上海市重点中学重要考题精选及精解5

2017 上海高考专题复习数列考题精选11. 已知等差数列 an 中，a3a716, a4a60, 求 an 前 n 项和 sn .2在 不等边 ABC中，设 A、B、C 所对的边分别为 a， b， c，已知 sin2A ， sin 2 B ， sin 2 C 依次成等差数列，给定数列cos A ， cos B ， cosC abc（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（）A是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列D既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断3. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和， Snkn2n ， n N *，其中 k 是常数（ I ） 求 a1 及 an ；（ II ）若对于任意的 mN * ， am ， a2 m ， a4 m 成等比数列，求 k 的值4. 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 已知对任意的 n N，点 (n, Sn ) ，均在函数 y bxr (b 0且 b 1,b, r 均为常数 ) 的图像上 .（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时，记 bn n 1 (n N )求数列 bn 的前 n 项和 Tn4an5. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a11, Sn 14an26. 设数列 an 是等差数列 ,a 5 =6 当 a 3=3 时 , 在数列 an中找一项 a m , 使 a 3 , a5 ,am 成等比数列，求 m 的值； 当 a 3=2 时 , 若自然数 n t （ t=1,2,3, L ）, 满足 5n 1 n 2 n t ，且使得a3 , a5 , an1, an2L , an L成等比数列 , 求数列 n 的表达式tt7已知 f x 是定义在 R 上的增函数，且记 g xf xf 1x 。（1）设 f xx ，若数列an 满足 a13, ang an 1，试写出 an的通项公式及前2m 的和 S2 m ：（2）对于任意x1 、 x2R ，若 g x1g x20 ，判断 x1x21的值的符号。8. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 2, nan 1 Sn n n 1 ，（1）求数列an的通项公式：（2）令 TnSn，当 n 为何正整数值时， TnTn 1 ；若对一切正整数n ，总有 Tnm ，求 m2n的取值范围。9. 关于 x 的方程 x2xsin 2sincot0 的两根为, ，且02 ，若数列1,1 1,1 12, 1n，1的前 100 项和为 0，求 的值。10. 已知数列an中， a11, 且点 P a n , a n 1 nN 在直线 xy 10 上 .（1）求数列an的通项公式；（2 ）若函数1111nN ,且n2 ,f (n)n a2n a3n ann a1求函数 f (n) 的最小值；（3）设 bn1 , Sn 表示数列bn 的前 n 项和试问：是否存在关于n 的整式 g n ，使得anS1 S2S3Sn 1Sn1g n 对于一切不小于2 的自然数 n 恒成立？若存在， 写出 g n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。11. 已知各项均不相等的正项数列 an , bn 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn .（1）若 an, bn 为等差数列，求证： limanlimSn .nbnnTn（2）将（ 1）中的数列 an , bn 均换作等比数列，请给出使 limanlimSn 成立的条件 .nbnnTn12. 已知数列anSn1 （ n 为正整数） .an 的前 n 项和为 Sn ，且满足11（1）求数列an 的通项公式；（2）记 S a1a2an. 试比较(n1)的大小关系，并证明你的结论 .S与an13. 已知数列 an 的前N项和为 S , a1, S2Sn3n 1(n N *).n1n 1（ 1）证明：数列 an3 是等比数列；（ 2）对 kN *Sn an3n, n2k 1,f (2m2 ) 恒成立的自然, 设f (n)3), n求使不等式 f (m)log 2 (an2k,数 m 的最小值 .2017 上海高考专题复习数列考题精选1解答1. 已知等差数列 an 中，a3a716, a4a60, 求 an 前 n 项和 sn .解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设 an的公差为 d ，则a12da16d16a1 3da15d 0a12 8da112d 216即a14d解得a18,或 a18d2,d2因此 Sn8n n n1n n 9 ，或Sn8n n n1n n92在不等边 ABC中，设A、B、 C 所对的边分别为a， b，c，已知 sin 2A ， sin 2 B ， sin 2 C 依次成等差数列，给定数列cos A ， cos B ， cosC abc（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（）A是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列D既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断解：（ 1） B（2）因为 sin 2 A 、 sin3B 、 sin 2 C 成等差数列，所以 2 sin 2B sin 2Asin 2 C ，所以 2b2a2c2 又 cos Ba2c2b2， cos Ab2c2a2，cosCa2b2c 2b2abca2abcc2abc显然 2 cos Bcos AcosC ，即cos A 、 cos B 、 cosC 成等差数列若其为等比数列，有bacabccosAcosBcosCBC ，与题设矛盾abc，所以 tan A tan B tan C ， A3. