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数列章节复习一、等差数列与等比数列对比表等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的 符号定义通项公式对应函数图像等差数列的通项公式是的一次函数。等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中分类递增数列：递减数列： 常数数列： 递增数列： 递减数列： 摆动数列： 常数数列： 中项主要性质等和性：等差数列 若则 推论：若则 等积性：等比数列前n项和= =中间项求和公式：对应函数图像是关于的一个 的二次函数，即：()等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：其它性质1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：等差，公差为2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差的子数列为 数列）3、等差，则，是 数列。4、在等差数列中，为等差数列1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是 数列。即：等比，公比为 。 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差的子数列为 数列）3、等比，则，是 数列。其中4、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。如：，证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：2、中项法： 证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：2、中项法： 设元技巧三数等差：四数等差： 三数等比：四数等比： 联系1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。一、牛刀小试1、在等差数列中，若，则的值为 2、(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= 3、设成等比数列，其公比为2，则的值为 4、（2010辽宁理）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则 5、等差数列an中，为第n项，且，则取最大值时，n的值为 6、等比数列中， 7、已知是等比数列，an0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于 8、设是由正数组成的等比数列，公比，且，则_。9、关于数列an有以下命题：其中正确的命题为 a,b,d .（写出序号，写对但不全的给2分，有选错的不给分）10、两个等差数列则= 11、已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 12、若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是 二、例题研究例1、（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。（2）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。（3）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 。解：（1）答案：13法1：设这个数列有n项n13法2：设这个数列有n项 又 n13（2）答案：2 因为前三项和为12，a1a2a312，a24又a1a2a348， a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.（3）答案为。 例2、等差数列an中，Sn 为其前n项和，若,求例3、（1）已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）证明分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。解：（1）设等差数列的公差为d，由 即d=1。所以即（II）证明：因为，所以 例4、已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：a，a，a，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.解：设an的首项为a1，a、a、a成等比数列，（a14d）2a1（a116d）.得a12d，q3.aa1（kn1）d，又aa13n1，kn23n11.k1k2kn2（133n1）n2n3nn1.例5、在等差数列中，已知，.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.（）在等差数列中，由 得,又由，得,联立解得 , 3分 则数列的通项公式为 . 3分 （）， （1）（2）（1）、（2）两式相减，得 例6、（2010广东）数列an中，a18，a42且满足an22an1an nN（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn|a1|a2|an|，求sn;（3）设bn ( nN)，Tnb1b2bn( nN)，是否存在最大的整数m，使得对任意nN，均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由an22an1anan2an1an1an，可知an成等差数列，d2，an102n（2）由an102n0得n5，当n5时，Snn29n，当n5时，Snn29n40故Sn （nN）（3）bn()Tn b1b2bn(1)()()()(1)Tn1Tn2T1.要使Tn总成立，需T1恒成立，即m8，（mZ）故适合条件的m的最大值为7例7、（2011届黄冈第一次调研）已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式；(3) 若bnn()an，数列bn的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小解：(1)由Snaan(nN*)可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Sna， Sn1a， 即得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(3) 由(2)知ann，则bnn()an，故Tn2()2n()n， Tn()22()3(n1)()nn()n1， 得：Tn()2()nn()n11，故Tn2，Tn1Tn0，Tn随n的增大而增大当n1时，T1；当n2时，T21；当n3时，T3，所以n3时，Tn.综上，当n1,2时，Tn；当n3时，Tn.三高考链接1 已知等差数列中，公差d0，则使前n项和取最大值的正整数n的值是 5或6 2、设是等差数列的前项和，,则的值为 3、已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，项和，则的值为 2 4、等差数列中，数列是等比数列，且，则= 16 5 、已知数列的通项公式，设其前n项和，则使-1 10、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于 100 。解：由题意得：a1a2001，故为100。
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