数(hnsh) 的图形的图形（如下（如下(rxi)页图）页图）第15页/共52页第十六页，共53页。二元函数的图形二元函数的图形(txng)通常是一张曲面通常是一张曲面.第16页/共52页第十七页，共53页。xyzo例如例如(lr),图形图形(txng)如如右图右图.例如例如(lr),左图球面左图球面.单值分支单值分支:第17页/共52页第十八页，共53页。第18页/共52页第十九页，共53页。说明说明(shumng)：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数）二元函数(hnsh)的极限运算法则与一元函的极限运算法则与一元函数数(hnsh)类似类似第19页/共52页第二十页，共53页。例例2 2 求证求证(qizhng) (qizhng) 证证当当 时，时， 22)0()0(0yx原结论原结论(jiln)成立成立第20页/共52页第二十一页，共53页。例例3 3 求极求极限限(jxin) (jxin) 解解其中其中(qzhng)yxu2 第21页/共52页第二十二页，共53页。例例4 4 证明证明(zhngmng) (zhngmng) 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同的不同(b tn)而变化，而变化，故极限故极限(jxin)不存在不存在第22页/共52页第二十三页，共53页。不存在不存在(cnzi).观观察察,263图形图形yxyxz 播放播放(b fn)第23页/共52页第二十四页，共53页。确定极限不存在确定极限不存在(cnzi)的方法：的方法：第24页/共52页第二十五页，共53页。利用利用(lyng)点函数的形式有点函数的形式有第25页/共52页第二十六页，共53页。定义定义(dng(dngy)3y)3第26页/共52页第二十七页，共53页。例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取第27页/共52页第二十八页，共53页。故函数故函数(hnsh)在在(0,0)处连续处连续.当当 时时 220yx第28页/共52页第二十九页，共53页。例例6 6 讨论讨论(toln)(toln)函数函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同的不同(b tn)而变化，而变化，极限极限(jxin)不存在不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第29页/共52页第三十页，共53页。闭区域闭区域(qy)上连续函数的性质上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元上的多元(du yun)(du yun)连续函数连续函数，在，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上上取得两个取得两个(lin )(lin )不同的函数值，则它在不同的函数值，则它在D D上取得上取得介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第30页/共52页第三十一页，共53页。（3）一致）一致(yzh)连续性定理连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域(qy)D(qy)D上的多元连续函数上的多元连续函数必定在必定在D D上一致连续上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合有限次的四则运算和复合(fh)步骤所构成的可用一步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第31页/共52页第三十二页，共53页。例例解解第32页/共52页第三十三页，共53页。多元函数多元函数(hnsh)极限的概念极限的概念多元函数连续多元函数连续(linx)的概念的概念闭区域闭区域(qy)上连续函数的性质上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义第33页/共52页第三十四页，共53页。思考题思考题第34页/共52页第三十五页，共53页。思考题解答思考题解答(jid)不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.),(lim)0, 0(),(yxfyx原因原因(yunyn)为为若取若取第35页/共52页第三十六页，共53页。练练 习习 题题第36页/共52页第三十七页，共53页。第37页/共52页第三十八页，共53页。第38页/共52页第三十九页，共53页。练习题答案练习题答案(d n)第39页/共52页第四十页，共53页。不存在不存在(cnzi).观观察察,263图形图形yxyxz 第40页/共52页第四十一页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第41页/共52页第四十二页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第42页/共52页第四十三页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第43页/共52页第四十四页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第44页/共52页第四十五页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第45页/共52页第四十六页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第46页/共52页第四十七页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第47页/共52页第四十八页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第48页/共52页第四十九页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第49页/共52页第五十页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第50页/共52页第五十一页，共53页。观观察察,263图形图形yxyxz 不存在不存在(cnzi).第51页/共52页第五十二页，共53页。NoImage内容(nirng)总结会计学。2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社。连通的开集称为区域或开区域。(0,0)既是边界点也是聚点。 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E。(0,0) 是聚点但不属于集合。内点、边界点、区域、聚点等概念(ginin)也可定义。（2）二元函数的极限也叫二重极限。例3 求极限。不存在.。在(0,0)处的连续性。故函数在(0,0)处连续.。例6 讨论函数。在(0,0)的连续性。故函数在(0,0)处不连续第五十三页，共53页。