微专题7立体几何中的计算问题

专题二I立体几何微专题7立体几何中的计算问题真題恿悟害克整合I真题感悟（2019江苏卷）如图，长方体 ABCD AiBiCiDi的体积是120, E为CCi的中点,则三棱锥E BCD的体积是.解析 设长方体中BC = a, CD = b, CCi= c,则abc= i20,VE BCDi i ix qabxabc= i0.答案 i0考点整合空间几何体的两组常用公式（i）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及球的表面积公式： S直棱柱侧=ch（c为底面周长，h为高）；i S正棱锥侧= 2ch c（为底面周长，h为斜高）;i S正棱台侧=2（c+ chj c（, c分别为上、下底面的周长，h为斜高）； S 球表 =4nR（R为球的半径）.柱体、锥体和球的体积公式： V柱体=Sh（S为底面面积，h为高）; V锥体=3Sh（S为底面面积，h为高）； v 球=3 nR3.热点聚焦B类突阳热点一 表面积(侧面积)的计算AB, BC折起使【例1】(2019全国川卷)图是由矩形ADEB, RtA ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 AB= 1, BE= BF = 2,Z FBC = 60.将其沿得BE与BF重合,BCGE;(1)证明：图中的A, C, G, D四点共面，且平面ABC丄平面(2) 求图中的四边形ACGD的面积.CG确定一个平(1)证明 由已知得 AD / BE, CG / BE,所以 AD / CG, 故 AD, 面，从而A, C, G, D四点共面.由已知得 AB丄 BE, AB丄 BC, 且 BEn BC= B, BE, BC?平面 BCGE,故AB丄平面BCGE.又因为AB?平面ABC，所以平面 ABC丄平面BCGE.解 取CG的中点M，连接EM , DM.因为AB / DE , AB丄平面BCGE,所以DE丄平面CG?平面 BCGE, 故 DE 丄EM , DE丄 CG.由已知，四边形 BCGE是菱形，且/ EBC = 60,得EM丄CG, 又 DE n EM = E, DE, EM?平面 DEM , 故 CG丄平面 DEM.又DM?平面DEM，因此DM丄CG.在 RtADEM 中，DE= 1, EM = .3 故 DM = 2.又 CG= BF = 2,所以四边形ACGD的面积S= CG DM = 2X2 = 4.探究提高(1)解决与折叠有关的问题的关键是找出折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量， 而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要 分析折叠前的图形【训练1】(2019南京、盐城高三二模)已知正四棱锥P ABCD的所有棱长都相等，高为寸2,则该正四棱锥的表面积为 .解析 设正四棱锥的棱长为2a，由题得(3a)2 = a2 + ( 2)2，所以a= 1.所以四棱 锥的棱长为2.所以正四棱锥的表面积二2X 243 x 22 X 4二4+ 4 3.答案 4 + 4 3热点二体积的计算【例2】(1)(2017江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1V1，球0的体积为V2，则的值是.(2018徐州、连云港、宿迁三检)在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1丄平面AB1C1, AAu 1,底面三角形ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为(2019南通模拟)设一个正方体与底面边长为2 .3,侧棱长为.10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 解析(1)设球半径为R,则圆柱底面圆半径为 R,母线长为2R.又V1= n22R=2n3, V2= 3 nR3,所以(2)因为 AAi 丄平面 ABiCi, ABi?平面 ABiCi,所以 AAi 丄ABi,又知 AAi= 1, A1B1=2,所以 ABi = “ 22-i2 = , 3,同理可得 AC仁，3,又知在 ABiCi 中，BiCi=2,所以 ABiCi 的边 Bi Ci 上的高为 h = “ 3 i = 2,其面积 Sabici2X 2=.2,于是三棱锥A AiBiCi的体积V 三棱锥 A AiBiCi = V 三棱锥Ai ABiCiX SABiCi X AAi= ,进而可得此三棱柱ABC AiBiCi 的体积 V= 3V三棱锥 aaibici3X 訂 2.i由题意可得正四棱锥的高为 2,体积为3X (2.3)2X 2 = 8,则正方体的体积为8,所以棱长为2.3答案(i)3 (2) 2 (3)2探究提高(i)涉及柱体、锥体及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放 在已知几何体的某一面上.(3) 若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补 形法等方法求解【训练2】(20i9苏北四市高三期末)将一个半径为2的圆分成圆心角之比为i : 2 的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较 大圆锥的体积之比为 .解析 设圆的半径为R,卷成的两个圆锥的底面半径分别为ri, r2,高分别为hi,2tR2 n1,4tR可二2 n2,R 2Rri二3, r2 = y, hi2、2R35RV，这两个圆锥的体积之比为:3岛亨二10二_1_.10.