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.定积分与微积分根本定理复习讲义备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的根本思想，了解定积分的概念2.了解微积分根本定理的含义.1.考察形式多为选择题或填空题2.考察简单定积分的求解3.考察曲边梯形面积的求解4.与几何概型相结合考察归纳知识整合1定积分(1)定积分的相关概念：在f(*)d*中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(*)叫做被积函数，*叫做积分变量，f(*)d*叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数f(*)在区间a，b上恒为正时，定积分f(*)d*的几何意义是由直线*a，*b(ab)，y0和曲线yf(*)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影局部)一般情况下，定积分f(*)d*的几何意义是介于*轴、曲线f(*)以及直线*a，*b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在*轴上方的面积等于该区间上的积分值，在*轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的根本性质： kf(*)d*kf(*)d*.f1(*)f2(*)d*f1(*)d*f2(*)d*.f(*)d*f(*)d*f(*)d*.探究1.假设积分变量为t，则f(*)d*与f(t)dt是否相等.提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗.提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分根本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分f(*)g(*)d*(f(*)g(*)的几何意义是什么.提示：由直线*a，*b和曲线yf(*)，yg(*)所围成的曲边梯形的面积2微积分根本定理：如果f(*)是区间a，b上的连续函数，并且F(*)f(*)，则f(*)d*F(b)F(a)，这个结论叫做微积分根本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把F(b)F(a)记成F(*)，即f(*)d*F(*)F(b)F(a)课前预测：1.d*等于()A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 22(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2的位移为()A.B.C.D.3(教材习题改编)直线*0，*2，y0与曲线y*2所围成的曲边梯形的面积为_4(教材改编题)d*_.5由y，直线y*所围成的封闭图形的面积为_考点一 利用微积分根本定理求定积分例1利用微积分根本定理求以下定积分：(1)(*22*1)d*；(2)(sin *cos *)d*；(3)*(*1)d*；(4)d*；(5) sin2d*.求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值强化训练：1求以下定积分：(1)|*1|d*；(2)d*.考点二 利用定积分的几何意义求定积分例2d*_.变式：在本例中，改变积分上限，求d*的值 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小强化训练：2(2021模拟)函数f(*)(cos tsin t)dt(*0)，则f(*)的最大值为_考点三：利用定积分求平面图形的面积例3(2021高考)由曲线y，直线y*2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4C.D6变式训练：假设将“y*2改为“y*2，将“y轴改为“*轴，如何求解.利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案强化训练：3 (2021模拟)如图，曲线y*2和直线*0，*1，y所围成的图形(阴影局部)的面积为()A.B.C.D.考点四：定积分在物理中的应用例4列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开场制动.1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，则物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，则物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt.2变力做功问题物体在变力F(*)的作用下，沿与力F(*)一样方向从*a到*b所做的功为F(*)d*.强化训练：4一物体在力F(*)(单位：N)的作用下沿与力F(*)一样的方向运动了4米，力F(*)做功为()A44 JB46 JC48 J D50 J1个定理微积分根本定理由微积分根本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算3条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进展3个注意定积分的计算应注意的问题(1)假设积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负. 易误警示利用定积分求平面图形的面积的易错点典例(2021高考)函数yf(*)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数y*f(*)(0*1)的图象与*轴围成的图形的面积为_1此题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2此题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量变式训练：1由曲线y*2，y*3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.2(2021高考)设a0.假设曲线y与直线*a，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_. 定积分与微积分根本定理检测题一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1.d*()Aln *ln2*B.1C.D.2(2021高考)二次函数yf(*)的图象如下列图，则它与*轴所围图形的面积为()A.B.C.D.3设函数f(*)a*2b(a0)，假设f(*)d*3f(*0)，则*0等于()A1 B.CD24设f(*)则f(*)d*()A.B.C.D不存在5以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v4010t2，则此物体到达最高时的高度为()A. m B. mC. m D. m6(2021模拟)由直线*，*，y0与曲线ycos *所围成的封闭图形的面积为()A.B1C.D.二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7设asin *d*，则曲线yf(*)*a*a*2在点(1，f(1)处的切线的斜率为_8在等比数列an中，首项a1，a4(12*)d*，则该数列的前5项之和S5等于_9(2021模拟)a，则当(cos *sin *)d*取最大值时，a_.三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10计算以下定积分：(1) sin2*d*；(2)2d*；(3)e2*d*.11如下列图，直线yk*分抛物线y*2与*轴所围图形为面积相等的两局部，求k的值12如图，设点P从原点沿曲线y*2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y*2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y*2及直线*2围成图形的面积为S2，假设S1S2，求点P的坐标 备选习题1一物体做变速直线运动，其vt曲线如下列图，则该物体在 s6 s间的运动路程为_2计算以下定积分：(1) (3*22*1)d*；(2)d*.3求曲线y，y2*，y*所围成图形的面积4*技术监视局对一家颗粒输送仪生产厂进展产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v(t)*公司拟购置一台颗粒输送仪，要求1 min行驶的路程超过7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一. 定积分与微积分根本定理复习讲义答案前测：1.2ln 2例：(1).(2)2.(3).(4)e4e2ln 2.(5).变式：解：(1)|*1|故|*1|d*(1*)d*(*1)d*1.(2) d*|sin *cos *|d* (cos *sin *)d* (sin *cos *)d*(sin *cos *)(cos *sin *) 1(1)22.例：自主解答d*表示y与*0，*1及y0所围成的图形的面积由y得(*1)2y21(y0)，又0*1，y与*0，*1及y0所围成的图形为个圆，其面积为.d*.互动：解：d*表示圆(*1)2y21在第一象限局部的面积，即半圆的面积，所以d*.变式.1例.互动：.变式.例：自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设t s后的速度为v，则v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)设列车由开场制动到停顿所走过的路程为s，则svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20500.2502500(m)，即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开场制动变式.46典例：解析由题意可得f(*)所以y*f(*)与*轴围成图形的面积为10*2d*Error! Reference source not found.(10*10*2)d*3Error! Reference source not found.答案变式5.检测题答案.42ln 2.10.解：(1) .(2)ln .(3) e.11.解：抛物线y*2与*轴两交点的横坐标为*10，*21，所以，抛物线与*轴所围图形的面积S(*2)d*.又由此可得，抛物线y*2与yk*两交点的横坐标为*30，*41k，所以，(*2k*)d*(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.12.解：设直线OP的方程为yk*，点P的坐标为(*，y)，则(k*2)d*(*2k*)d*，即，解得k*2*32k，解得k，即直线OP的方程为y*，所以点P的坐标为.备选题：1.解析：由题图可知，v(t)因此该物体在 s6 s间运动的路程为sv(t)dt2tdt2dtdtt22t|(m)答案： m2.解：(1) (3*22*1)d*(*3*2*) 24.(2)d*d*d*d*2ln *(e21)(ln eln 1)e2.3. 解：由得交点A(1,1)由得交点B(3，1)故所求面积Sd*d*.4.解：由变速直线运动的路程公式，可得st2dt(4t60)dt140dtt3(2t260t)140t7 133 (m)7 676(m)这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一1
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