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第7章二角形精练精析提要：本章的考查重点是三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形的一些特殊性质由 于全等三角形是研究图形相等的重要工具，所以这一部分内容也是学好其它几何知识的基础.本章虽然内容较多，但各部分知识之间的联系密切，既要注意了解各部分知识之间的联系，又要保持各部分知识相对的独立性.本章的难点是推理入门.以前在第一册中已了解了推理证明，以及证明几何命题的一般方法步骤，是为现在正规练习证明做准备的.证明要求掌握有理有据地推理，精练准确地表达过程，有一定难度.习题一、填空题1如果三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是三角形.2 .已知 ABC中，AD丄BC于D, AE为/ A的平分线，且/ B=35 / C=65 则/ DAE 的度数为 .3. 三角形中最大的内角不能小于 ，两个外角的和必大于 .4. 三角形ABC中，/ A=40 顶点C处的外角为110 那么/ B=.5. 锐角三角形任意两锐角的和必大于 .6. 三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为 三角形.7. 在三角形 ABC中，已知/ A= 80 / B= 50那么/ C的度数是.1& 已知/ a= / B=3/ C,则/ A=.29.已知，如图 7-1，/ ACD = 130 / A=Z B,那么/ A的度数是.AA10.如图7-2,根据图形填空:“c v(1) AD图ABC中/ BAC的角平分线，7-2/ =Z丄(2) AE 是厶 ABC 中线，贝U =2.(3) AF 是厶 ABC 的高，则/ =/= 9011. 如图 7-3所示，图中有 个三角形， 个直角三角形.12. 在四边形的四个外角中，最多有个钝角，最多有个锐角，最多有直角.13. 四边形 ABCD 中，若/ A+ / B= / C+ / D，若/ C=2/ D，则/ C =.14. 一个多边形的每个外角都为30 则这个多边形的边数为 ;一个多边形的每个内角都为135则这个多边形的边数为 .15. 某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形 6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是 .16. 若一个n边形的边数增加一倍，则内角和将 .17. 在一个顶点处，若此正n边形的内角和为，则此正多边形可以铺满地面.图7-4B=19. 如图7-5,由平面上五个点 A、B、C、D、E连结而成，则/ A+ / B+Z C+ / D + Z E=20. 以长度为5cm、7cm、9cm 13cm的线段中的三条为边，能够组成三角形的情况有 分别是 .二、选择题已知三角形ABC的三个内角满足关系Z21.B +Z C=3/ A，则此三角形（)种,A .一定有一个内角为45 B .一定有一个内角为60 C .定是直角三角形D.定是钝角三角形如果一个三角形的三个外角之比为22.2: 3:4，则与之对应的三个内角度数之比为（）.A. 4: 3: 2B. 3: 2:C. 5: 3: 1D. 3: 1:三角形中至少有一个内角大于或等于（A. 45 B. 55C. 60如图7-6，下列说法中错误的是（A. Z 1不是三角形 ABC的外角B. Z BZ A+ Z B25.如图7-7 , C在AB的延长线上，Z FBA的度数为（ ）.A. 50 B . 60 C . 70 D . 80 下列叙述中错误的一项是（）.A.三角形的中线、角平分线、高都是线段.B .三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部.C .只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形.D .三角形的三条角平分线都在三角形内部.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）.A . 1, 5, 7 B . 3, 4, 7 C . 7, 4, 1 D . 5, 5, 5如果三角形的两边长为3和5,那么第三边长可以是下面的A . 1 B . 9 C . 3 D . 10三条线段a= 5, b= 3, c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（A . 1个 B . 3个 C . 5个 D.无数个四边形的四个内角可以都是（）.A.锐角B.直角C .钝角D .以上答案都不对23.24.26.27.).65 ).CE丄 AF 于 E,交 FB 于 D，若/ F=40 / C=20 则图7-728.).29.).30.31.下列判断中正确的是（）.A.四边形的外角和大于内角和B .若多边形边数从 3增加到n （n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变C. 一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多D . 一个多边形的内角和为 一个五边形有三个角是直角，A . 108 B . 125 C .多边形每一个内角都等于A . 7条 如图7-9，A.咼C.中线32.33.34.35.1880另两个角都等于135 D. 150150 则从此多边形一个顶点发出的对角线有（n,贝U n的值为（）.)B. 8 条 C. 9 条 D. 10 条三角形 ABC中，D为BC上的一点，且 Ssbd=Ssdc，贝AD为（ ）. B .角平分线D .不能确定如图A.角平分线C. 