2021版高考数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布 12.7.2 离散型随机变量与其他知识的综合问题练习 理 北师大版

12.7.2 离散型随机变量与其他知识的综合问题核心考点精准研析考点一与函数、方程、不等式有关的综合问题1.一批产品的不合格率为p(0p1),从中任取20件检验,记20件产品中恰好有2件不合格品的概率为f(p),那么f(p)取到最大值时,p= ()A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.92.离散型随机变量X的分布列为Xx1x2PpE(X)=,D(X)=,那么px1x2的最小值为 _.3.某超市方案按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货本钱每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购方案,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温天数,2,16,36,25,7,4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望到达最大值.【解析】1.选A.根据题意得f(p)=p2(1-p)18,因此f(p)=2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2p(1-p)17(1-10p)(0p0;当p(0.1,1)时,f(p)0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.所以p=0.1.2.因为+p=1,所以p=,又因为E(X)=x1+x2=,D(X)=+=,解得或所以px1x2=或px1x2=,所以px1x2的最小值为.答案:3.(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知P(X=200)=,P(X=300)= =,P(X=500)=,所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X200300500P(2)当200n300时,假设X=200,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P(Y=800-2n)=.假设X=300时,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=,假设X=500时,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y800-2n2n2nP所以E(Y)=(800-2n)+2n+2n=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).当300n500时,假设X=200,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.假设X=300时,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1 200-2n,P(Y=1 200-2n)=.假设X=500时,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y800-2n1 200-2n2nP所以E(Y)= (800-2n)+ (1 200-2n)+2n=-n+64010.828,所以有99.9%的把握认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关.(2)设3人中赞成“使用微信交流的人数为X,那么X的取值为0,1,2,3,由(1)中数据可得年龄不低于55岁的人数为10,其中赞成“使用微信交流的人数为3,不赞成“使用微信交流的人数为7,所以P=,P=, P=,P=,所以X的分布列为X0123P所以均值为E(X)=0+1+2+3=.与统计中的平均数、方差等数字特征有关的综合问题【典例】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围内,某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测,每天检测4次:每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件药品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的药品的主要药理成分含量服从正态分布N(,2). (1)假设生产状态正常,记X表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在(-3,+3)之外的药品件数,求P(X=1) (精确到0. 000 1)及X的数学期望.(2)在一天内四次检测中,如果有一次出现了主要药理成分含量在(-3,+3)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况,需对本次的生产过程进行检查;如果在一天中,有连续两次检测出现了主要药理成分含量在(-3,+3)之外的药品,那么需停止生产并对原材料进行检测.下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.经计算得=xi=9.96,s=0.19.其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,20,用样本平均数作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查.试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).附:假设随机变量Z服从正态分布N,那么P(-328,所以老李来年应该种植乙品种杨梅,可使总利润的期望更大.- 13 -