习题课微积分12章

习题课微积分12章一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数（一）函数（一）函数1.1.函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类2.2.函数的性质函数的性质有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期3.3.反函数反函数4.4.隐函数隐函数5.5.基本初等函数基本初等函数幂、指、反、对、三幂、指、反、对、三6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数8.8.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfx )(limAxfxx )(lim0左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大 )(limxf两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小0)(lim xf判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（二）极限（二）极限1 1、极限的定义：、极限的定义：定义定义N 定义定义 定定义义X 单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小； 无穷大；无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限极限存在的条件极限存在的条件4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则迫敛性、单调有界原理迫敛性、单调有界原理6 6、两个重要极限、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx(1)1sinlim0 xxx; 1sinlim 某某过过程程(2)exxx )11(lim(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim.)1(lim1e 某过程某过程7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续（三）连续连连续续定定义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连连续续定定义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数连续函数的的 性性 质质1 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、典型例题二、典型例题例例1 1).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即解联立方程组解联立方程组 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(. 1111)( xxxxf例例2 求下列极限求下列极限)11()311)(211(lim222nn nnnnn1134322321lim 原原式式nnn1lim21 21 )1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnnxxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim22原原式式xxnn 11lim12x 1121lim nnnnn 121lim2)1(lim nnnnnnn原原式式 202212 1lim21 xnxxxnx1)1()1()1(lim21 xxxxnx原原式式1)2()1()1(lim121 xxxnxnnxnx)2()1(lim121 nxxxnxnn12)1( nn2)1( nn)0( ,2cos2cos2coslim2 xxxxnnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2 原式原式nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211 nnnxx2sin2sinlim nnnxxxx2sin2limsin xxsin 例例3ccxcxxx，求，求设设4lim 解一解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二解二xxxxxxcxccxcx 11limlimccee ce2 例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge )()(1ln(xfxf .)()(limxfxge 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例5 证明证明1lim nna1lim nnn证证1 a先先设设1 na则则01 nnnhah记记得得由由nnha 1 2! 2)1(1)1(nnnnhnnnhhannh （整体和大于部分和）（整体和大于部分和）nahn 0由夹逼定理知由夹逼定理知0lim nnh1lim nnabaa11 ，记记若若1 b则则nnnnba1limlim 1 1 nn首首先先nnhn 1记记 22! 2)1(1)1(nnnnhnnnhhn2! 2)1(1nhnn nhn202 由夹逼定理知由夹逼定理知0lim nnh1lim nnn例例6 求极限求极限 nnnnnnnnn2222211lim 分析分析 要用夹逼定理，须进行放缩要用夹逼定理，须进行放缩1)()1(22 nnnnnnnn 1)1(lim2 nnnnn但但21)(lim2 nnnnn不能这样用夹逼定理，不能这样用夹逼定理，解解注意到分子成等差数列注意到分子成等差数列 nnnnnn2)()2()1(1)()2()1(2 nnnnn)1(2)13()(2)13(22 nnnnnnn 即即23)(2)13(lim2 nnnnn23)1(2)13(lim2 nnnn232211lim222 nnnnnnnnn例例7 )0()(21, 011 axaxxxnnn有有极极限限证证明明设设证证0 nx显然显然axaxxnnn )(211)(211nnnnxxaxx 0212 nnxxa即即xn单调减，有下界单调减，有下界故由单调有界原理得故由单调有界原理得存在存在nnx lim0lim AAxnn，则则设设两两边边取取极极限限得得在在)(211nnnxaxx )(21AaAA （舍去）（舍去）解得解得aAaA ,例例8 8).