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和， Snkn2n ， nN *，其中 k 是常数（ I ） 求 a1 及 an ；（ II）若对于任意的mN * ， am ， a2 m ， a4 m 成等比数列，求k 的值解（）当 n1, a1S1k1，n 2, anSnSn 1kn 2n k (n1)2(n1)2knk1（）经验， n1, （）式成立，an2knk 1（）am , a2 m , a4m 成等比数列，a2m2am .a4 m ，即 (4kmk1) 2(2kmk1)(8kmk1) ，整理得： mk (k1)0 ，对任意的 mN成立，k0或 k14. 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 已知对任意的 n N，点 (n, Sn ) ，均在函数 y bxr (b 0且 b1,b, r 均为常数 ) 的图像上 .（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时，记bnn1 (nN)求数列 bn 的前 n 项和 Tn4an解 : 因为对任意的 nN,点 (n, Sn ) ，均在函数 ybxr (b0 且 b1,b, r 均为常数 ) 的图像上 . 所以得 Snbnr ,当 n1 时 , a1S1b r ,当 n2 时 ,anSnSn 1bnr (bn 1r ) bnbn 1(b 1)bn 1 ,又因为 an 为等比数列 ,所以 r1,公比为 b ,所以 an(b1)bn1（2）当 b=2 时， an(b1)bn12n 1,bnn 1n1n14an42n 12n1则 T234Ln1n2223242n 11234nn12 Tn232425L2n 12n 2相减, 得 1T2111L1 n 12 n222324252n 12n 211123(12n 1 )n 131n 12112n 24 2n 12n 22所以 Tn31n13n322n2n122n 1【命题立意】 : 本题主要考查了等比数列的定义, 通项公式 , 以及已知 Sn 求 an 的基本题型 , 并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和 Tn .5. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a11, Sn14an2（I ）设 bnan12an ，证明数列 bn 是等比数列（II）求数列 an 的通项公式。解：（ I ）由 a11, 及 Sn14an2 ，有 a1a24a12, a23a125,b1 a2 2a1 3由 Sn 14an2，则当 n2 时，有 Sn4an12 得 an14an4an1 ,an12an2(an2an 1)又Q bnan12an ，bn2bn 1 bn 是首项 b13 ，公比为的等比数列（II）由（ I ）可得 bnan 12an3 2n1，an1an3数列 an 是首项为1 ，公差为 32n12n4的等比数列2n24an1( n1) 33 n1， an(3n1)2n 22n2444评析：第（ I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找bn 与 bn 1的关系即可 第（ II）问中由（I）易得an 12an3 2n 1 ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：an 1panqn ( p, q为常数 ) ，主要的处理手段是两边除以qn 1 6. 设数列 an 是等差数列 ,a 5 =6 当 a 3 =3 时 , 在数列 a中找一项 a m , 使 a 3 , a5 ,am 成等比数列，求 m 的值；n 当 a 3 =2 时 , 若自然数 n t （ t=1,2,3,L ）, 满足 5n 1 n 2 n t ，且使得a3 , a5 , an1 , an2L, antL 成等比数列 ,求数列 nt的表达式解: 由于 a 5 =a 3 +2d所以 d= 3am = a 3 +（ m 3）d =3 （ m1）236=3 3 （ m 1）2Q a 3 、 a 5 、 a m 成等比数列m=9.2 由 a 3 =2, a5 =6,d=2a n = a 3 （ n3） d = 2n 4又 公比 q= a53ant=23 t 1a32n t 4=23 t1n t=3 t1 +2.7已知 f x 是定义在 R 上的增函数，且记g xfxf1x 。（1）设 fxx ，若数列an满足 a13, ang an 1，试写出 an的通项公式及前2m 的和 S2 m ：（2）对于任意 x1 、 x2R ，若 g x1g x20 ，判断 x1x21的值的符号。解：（ 1） ang an1f an1f 1an 1an11 an12an 11，则 an12 an 11 ，a112 ，即数列 an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an2n1 ， S2 m2 2 2m112m22m 12m 2 ；12（2）若 x1x20 ，则 x11x2 , x21x1 ， f x是定义在 R 上的增函数 f x1f 1 x2 , f x2f 1 x1 ，则 f x1f x2f 1 x2f 1 x1 fx1f 1x1fx2f 1x20，即 g x1g x20 ，与 g x1g x20 矛盾， x1x2108. 已知数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a12, nan 1Sn n n1 ，（1）求数列 an的通项公式：（2）令 TnSn，当 n为何正整数值时， TnTn1 ；若对一切正整数 n ，总有 Tnm ，求 m2n的取值范围。解：（ 1）令 n1， 1 a2a11 2 ，即 a2a12 ，由n an 1Snn n1n an 1n 1 anan2nan 1an2 n 2 ，n1anSnn n11 a2a12 ， an 1an2 nN *，即数列an是以2 为首项、2 为公差的等差数列，an2n ，（2） TnSnn n 1Tn 1n1 n 2，即 n 2 nN * ，S12n2n32n13 T11,T2T3，又 n2 时， TnTn1 ，各项中数值最大为，对一切正整数222n ，总有 Tnm ， m3。