数学总第七章 图形的变化 第三节 图形的相似与位似

第三节图形的相似与位似知识点一知识点一 比例线段及其性质比例线段及其性质 1 1线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段ABAB，CDCD的长度分别是的长度分别是m m，n n，那么这两条线段的比就是它们长，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即度的比，即ABCDABCDmnmn. .4 4平行线分线段成比例平行线分线段成比例(1)(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例应线段成比例(2)(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两或两边的延长线边的延长线) )，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例知识点二知识点二 相似三角形相似三角形 1 1相似三角形：三角分别相似三角形：三角分别 _ _ 、三边、三边 _的两的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比相似比相等相等成比例成比例2 2相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理(1)(1)两角分别两角分别 _ _ 的两个三角形相似；的两个三角形相似；(2)(2)两边两边 _且夹角且夹角 _ _ 的两个三角形相似；的两个三角形相似；(3)(3)三边三边 _的两个三角形相似；的两个三角形相似；(4)(4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例3 3相似三角形的性质相似三角形的性质(1)(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于平分线的比都等于 _；(2)(2)相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于 _，面积比等于，面积比等于 _相似比相似比相似比相似比相似比的平方相似比的平方常见的相似三角形的基本类型有以下几类：常见的相似三角形的基本类型有以下几类：知识点三知识点三 相似多边形相似多边形1 1相似多边形：各角分别相似多边形：各角分别 _ _ ，边，边 _，那么，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做叫做 _ 相等相等成比例成比例相似比相似比2 2相似多边形的性质相似多边形的性质(1)(1)相似多边形的对应角相等，对应边之比等比相似比相似多边形的对应角相等，对应边之比等比相似比(2)(2)相似多边形的周长比等于相似多边形的周长比等于 _，面积比等于，面积比等于 _相似比相似比相似比的平方相似比的平方知识点四知识点四 图形的位似图形的位似1 1位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点组对应顶点P P，PP所在的直线都经过同一点所在的直线都经过同一点O O，且有，且有OPOPkOP(k0)kOP(k0)，那么这样的两个多边形叫做位，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点似多边形，点O O叫做叫做 _k k就是这两个相似多就是这两个相似多边形的边形的 _ 位似中心位似中心相似比相似比位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形位似中心是对应点连线的交点，可能在图形外也可形位似中心是对应点连线的交点，可能在图形外也可能在图形内或图形上能在图形内或图形上2 2位似图形的性质位似图形的性质(1)(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于等于 _；(2)(2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数标、纵坐标都乘同一个数k(k0)k(k0)，所对应的图形与原图形，所对应的图形与原图形 _ _ ，位似中心是，位似中心是 _，它们的相似比为，它们的相似比为 _相似比相似比位似位似坐标原点坐标原点|k|k|考点一考点一 比例的有关概念及性质比例的有关概念及性质 (5(5年年0 0考考) ) (2017 (2017石家庄二模石家庄二模) )如图，已知如图，已知ABCDEFABCDEF，那么，那么下列结论中正确的是下列结论中正确的是( ) ( ) 【分析】【分析】 利用平行线分线段成比例的性质进行判断利用平行线分线段成比例的性质进行判断讲：利用平行线分线段成比例的误区讲：利用平行线分线段成比例的误区利用平行线分线段成比例解题时，关键是准确找出图形利用平行线分线段成比例解题时，关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算容易触雷中的对应线段，正确列出比例式求解、计算容易触雷的地方有：的地方有：(1)(1)比例的对应线段找不准；比例的对应线段找不准；(2)(2)比例的性质比例的性质掌握不牢，无法进行转化掌握不牢，无法进行转化练：链接变式训练练：链接变式训练2 2考点二考点二 黄金分割黄金分割 (5(5年年0 0考考) )【分析】【分析】 根据黄金分割点的定义，分根据黄金分割点的定义，分BCBC是较长线段、是较长线段、BCBC是较短线段进行讨论是较短线段进行讨论3 3在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为20 20 cmcm，则它，则它的宽约为的宽约为( )( )A A12.36 cm B12.36 cm B13.6 cm 13.6 cm C C32.36 cm D32.36 cm D7.64 cm7.64 cmA A考点三考点三 相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度相似三角形的判定相似三角形的判定 (2016(2016河北河北) )如图，如图，ABCABC中，中，AA7878，ABAB4 4，ACAC6.6.