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大家好大家好目录 上页 下页 返回 结束 2 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 目录 上页 下页 返回 结束 3一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1OC2目录 上页 下页 返回 结束 4又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazzyxaOCC目录 上页 下页 返回 结束 5zyxO二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz M目录 上页 下页 返回 结束 6例例1. 将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t目录 上页 下页 返回 结束 7例例2. 求空间曲线 :)(tx)(ty)(tz)( t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 , ),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t这就是旋转曲面满足的参数方程 . 目录 上页 下页 返回 结束 8例如例如, 直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋转曲面方程为4)(4222zyxxzyO目录 上页 下页 返回 结束 9绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xOz 面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 目录 上页 下页 返回 结束 10三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去 z 得投影柱面则C在xOy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCO目录 上页 下页 返回 结束 11zyx1OC例如例如, ,在xOy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC目录 上页 下页 返回 结束 12zxy1又如又如, ,所围的立体在 xOy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xOy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xOy 面上的投影曲线所围之域 .CO目录 上页 下页 返回 结束 13内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线)思考与练习思考与练习 P36 题 1，2，7（展示空间图形）目录 上页 下页 返回 结束 14xzy2zyx1P36 题1 (2)21x2y(1)224yxz0 xy答案答案: OO目录 上页 下页 返回 结束 15zxy(3)aa222azx222ayxO目录 上页 下页 返回 结束 16P36 题2 (1)zy15 xy3 xy15 xy3 xyxO目录 上页 下页 返回 结束 17yz2x3思考思考: :by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bP36 题2(2)19422yx3yO目录 上页 下页 返回 结束 18P37 题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaOyxzaO目录 上页 下页 返回 结束 19P36 3，4，5，6, 8作业作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 2022yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面 的交线在 xOy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的与平面
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