9. 关于 x 的方程 x22xsin 2sin cot0 的两根为,，且 02 ，若数列1, 11 , 11211n，,的前 100 项和为0，求的值。11001100111111解： S100011 ，111111sin 2,sin cotcos， 2sin1sin1， 02，2711。或6610. 已知数列an中， a11, 且点 P a n , a n 1nN在直线 xy10 上 .（1）求数列an的通项公式；（2 ）若函数f (n)1111nN ,且n2 ,n a1n a2n a3n an求函数 f (n) 的最小值；（3）设 bn1 , Sn 表示数列 bn的前 n 项和试问：是否存在关于n 的整式 g n ，使得anS1S2 S3Sn 1Sn 1 g n 对于一切不小于2 的自然数 n 恒成立？若存在， 写出 g n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。解：（ 1）由点 P(an , an 1 ) 在直线 xy10 上，即 an 1an1， -2分且 a11，数列 an 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列an1( n1) 1 n(n2) ， a11 同样满足，所以ann-4分（ 2） f ( n)111n1n22nf ( n1)11111-6分n2n3n42n12n2f ( n1)f (n)11111102n 1 2n 2 n 1 2n 2 2n 2 n 1所以 f (n) 是单调递增，故f (n) 的最小值是 f (2)7-10分1211111 (n（ 3） bn，可得 Sn1， SnSn12)-12分n23nnnSn(n1) Sn 1Sn 11，( n 1)Sn 1(n 2)Sn 2Sn 2 1S2S1S11相加得： nSn S1S1S2S3Sn 1n1S1S2S3Sn 1nSnnn( Sn1) ， n 2-15分所以 g(n)n 。故存在关于 n 的整式 g（ x） =n, 使得对于一切不小于2 的自然数 n 恒成立。 -16分11. 已知各项均不相等的正项数列 an , bn 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn .（1）若 an , bn 为等差数列，求证： limanlimSn .nbnnTn（2）将（ 1）中的数列 an , bn 均换作等比数列，请给出使limanlimSn成立的条件 .nbnnTn 1 an , bn d1 , d2d1 , d20limanlima1( n1)d1d1 ,4xbnxb1(n 1)d2d2lim Snna1n(n1)d1d1 ,lim21)xTnxnb1n(nd2d22lim anlimSn.8xbnxTn 3 an , bn q1 , q2 q1 , q21limanlima1 q1n 1a1q1n 1a1 (q1q2 ),bnb q n 1b1limb111nnnq2120(q1q2 ).a1 (q1q2 ),b1limSna (1 q )1 q na (1 q )(0q11,0q21),14Tn12 lim112nb1 (1 q1 ) n1 q2 nb1 (1 q1 )0(0 q1q2 , q21).lim anlim Sn0q1q2 , q2 1 q1q2 .16xbnxTn12. 已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且满足anSn1 （ n 为正整数） .11（1）求数列an的通项公式；（2）记 Sa1a2an. 试比较 S与( n1)an 的大小关系，并证明你的结论 .解：（ 1） anSn1 ，an1Sn11以上两式相减得到anan1(SnSn 1 )0 ，即 anan 1an03分所以 an1，数列an是公比为1 等比数列，又 a1S11 ， a1，an 12212所以 an 1 (1 ) n 1( 1 )n .6分2221n1（2） S21 ， (n 1)an8分2n112n1，则 f (n 1)n2n2n1n设 f (n)n2n 1 ， f (n 1) f (n)2n 12n=n 1 022所以，函数 f （ n）在 nN* 上单调递减，所以f （ n）的最大值是f （ 1） =1，所以 S ( n1)an .12分13. 已知数列 an 的前 N 项和为 Sn , a11, Sn12Sn3n1(nN *).（ 1）证明：数列 an3 是等比数列；（ 2）对kN*,设f (n)Snan3n, n2k1, 求使不等式f()f(2m2 )恒成立的自然log 2 (an3), n2k,m数 m 的最小值 .解：（ 1）a11, Sn12Sn3n1,S22S14a1a2 .a25.又当 n2时， Sn2Sn 13( n 1)1，Sn 1Sn2(SnSn 1 ) 3,即得 an 12an3.an 132(an3), (n2). -4分a2382, 数列 an3 是公比为2，首项为 a13 4的等比数列 .2分a134（ 2）由（ 1），知 an342n1.an2n13, Sn4(12n )32n234.12nnf (n)2 n11, n2k1N*).4 分n1,n2k(k当 m为偶数时，f()m1,f(22 )221，mmm不存在自然数m，使f( )f(2m2 )恒成立 .2 分m当 m为奇数时，f()2m 11,f(2m2 )2m21,而f()f(2m2 ),mm当 m=1 时，f() 2111 3f(2m2 ) 3；m当 m=3 时，f( ) 22 11 15f( 2m2) 19；-2分m当 m=5 时，f() 2311 63f(2m2) 51；m当 m 5 时，即证： 2mm 21恒成立） m5，已证2kk2）假设 mkk5，结论成立，即1则 mk 2 时， 2k 24 2k4(k 21)0而4k21k2 21k341k则2k2(k2) 21即 mk2 时，结论成立所以当 m 5 且为奇数，f( )f( 22 )成立，-3分mm此 时 m 的 最 小 值 为 5.-1分