一角的平分线 现有长度分别为）.1B.中线D.角平分线所在射线6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数36. 为（A.1 B.2 C.337. 如图7-11,三角形 ABC中， 的延长线于点E、H、F、G,下列四个式子中正确的是（2cm、4cm、D.4AD平分/ BAC, EG丄AD，且分别交 AB、AD、AC及BC）Al38 .如图7-12，在三角形 ABC中，/ 1 = Z 2，G为AD的中点，延长 BG交AC于E . F为AB上的一点，CF丄AD于H .下列判断正确的有（）.（1）AD是三角形ABE的角平分线.（2）BE是三角形 ABD边AD上的中线.（3）CH为三角形 ACD边AD上的高.A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个三、解答题39 .如图，在三角形 ABC中，/ B=Z C，D是BC上一点，且 FD丄BC， =140，你能求出/ EDF的度数吗？A0DE 丄 AB，Z aFD7-1240. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正 东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西 52方向，乙岛在丁岛的南偏东 40方向.那 么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？41. 如图，已知三角形 ABC的三个内角平分线交于点I , IH丄BC于H，试比较/ CIH和/ BID的大小.42. 女口图，在三角形 ABC 中，AD 丄 BC, BE 丄AC, CF 丄 AB, BC=16, AD = 3, BE=4, CF=6, 你能求出三角形ABC的周长吗？43. 如图，在三角形 ABC中，AD是BC边上的中线，三角形 ABD的周长比三角形 ACD的 周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？44. 已知等腰三角形的周长是16cm.(1 )若其中一边长为 4cm，求另外两边的长；(2) 若其中一边长为 6cm，求另外两边长;(3) 若三边长都是整数，求三角形各边的长.45. 如图，四边形 ABCD中，/ A=Z C=90 , BE平分/ ABC, DF平分/ ADC，试问 BE 与DF平行吗？为什么？46. 某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125 老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？47把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形，如图所示.请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形：（1）不是正方形的菱形；（2）不是正方形的长方形；（3）梯形；（4）不是长方形、菱形的 的平行四边形.48. 下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题.已知等腰三角形ABC的角A等于30请你求出其余两角”.同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：其余两角是30和120；王华同学说： 其余两角是75和75 ”还有一些同学也提出了自己的看法 （1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论 ，你有什么感受？（用一句话表示）49. 如图，凸六边形 ABCDEF的六个角都是 120 边长 AB = 2cm, BC=8cm, CD = 11cm,DE = 6cm,你能求出这个六边形的周长吗？参考解析:一、填空题1. 直角2.153. 60 180 4. 70 5. 90 6. 锐角7. Z C = 180 - 80 -50 = 50 &设/ A的度数为x.则/ B = 2x,所以 x+ 2x + 亍x= 180 解得 x = 54 所以/ A = 54 9. Z A =Z B =/ ACD = 6510. (1) BAD, CAD , BAC;(2) BE, CE, BC;(3) AFB , AFC .11. 解：有5个三角形，分别是厶 ABD , ADE , CDE , ADC , ABC ;有4个直角三 角形，分别是厶ABD， ADE， CDE， ADC .12. 3, 2, 413. 120 14. 12, 815. 正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可.16. 增加(n 4) X180 17. 360 或 720 或 180 18. 解：因为/ BED = Z A +Z D=47 所以/ B= 180。一 90。一47 43所以/ BCD = 27+ 43 = 70.所以/ ACB = 180 70 = 110 19. 解：连结BC,如图，则/ DBC + Z ECB = Z D + Z E.所以/ A+ Z B+ Z C+ Z D + Z E = Z A+ Z B+Z C+ Z DBC +Z ECB = 180 20. 解：有 3 种.分别以长为 5cm, 7cm, 9cm; 7cm, 9cm13cm; 5cm, 9cm, 13cm 的线段 为边能组成三角形.二、选择题21. A22. C23. C24. D25. C26. C27. D28. C29. C30. B31. B32. C33. C34. C（点拨：可能会错选 A或B .