答案 1 ：10rI II t*勺1*1yjc4热点三点到平面距离的计算【例3】(2019全国I卷)如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1= 4, AB= 2,Z BAD = 60 E, M , N 分 别是BC, BB1, A1D的中点.(1)证明：MN /平面 C1DE;求点C到平面C1DE的距离.证明连接B1C, ME.1因为M , E分别为BB1, BC的中点，所以ME / B1C，且ME=尹C又因为N为1A1D的中点，所以ND = 2A1D.由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND，因此四边形MNDE为平 行四边形，所以MN / ED.又MN?平面C1DE, ED?平面C1DE，所以MN /平面C1DE.解 在菱形ABCD中，/ BAD = 60 E为BC中点，所以DE丄BC.因为棱柱为直棱柱，所以有 DE丄平面BCC1B1,又EC1?平面BCC1B1，所以DE丄EC1,又由题意有DE = .3, CE= .17,所以 SaDEC1 = gx .3X 17,设点C到平面C1DE的距离为d,11/114则由 VcC1DE= VC1-CDE,得3X gx/3x寸 17x d = 3Xgx 1Xp3x 4,解得 d =4.17=17，所以点C到平面C1DE的距离为4.1717探究提高 有关立体几何中点到平面的距离的求解， 一般利用等积法；求点到平 面的距离也可以先作出点到平面的垂线段（要证明所作的线段为垂线段），再求出垂线段的长即为点到平面的距离.【训练3】（2019全国I卷）已知/ ACB = 90 P为平面ABC外一点，PC= 2, 点P到/ ACB两边AC,BC的距离均为那么P到平面ABC的距离为解析 如图，过点P作PO丄平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离.再过O作OE丄AC于E，OF丄BC于F，连接 OC，PE，PF，贝U PE丄 AC，PF丄 BC.所以 PE= PF = .3 所以 OE = OF，所以CO为/ ACB的平分线，即/ ACO = 45 :在 RtAPEC 中, PC = 2，PE= 3 所以 CE= 1，所以 OE= 1,所以 PO= PE2 OE2 （ .3） 2- 12= 2.答案 2【新题感悟】（2019全国U卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表 之一 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的 印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围 成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面 体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有面，其棱长为.解析先求面数有如下两种方法, 法一由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中 间部分有8个面，下部分有9个面，共有2X 9+ 8 = 26(个)面.法二一般地，对于凸多面体顶点数(V) +面数(F) 棱数(E) = 2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由 V+ F E= 2,得面数 F = 2+ E V= 2 + 48 24= 26.再求棱长I 作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形 ABCDEFGH，如图，设其边长为x,贝U 正八边形的边长即为棱长连接AF，过H，G分别作HM丄AF，GN丄AF，垂足分别为M ， N，则 AM = MH = NG =NF = x.又 AM + MN + NF = 1,冷x+x+鼻1. x=21，即半正多面体的棱长为,21.答案 262 1专sum时接高割一、填空题1. (2018江苏卷)如图所示，正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为解析 正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中14正八面体的所有棱长都是2则该正八面体的体积为3X（）2xix2=空.4答案42. （2019苏北四市调研）已知圆锥的母线长为10 cm,侧面积为60 n c侖则此圆锥的体积为cm3.解析设圆锥底面圆的半径为r cm,则侧面积为10 n = 60 n解得r = 6,则高h = # 102-r2 = 8,1 1故此圆锥的体积为nr2h=3nX 36X 8 = 96 n （cr?）.答案 96 n3. （2019南京市高三模拟）已知正四棱锥底面边长为 4.2,体积为32,则此正四棱锥的侧棱长为.解析 设正四棱锥的高为h,则V= 3X （4,2）2h = 32,解得h = 3,所以此正四棱锥的侧棱长为h2+ jx4 *2 = 5.答案 54. （2019徐州市高三模拟）已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为.1答案解析 设圆锥的底面半径是r，则由题意得2 nr = qX 2nX 2,所以r = 1,所以圆锥的高为h =22 12= 一 3,所以圆锥的体积为V=fn2h = W冗5. （2019如皋市高三模拟）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，/ CAB= 90 AC=AB= 2, CC1 = 2, P是BC1的中点，则三棱锥 C A1C1P的体积为.