将将ABCABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是与原三角形不相似的是( )( )【分析】【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可一判定即可讲：判定两个三角形相似的误区讲：判定两个三角形相似的误区在利用在利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判判定两个三角形相似时，一定要确保成比例的两边所夹角定两个三角形相似时，一定要确保成比例的两边所夹角为相等角，这是最易触雷的地方为相等角，这是最易触雷的地方练：链接变式训练练：链接变式训练5 55 5(2017(2017邢台模拟邢台模拟) )在在ABCABC中，中，ACBACB9090. .用直尺用直尺和圆规在和圆规在ABAB上确定点上确定点D D，使，使ACDACDCBD.CBD.根据作图痕迹根据作图痕迹判断，正确的是判断，正确的是( )( )C C6 6(2017(2017邯郸二模邯郸二模) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB2424，ACAC1818，D D是是ACAC上一点且上一点且ADAD1212，在，在ABAB边上取一点边上取一点E E，使以点使以点A A，D D，E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似，则相似，则AEAE的的长为长为( )( )A A16 B16 B1414或或9 9C C1616或或14 D14 D1616或或9 9D D命题角度命题角度相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定 (2017(2017永州永州) )如图，在如图，在ABCABC中，点中，点D D是是ABAB边上的一边上的一点，若点，若ACDACDBB，ADAD1 1，ACAC2 2，ADCADC的面积为的面积为1 1，则，则BCDBCD的面积为的面积为( )( )A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4【分析】【分析】 先判断先判断ACDACD和和ABCABC相似，然后利用相似三相似，然后利用相似三角形的性质求出角形的性质求出BCDBCD的面积即可的面积即可7 7(2017(2017河北河北) )若若ABCABC的每条边长增加各自的的每条边长增加各自的10%10%得得ABCABC，则，则BB的度数与其对应角的度数与其对应角BB的度数相的度数相比比( )( )A A增加了增加了10% B10% B减少了减少了10%10%C C增加了增加了(1(110%) D10%) D没有改变没有改变D D8 8如图，在如图，在ABCABC中，中，P P为边为边ABAB上一点，连接上一点，连接CPCP，M M为为CPCP的的中点，连接中点，连接BMBM并延长，交并延长，交ACAC于点于点D D，N N为为APAP的中点，连接的中点，连接MN.MN.若若ACPACPABD.ABD.(1)(1)求证：求证：ACMNACMNBNAPBNAP；(2)(2)若若ABAB3 3，ACAC2 2，求，求APAP的长的长考点四考点四 相似三角形的应用相似三角形的应用 (5(5年年0 0考考) ) 如图，如图，ABCABC是一块铁皮余料已知底边是一块铁皮余料已知底边BCBC160 cm160 cm，高，高ADAD120 cm.120 cm.在铁皮余料上截取一个矩形在铁皮余料上截取一个矩形EFGHEFGH，使点，使点H H在在ABAB上，点上，点G G在在ACAC上，点上，点E E，F F在在BCBC上，上，ADAD交交HGHG于点于点M M. .(1)(1)设设HGHGy y cm cm，HEHEx x cm cm，试确定用试确定用x x表示表示y y的函数解析式；的函数解析式；(2)(2)当当x x为何值时，矩形为何值时，矩形EFGHEFGH的面积的面积S S最大？最大？【分析】【分析】 (1)(1)先表示出先表示出A AM M，再根据相似三角形对应高，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式整理即可；的比等于相似比列式整理即可；(2)(2)根据矩形的面积公根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可9 9如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点点A A，在近岸取点，在近岸取点B B，C C，D D，使得，使得ABBCABBC，CDBCCDBC，点，点E E在在BCBC上，并且点上，并且点A A，E E，D D在同一条直线上若测得在同一条直线上若测得BEBE20 20 m m，CECE10 10 m m，CDCD20 20 m m，则河的宽度，则河的宽度ABAB等于等于( )( )A A60 m B60 m B40 m 40 m C C30 m D30 m D20 m20 mB B1010如图，小明用长为如图，小明用长为3 m3 m的竹竿的竹竿CDCD做测量工具，测量做测量工具，测量学校旗杆学校旗杆ABAB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DBDB12 m12 m，则旗杆，则旗杆ABAB的高为的高为 _ m._ m.9 9考点五考点五 位似变换位似变换 (5(5年年0 0考考) ) (2017 (2017裕华区模拟裕华区模拟) )如图，已知如图，已知ABCABC，任取一点，任取一点O O，连连AOAO，BOBO，COCO，并取它们的中点，并取它们的中点D D，E E，F F，得，得DEFDEF，则下，则下列说法正确的个数是列说法正确的个数是( )( )ABCABC与与DEFDEF是位似图形；是位似图形；ABCABC与与DEFDEF是相似图形；是相似图形；ABCABC与与DEFDEF的周长比为的周长比为1212；ABCABC与与DEFDEF的面积比为的面积比为41.41.A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4【分析】【分析】 根据位似图形的性质，得出根据位似图形的性质，得出ABCABC与与D DEFEF是是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出ABCABC与与D DEFEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案积比等于相似比的平方，即可得出答案