有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A;有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B .其实，因为 ABD与厶ACD同高h,又丄 SSBD=SSDC，即亍BD 0=亍CD 0，所以，BD=CD，由此可知，AD为三角形 ABC中BC 边的中线.）35. D（点拨：可能会错选 A或选C 错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分 线为一线段这一条件；而错选 C的同学，实质上与错选 A的同学犯的是同一个错误，显然 这里角平分线”与一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说AH必为三角形 ABC的”）36. A（点拨：由三角形的三边关系知：若长度分别为2cm、4cm、6cm,不可以组成三角形；若长度分别为4cm、6cm、8cm，则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm，则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm，则不可以组成三角形.即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A.）37. C（点拨：因为 EG丄AD，交点为H , AD平分/ BAC,所以在直角三角形 AHE中，/ 1 = 90，在三角形 ABC 中，易知Z BAC = 180 (Z 2 + Z 3), 所以Z 1 = 90： : 180 II-(Z 2+Z 3)=： (/ 3+ / 2). 又因为/ 1是三角形 EBG的外角，所以/ 1 = Z 2+Z G.1所以Z G = Z 1 Z 2=：L(Z 3+ Z 2)-Z 2=(/3-Z 2).)38. A（点拨：由Z 1 = Z 2,知AD平分Z BAE，但AD不是三角形 ABE内的线段，所以（1）不 正确；同理，BE虽然经过三角形 ABD边AD的中点G,但BE不是三角形 ABD内的线段， 故（2）不正确；由于 CH丄AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确.应选 A.）三、解答题39. 解析：要想求Z EDF的度数，我们可以利用平角定义， 只要能求出Z EDB即可.而Z EDB 在三角形BDE中，只要能求出Z B就可以利用三角形内角和求Z EDB .而Z B又等于Z C, 题中告诉了三角形 DFC的一个外角Z AFD = 140，所以我们能得出Z C的度数.解：因为Z AFD是三角形DCF的一个外角.所以Z AFD = Z C+ Z FDC .即 140 =Z C+ 90 解得/ C = 50 所以/ B = Z C= 50 所以/ EDB = 180。一 90。一 50 = 40 所以/ FDE = 180。一 90。一40 = 50 40解析：我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向把题中数据与图形一一 对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向.解：设甲岛处的位置为 A,乙岛处的位置为B,丙岛处的位置为D , 丁岛处的位置为 C.如因为丁岛在丙岛的正北方，所以CD丄AB 因为甲岛在丁岛的南偏西52。方向，所以/ ACD = 52 所以/ CAD = 180 -90 -52 = 38 所以丁岛在甲岛的东偏北 38。方向. 因为乙岛在丁岛的南偏东 40。方向，所以/ BCD=40 所以/ CBD = 180 -90 -40 = 50 所以丁岛在乙岛的西偏北50 -方向.41 解析：利用角平分线的性质解.解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，.1 .1 1所以/ BAD=2 / BAC,/ ABI=2 / ABC,/ HCI =龙 / ACB 111所 以 / BAD +/ ABI+/ HCI =2/ BAC+2/ ABC+ -/ ACB =21_(/ BAC+/ ABC+/ ACB)=亍&80。= 90所以/ BAD + / ABI = 90。一/ HCI 又因为/ BAD + / ABI =/ BID , 90-Z HCI =/ CIH ,所以/ BID =/ CIH 所以/ BID和/ CIH是相等的关系.42解析：本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三 边相加即可得到三角形的周长.2-百解：由三角形面积公式可得&abc=心BC0D = AC BE，即16 X3 = 4 AC,所以AC =12.由三角形面积公式可得 0 abc=? BCXAD = 2 AB XCF，即16 X3= 6XAB.所以AB = &所以三角形 ABC的周长为16+12+8 = 36 43解析：本题要求AC与AB的边长的差，且 AC与AB的长度都不知道，不少同学感到无从下手.其实，只要我们仔细分析分析题中条件：三角形ABD的周长比三角形 ACD的周长小5，即卩AC-AB+CD-BD=5，又AD是BC边上的中线，所以 BD=CD .所以AC-AB=5 .解：AC-AB=5.44. 解析：在第（1）和第（2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进 行分类讨论.在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所 以其最长边小于8cm,我们可以用列表法一一列出各组边长.解：（1）如果腰长为 4cm,则底边长为 16-4-4 = 8cm.