、 1解析连接 A1B，贝U VcA1C1P = qVcA1C1B1=2(VABC A1B1C1 VA1 ABC VB A1B1C1)=12X 2X 22X 2X 22X 2X 22 23 23 22答案36. 如图，在圆锥V0中，0为底面圆心，半径0A丄0B,且OA=V0= 1,则0到平面VAB的距离为.一 1解析 由题意可得三棱锥VA0B的体积为V三棱锥V-AOB= 3SaaobV0= 6. VAB是边长为2的等边三角形，其面积为 中X （.巳）2*3，设点0到平面VAB的距离为h，则由V三棱锥0vab= V三棱锥v-aob，得vab h= ，即131336，解得，即点0到平面VAB的距离是可.答案专7. （2019苏州调研）将半径为5的圆分割成面积之比为1 : 2 : 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1， r2，r3，贝U门+ r2+ r3 =5 5 5+ r2 + r3 = 6 + 3 + 2 = 5.答案 58. （2019南京高三模拟）已知棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，F是棱BC的中点，M是线段A1F上的动点，则 MDD1与厶MCC1的面积和的最小值是解析 由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形 ABCD中AF上的点到D，C距离和的最小值.设D关于AF的对称点为D；则DD的长即为M到DD1与CC1距离和的最 小值，易求得 DD = 45，cos/ CDD =25.在厶CDD中，由余弦定理得 CD =161+52X1X455 55汗所以 MDD1与厶MCC1的面积和的最小值65 To-.答案6510二、解答题9. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB/ CD，且/ BAP=/ CDP=90证明：平面FAB丄平面PAD;8若PA= PD = AB= DC，/ APD = 90且四棱锥P ABCD的体积为3,求该四 棱锥的侧面积.（1）证明 由已知/ BAP=/ CDP = 90 得 AB丄 AP，CD丄 PD.由于 AB / CD，故 AB丄 PD,又 APA PD = P，AP，PD?平面 PAD，从而 AB丄平 面 PAD.又AB?平面PAB，所以平面FAB丄平面PAD.解 在平面FAD内作PE丄AD，垂足为E.由（1）知，AB丄平面 PAD，又 PE?平面 PAD，故 AB丄 PE，又ADA AB = A, AD, AB?平面 ABCD,所以PE丄平面ABCD.设AB = x,则由已知可得 AD =. 2x, PE-x.1 1 3 1 3 8 故四棱锥P-ABCD的体积Vpabcd = 3AB AD PE=x3由题设得x3 = 3,故x=2.从而 PA= PD = AB= DC = 2, AD = BC = 2 2.由（1）易知 AB 丄 PA, CD 丄 PD，故 PB= PC = 2 2.可得四棱锥 P ABCD 的侧面积为 |pA PD + 2pA AB+ gpD DC + -BC2= 6 +2 3.且 EF= AB10. (2019全国卷n )如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1 上, BE丄EC1.(1)证明：BE丄平面EB1C1；若AE = A1E, AB= 3,求四棱锥E BB1C1C的体积.(1)证明 由已知得 B1C1丄平面 ABB1A1, BE?平面 ABB1A1, 故 B1C1丄BE.又 BE丄 EC1, B1C1A EC1 = C1, B1C1, EC1?平面 EB1C1，所以 BE丄平面 EB1C1.解由(1)知/ BEB1 = 90由题设知 RtAABE RtA A1B1E,所以/ AEB=Z A1EB1 = 45,故 AE = AB= 3, AA1 = 2AE= 6.如图，作EF丄BB1，垂足为F，则EF丄平面BB1C1C, =3.所以四棱锥E BB1C1C的体积1V= 3X 3X 6X 3= 18.11. (2018全国I卷)如图，在平行四边形 ABCM中，AB = AC = 3,Z ACM = 90以AC为折痕将厶ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB丄DA.(1)证明：平面ACD丄平面ABC;2Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP= DQ = 3DA，求三棱锥QABP的体积.(1)证明 由已知可得，/ BAC= 90,即BA丄AC.又 BA丄AD, ACA AD = A, AC, AD?平面 ACD，所以 AB丄平面 ACD.又AB?平面ABC,所以平面ACD丄平面ABC.*解由已知可得，DC = CM = AB= 3, DA = AM = /2.厂“又 BP= DQ = 3DA，所以 BP= 2 .2.1作 QE 丄 AC,垂足为 E,贝 U QE/ DC 且 QE = 3。= 1.由已知及 可得DC丄平面ABC,所以QE丄平面ABC.因此，三棱锥Q-ABP的体积为1 11Vq-abp = 3X QE x Saabp= 3X 1 x qX 3x 2J2sin 45 = 1.5 n 10 n解析 由题意可得三个扇形的弧长分别为 ，-，5 n分别等于三个圆锥底面 圆的周长，即 2 朮1= ，2 n2 =晋，2 朮3= 5 n 则1 = 5,2= 3，3= 2，所以 r1