复合函数知识总结及例题

-复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(*)的值域为B，假设AB，则y关于*函数的y=fg(*)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用围为D，又f对作用，作用围不变，所以，解得，E为的定义域。例1.设函数的定义域为0，1，则函数的定义域为_。解析：函数的定义域为0，1即，所以的作用围为0，1又f对ln*作用，作用围不变，所以解得，故函数的定义域为1，e例2. 假设函数，则函数的定义域为_。解析：先求f的作用围，由，知即f的作用围为，又f对f(*)作用所以，即中*应满足即，解得故函数的定义域为2、的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用围为E，又f对*作用，作用围不变，所以为的定义域。例3. 的定义域为，则函数的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用围为，又f对*作用，作用围不变，所以即函数的定义域为例4. ，则函数的定义域为-解析：先求f的作用围，由，知解得，f的作用围为，又f对*作用，作用围不变，所以，即的定义域为3、的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用围为E，又f对作用，作用围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 假设函数的定义域为，则的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得的作用围为，又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量*的取值围用集合或区间表示f对谁作用，则谁的围是f的作用围，f的作用对象可以变，但f的作用围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题1引理证明函数.假设在区间上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，则，原复合函数在区间上是增函数.证明：在区间任取两个数，使因为在区间上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间上是增函数.2复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减或“同增异减.3、复合函数的单调性判断步骤：确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与。分别确定分解成的两个函数的单调性；假设两个函数在对应的区间上的单调性一样即都是增函数，或都是减函数，则复合后的函数为增函数；假设两个函数在对应的区间上的单调性相异即一个是增函数，而另一个是减函数，则复合后的函数为减函数。4例题演练例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时，假设，为增函数，为增函数.假设，为减函数.为减函数。当时，假设，则为减函数，假设，则为增函数.例3、.y=(2-)在0，1上是*的减函数，求a的取值围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0，1上*的减函数，知y=t是增函数，a1由*0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上*的减函数，知y=t是减函数，0a1由*0，1时，2-2-10, 0a1综上述，0a1或1a2例4、函数为负整数的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数.并证明你的结论。解析由，得，其中即，解得为负整数，即，假设存在实数，使得满足条件，设，当时，为减函数，,当时, 增函数,.由、可知，故存在一指数函数与对数函数同底的指数函数与对数函数互为反函数；二主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3比拟几个数的大小的常用方法有：以和为桥梁；利用函数的单调性；作差三例题分析：例11假设，则，从小到大依次为；2假设，且，都是正数，则，从小到大依次为；3设，且，则与的大小关系是 解：1由得，故2令，则，；同理可得：，3取，知选例2函数，求证：1函数在上为增函数；2方程没有负数根证明：1设，则，；，且，即，函数在上为增函数；2假设是方程的负数根，且，则， 即， 当时，而由知，式不成立； 当时，而，式不成立综上所述，方程没有负数根例3函数且求证：1函数的图象在轴的一侧；2函数图象上任意两点连线的斜率都大于证明：1由得：，当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧函数的图象在轴的一侧；2设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，当时，由1知，又，；当时，由1知，又，函数图象上任意两点连线的斜率都大于同步练习二同步练习：1、函数的定义域为，求函数的定义域。答案：2、函数的定义域为，求的定义域。答案：3、函数的定义域为，求的定义域。答案：4、设，则的定义域为 A. B.C.D.解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为5、函数的定义域为，求的定义域。解析由，有1当时，定义域为；2当，即时，有，定义域为；3当，即时，有，定义域为.故当时，定义域为；当时，定义域为点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进展讨论，要注意思考讨论字母的方法。练习二5同步练习：1函数y*23*2的单调递减区间是A，1B2，C，D，解析：先求函数定义域为o，12，令t*23*2，函数t*在，1上单调递减，在2，上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y*23*2在2，上单调递减答案：B2找出以下函数的单调区间.1；2答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。2单调增区间是，减区间是。3、讨论的单调性。答案：时为增函数，时，为增函数。4求函数y*25*4的定义域、值域和单调区间解：由*25*40，解得*4或*1，所以*，14，当*，14，*25*4R，所以函数的值域是R因为函数y*25*4是由y*与*25*4复合而成，函数y*在其定义域上是单调递减的，函数*25*4在，上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y*25*4的增区间是定义域使y*为减函数、*25*4也为减函数的区间，即，1；y*25*4的减区间是定义域使y*为减函数、*25*4为增函数的区间，即4，变式练习一、选择题1函数f*的定义域是A1，B2，C，2D解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1*2答案：D2函数y*23*2的单调递减区间是A，1B2，C，D，解析：先求函数定义域为o，12，令t*23*2，函数t*在，1上单调递减，在2，上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y*23*2在2，上单调递减答案：B3假设2*2y*y，则的值为A4B1或C1或4D错解：由2*2y*y，得*2y2*y，解得*4y或*y，则有或1答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即*2y0，所以*2y所以*y舍掉只有*4y答案：D4假设定义在区间1，0的函数f*1满足f*0，则a的取值围为A0，B0，1C，D0，解析：因为*1，0，所以*10，1当f*0时，根据图象只有02al，解得0a根据本节思维过程中第四条提到的性质答案：A5函数y1的图象关于Ay轴对称B*轴对称C原点对称D直线y*对称解析：y1，所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案：C二、填空题y2a*在0，1上是*的减函数，则a的取值围是_解析：a0且a1*2a*是减函数，要使y2a*是减函数，则a1，又2a*0a0*1a2，所以a1，2答案：a1，27函数f*的图象与g*的图象关于直线y*对称，则f2*2的单调递减区间为_解析：因为f*与g*互为反函数，所以f*则f2*22*2，令*2*20，解得0*2*2*2在0，1上单调递增，则f*在0，1上单调递减；*2*2在1，2上单调递减，则f*在1，2上单调递增所以f2*2的单调递减区间为0，1答案：0，18定义域为R的偶函数f*在0，上是增函数，且f0，则不等式flog4*0的解集是_解析：因为f*是偶函数，所以ff0又f*在0，上是增函数，所以f*在，0上是减函数所以flog4*0log4*或log4*解得*2或0*答案：*2或0*三、解答题9求函数y*25*4的定义域、值域和单调区间解：由*25*40，解得*4或*1，所以*，14，当*，14，*25*4R，所以函数的值域是R因为函数y*25*4是由y*与*25*4复合而成，函数y*在其定义域上是单调递减的，函数*25*4在，上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y*25*4的增区间是定义域使y*为减函数、*25*4也为减函数的区间，即，1；y*25*4的减区间是定义域使y*为减函数、*25*4为增函数的区间，即4，10设函数f*，1求函数f*的定义域；2判断函数f*的单调性，并给出证明；3函数f*的反函数f1*，问函数yf1*的图象与*轴有交点吗?假设有，求出交点坐标；假设无交点，说明理由解：1由3*50且0，解得*且*取交集得*2令*，随着*增大，函数值减小，所以在定义域是减函数；1随着*增大，函数值减小，所以在定义域是减函数又ylg*在定义域是增函数，根据复合单调性可知，y是减函数，所以f*是减函数3因为直接求f*的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数f*的反函数f1*与工轴的交点为*0，0根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f*与y轴的交点是0，*0，将0，*0代入f*，解得*0所以函数yf1*的图象与*轴有交点，交点为，0。. z