三边长为4cm, 4cm, 8cm，不符 合三角形三边关系定理所以应该是底边长为4cm 所以腰长为（16-4）吃=6cm 三边长为4cm, 6cm, 6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm.（2）如果腰长为 6cm，则底边长为16-6-6 = 4cm.三边长为4cm, 6cm, 6cm,符合三角形三边关系定理所以另外两边长分别为6cm和4cm.如果底边长为 6cm,则腰长为（16-6）吃=5cm.三边长为 6cm, 5cm, 5cm,符合三角 形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm.（3） 因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰 三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下：7cm, 7cm, 2cm; 6cm, 5cm, 5cm; 6cm, 6cm , 4cm，共有这三种情况.45. 解析：要想 BE与DF平行，就要找平行的条件.题中只给出了/A=Z C=90 BE平 分/ ABC, DF平分/ ADC .那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？经过仔细观察图形我们知道/ BFD是三角形 ADF的外角，则/ BFD = Z A+ / ADF .而/ ADF是 / ADC的一半，/ ABE是/ ABC的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行.解：BE与DF平行.理由如下：由n边形内角和公式可得四边形内角和为（4-2） X180 = 360 因为/ A =Z C=90 所以/ ADC+ / ABC=180 因为BE平分/ ABC , DF平分/ ADC,所以/ ADF =/ ADC,/ ABE =/ ABC.因为/ BFD是三角形ADF的外角，所以/ BFD = / A+ / ADF .所以/ BFD + / ABE =/ A+ / ADC + / ABC = / A+ （/ ADC + / ABC ）= 90 + 90 =180.所以BE与DF平行.46. 解析：我们发现1125不能被180。整除，所以老师说少加了一个角的度数.我们可设少 加的度数为x，利用整除求解.解：设少加的度数为 x.则 1125 = 180 X7-135 :因为 0x180 所以x = 135 所以此多边形的内角和为 1125 135 = 1260 设多边形的边数为 n,贝9（ n 2） X180 = 1260 解得 n= 9.所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135 47. 解析：题中告诉了我们按要求拼成.解：如图:48. 解析：本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件等腰三角形ABC的角A等于30这个不确定条件进行分析研究.当/ A是顶角时，设底角是 a,二30 +a +a =180 a =75；二其余两底角是 75 和75.当/ A是底角时，设顶角是 30 +30 +3 =180 3 =120； 其余两角是 30和120 由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误.对于第（2）问应在第（1）问的解答的基础上，可总结出根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题”考虑问题要全面”等.小结：三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的.49. 解析：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长由六边形 ABCDEF的六个角都是120。，可知六边形的每一个外角的度数都是60如图4，如果延长 BA，得到的/ PAF=60 ,延长EF，得到的/ PFA=60两条直线相交形成三角形APF，在三角形 APF中，/ P的度数为180 60 60 = 60因此三角形 APF是等边三角形.同样的道理，我 们分别延长 AB、DC,交于点G,那么三角形 BGC为等边三角形.分别延长 FE、CD交于 点H，则三角形 DHE也是等边三角形.所以/ P=Z G= / H=60 .所以三角形 GHP也是等 边三角形于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形 ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线 AB、CD、EF的延长线使它们交于点 G、H、P .因为六边形ABCDEF的六个角都是120所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是 60所以三角形 APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以 GC=BC=8cm, DH = DE = 6cm.所以 GH=8 + 11 + 6 = 25cm , FA=FA=PG-AB-BG =25-2-8 = 15cm, EF=PH-PF-EH=25-15-6 =4cm.所以六边形的周长为 2 + 8+11+6+4+15 = 46cm.小结：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程， 再通 过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.
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