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23为为待待定定系系数数其其中中可可设设babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故例例9 )0(, 0lim2 axcbxaxx 求求若若解解0lim2 xcbxaxx0lim2 xxcbxaxx xxxcbxaxx 2lim0lim2 xxcxbax a xcbxaxx 2lim xacbxaxx 2limxacbxaxcbxx 2limaxcxbaxcbx 2limab2 例例10 求下列极限求下列极限xxx1)1(lim0 xexx1lim)1ln(0 )1ln(1()1ln(xex xxx)1ln(lim0 xx 1)1( xxxexxsinsinlim0 xxeexxxxsin1limsinsin0 1 xxx2sintanlim 212lim xxx 只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质xxx2sintanlim )22sin()tan(lim0ttxtt 令令ttt2sintanlim0 212lim0 ttt例例111, 0)1)()(, xxxaxbxxfba，有有可可去去间间断断点点间间断断点点有有无无穷穷的的值值，使使确确定定解解因因f(x)在在x=0处为无穷间断，即处为无穷间断，即 )(lim0 xfxbxxaxxfxx )1)(lim)(1lim000bxaxx 0lim0, 0 ba又又x=1为可去间断，为可去间断，存在存在故故)(lim1xfx)(lim11bxbx )1)()(lim1 xaxxfx)1)(lim)(lim11 xaxxfxx0 1 b例例12 则则有间断点有间断点连续函数，且连续函数，且为为有定义有定义在在和和设设,)(, 0)()(,),()()(xxfxfxxf 必有间断点必有间断点)(.xfA 必必有有间间断断点点)(.xfB 必有间断点必有间断点)()(.xfxC 必必有有间间断断点点)(.2xD 0101)(.0101)(,)(.0101)(,)(.|xxxDxxxexfBxxxexfAxx ，则则满满足足与与设设数数列列0lim nnnnnyxyx必必发发散散收收敛敛，nnyxA.必必有有界界无无界界，nnyxB.必为无穷小必为无穷小有界，有界，nnyxC.必必为为无无穷穷小小为为无无穷穷小小，nnyxD1.nynxCknknnyknnknxBnynxAnnnnnn ,1.12021220.1,.22例例13)(lim, 2112sin)(1lim030 xfexxfxxx 求求已知已知解解2112sin)(1lim30 xxexxf由由0)1(lim30 xxe而而)12sin)(1(lim0 xxfx)1(112sin)(1lim330 xxxeexxf02 0 12sin)(1lim0 xxfx02sin)(lim0 xxfx从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得112sin)(1lim230 xxexxfxxxfx32sin)(21lim0 xxxfx22sin)(lim310 122sinlim0 xxx由由6)(lim)(lim00 xfxfxx存存在在，且且例例1414.1,2cos1,1)(的的连连续续性性讨讨论论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(内连续内连续在在显然显然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间间断断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0.1)(连连续续在在故故 xxf.), 1()1,()(连续连续在在 xf例例15 证明若证明若f(x)和和g(x)连续，则函数连续，则函数也连续也连续和和)(),(min)()(),(max)(xgxfxxgxfx 证证)(),(max)(xgxfx 2)()(2| )()(|xgxfxgxf )(),(min)(xgxfx 2)()(2| )()(|xgxfxgxf 由于由于f(x)和和g(x)连续，故连续，故f(x)+g(x)连续连续也也连连续续2)()(| )()(|xgxfxgxf 都都连连续续)(),(xx 例例16利用介值定理证明，当利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程为奇数时，方程)0( ,001110 aaxaxaxannnn至少有一实根至少有一实根证证,0)(1110 nnnnaxaxaxaxf令令nxxxf)(lim )(lim1110nnnnxxaxaxaa 00 a故由函数极限的保号性质可知故由函数极限的保号性质可知时时使使当当00|, 0XxX 同号，同号，与与0)(axxfn同同号号与与时时，亦亦即即，当当nxaxfXx00)(| 又又 n 是奇数，所以是奇数，所以异异号号与与nnXaXa)2()2(0000 0)2()2(00 XfXf上上连连续续在在而而2 ,2)(00XXxf 故由零点定理知故由零点定理知0)()2 ,2(00 fXX，使使至少有一实根至少有一实根即即01110 nnnnaxaxaxa例例17 niiniiiinpxfpfbanipbxxabaxf111)()(),(), 2 , 1(0,)( 使使证明证明上连续，且上连续，且在在若若证证由题设知由题设知上上连连续续在在,)(1nxxxf故在故在,1nxx上必存在最大值上必存在最大值 M 和最小值和最小值 m), 2 , 1()(niMxfmi ), 2 , 1()(niMpxfpmpiiii Mpxfpmpiniiiniini 111)(Mpxfpmniiniii 11)(由介值定理可得由介值定理可得),(,1baxxn niiniiipxfpf11)()( 使使