福建省宁德市2013届高三数学质检试题 理（含解析）新人教A版

福建省宁德市2013届高三质量检查数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2013宁德模拟）若集合M=x|x22x0，N=x|1x2，则（）ANMBMN=NCM=NDMN=考点：交、并、补集的混合运算分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可解答：解：M=x|x22x0=x|0x2，N=x|1x2，MN=x|0x2，MN=x|1x2=N，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单2（5分）（2013宁德模拟）已知x，yR，则“x=y”是“|x|=|y|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y”成立，然后判断“|x|=|y|”是否一定成立；然后假设“|x|=|y|”成立，再判断“x=y”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论解答：解：当“x=y”成立时，“|x|=|y|”一定成立，即“x=y”“|x|=|y|”为真假命题；但当“|x|=|y|”成立时，x=y即“x=y”不一定成立，即“|x|=|y|”“x=y”为假命题；故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系3（5分）（2013宁德模拟）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点（，），则tan等于（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：由角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，），根据三角函数的第二定义，终边过（x，y）的点tan=，代入可得答案解答：解：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，），故tan=故选B点评：本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键4（5分）（2013宁德模拟）一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A4B2C2D4考点：简单空间图形的三视图专题：计算题分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S=1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：14=4故选D点评：本题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力5（5分）（2013宁德模拟）下列函数f（x）中，满足“x1，x2（0，+）且x1x2，（x1x2）f（x1）f（x2）0“的是（）Af（x）=2xBf（x）=|x1|Cf（x）=xDf（x）=ln（x+1）考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：易得所求函数在区间（0，+）上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在（1，+）单调递增；C符合题意；D在（1，+）上单调递增，可得答案解答：解：由题意可得函数在区间（0，+）上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f（x）=，故函数在（1，+）单调递增，不合题意；选项C，由f（x）=0可知函数在（0，+）上为减函数，符合题意；选项D，函数在（1，+）上单调递增，故不合题意，故选C点评：本题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属基础题6（5分）（2013宁德模拟）曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为（）ABCD考点：定积分专题：计算题；导数的概念及应用分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数x在区间0，1上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答：解：曲线y2=x和曲线y=x的交点为A（1，1）和原点O曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=（x）dx=（x2）=（）（）=故选：A点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题7（5分）（2013宁德模拟）已知m，n为两条不同直线，为两个不同平面，直线m平面a，直线n平面，给出命题：nm；nm；nm；nm其中正确命题为（）ABCD考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：结合图形演示判断是否正确；根据面面垂直的判定定理判断是否正确；根据线面垂直的性质判断是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断是否正确解答：解：如图平面、的关系不定，故错误；mn，n平面，m，m，正确；，n，n，m，mn，正确；，n，n或nm，m、n的位置关系不确定故选B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系8（5分）（2013宁德模拟）平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y1，则他的建系方式是（）ABCD考点：曲线与方程专题：计算题分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为（0，）所以该同学建系方式是C故选C点评：本题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答9（5分）（2013宁德模拟）在ABC中，sin2A=sin2B+sin2CsinBsinC，且=2，则AC+2AB的 最小值为（）A4B4C4D4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理专题：计算题；解三角形分析：由已知结合正弦定理可得，a2=b2+c2bc，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用基本不等式可求解答：解：sin2A=sin2B+sin2CsinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2bc，由余弦定理可得，cosA=2，由数量积的定义可知，bc=4AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号故选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及基本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键10（5分）（2013宁德模拟）若函数f（x）对于任意xa，b，恒有|f（x）f（a）（xa）|T（T为常数）成立，则称函数f（x）在a，b上具有“T级线性逼近”下列函数中：f（x）=2x+1；f（x）=x2；f（x）=；f（x）=x3则在区间1，2上具有“级线性逼近”的函数的个数为（）A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用分析：根据称函数f（x）在a，b上具有“T级线性逼近”的定义，判断各个选项中的函数在区间1，2上是否满足“级线性逼近”的定义，从而得出结论解答：解：f（x）=2x+1在区间1，2上，由于|f（x）f（1）（x1）|=|0|，故f（x）=2x+1在区间1，2上具有“级线性逼近”，故满足条件f（x）=x2 在区间1，2上，由于|f（x）f（1）（x1）|=|（x1）（x2）|=（x1）（x2），故f（x）=x2在区间1，2上具有“级线性逼近”，故满足条件f（x）=在区间1，2上，由于|f（x）f（1）（x1）|=|+|=（+）2=，故f（x）=2x+1在区间1，2上具有“级线性逼近”，故满足条件f（x）=x3在区间1，2上，由于|f（x）f（1）（x1）|=|x37x+6|=|（x1）（x3）（x+2）|=（x1）（x3）（x+2），由于（x37x+6）的导数为3x2+7，令3x2+7=0 可得 x=，在1，上，3x270，（x1）（x3）（x+2）为增函数，同理可得在，2上，（x1）（x3）（x+2）为减函数，故（x1）（x3）（x+2）的最大值为 （1）（3）（+2），故不满足“级线性逼近”，故不满足条件故选C点评：本题主要考查新定义：“T级线性逼近”的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11（4分）（2013宁德模拟）若（1+ai）i=3+i，其中aR，i是虚数单位，则a=3考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值解答：解：由（1+ai）i=3+i，得a+i=3+i，a=3，则a=3故答案为3点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题12（4分）（2013宁德模拟）运行如图所示的程序，输入3，4时，则输出4考点：伪代码专题：函数的性质及应用分析：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案解答：解：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足ab故m=b=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由已知中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键13（4分）（2013宁德模拟）若直线xy+t=0与圆x2+y22x6y6=0相交所得的弦长为4，则t的值等于2或6考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；直线与圆分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可解答：解：圆x2+y22x6y6=0化为：（x1）2+（y3）2=16圆心到直线的距离为d=4=2，解得t=2或t=6故答案为：2或6点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于基础题14（4分）（2006重庆）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a考点：简单线性规划的应用专题：计算题；压轴题；数形结合分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，a解得a故答案为a点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解15（4分）（2013宁德模拟）某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两 夹角为120； 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为99考点：归纳推理专题：规律型分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为an，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为an，依题意a1=3，a2=3+23=3+2，a3=3+23+223=3+2+，a4=3+2+，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，an=99故答案为：99点评：本题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.16（13分）（2013宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（1）=1（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2k）x在区间2，2上单调递减，求实数k的取值范围考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（1）=1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2k）x在区间2，2上单调递减，可得区间2，2在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：（I）二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x）的图象关于y轴对称即x=0，即b=0又f（1）=a+1=1，即a=2故f（x）=2x2+1（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2k）x=2x2+（2k）x+1故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g（x）在，+）上单调递减，又函数g（x）在区间2，2上单调递减，2解得k10故实数k的取值范围为10，+）点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键17（13分）（2013宁德模拟）已知函数，f（x）=cos（2x）+2sin2x（0）的最小正周期为（I ）求函数y=f（x）的最值及其单调递增区间；（II ）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x（xR）的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用降次升角公式，及和差角公式（辅助角公式），可将函数y=f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f（x）的最小正周期为，可得的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案（II）根据函数图象的变换法则，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法解答：解：（I）f（x）=cos（2x）+2sin2x=sin2x+1cos2x=2sin（2x）+1又0，f（x）的最小正周期为故=1故f（x）=2sin（2x）+1A=2，B=1故函数y=f（x）的最大值为3，最小值为1由2k2x2k+得kxk+，kZ故函数y=f（x）的单调递增区间为k，k+，（kZ）（II）将函数y=2sin2x（xR）的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2（x）=2sin（2x）（xR）的图象；再将函数y=2sin2（x）=2sin（2x）（xR）的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f（x）=2sin（2x）+1的图象点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档18（13分）（2013宁德模拟）已知椭圆E：（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=（I）若点F在直线l：xy+1=0上，求椭圆E的方程；（II）若0a1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）椭圆的左焦点F在直线l：xy+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，则椭圆E的方程可求；（）假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在a，a内，从而得出矛盾，假设错误解答：解：（）F（c，0）在直线l：xy+1=0上，c+1=0，即c=1，又，a=2c=2，b=从而椭圆E的方程为（）由，得，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A（a，0），假设椭圆E上存在点P（x0，y0）（ax0a），使得，点P（x0，y0）在椭圆上，由=1解得：x0=a2，0a1，x0=a2a，a，故不存在点P，使得点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为已知条件进行推理，得出正确的等式关系则假设成立，肯定结论，否则假设不成立，否定结论此题是中档题19（13分）（2013宁德模拟）如图（1），在直角梯形 ABCD 中，ABCD，C=90，CD=2AB=2，D=60，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90得到四边形ABCE，如图（2）（I）求证：EABB；（II）线段BC上是否存在点M，使得EM平面DBB，若存在，确定点M的位 置；若不存在，请说明理由；（III）求平面CBD与平面BBA所成的锐二面角的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（I）通过证明EA平面ABB，然后证明EABB；（II）存在当M为BC的中点时，EM平面DBB利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（III）通过建立空间直角坐标系，求出平面CBD与平面BBA的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小解答：解：（）证明：CD=CD=2AB=2，CE=AB，又ABCD，且C=90，四边形ABCD为矩形ABEA，EAAB，又ABB=A，EA平面ABB，BB平面ABB，EABB；（）解：存在当M为BC的中点时，EM平面DBB理由如下：设AE与BD交于N，连结BNABDE且AB=DE，四边形ABED为平行四边形，N为AE的中点M为BC中点，四边形ABCE为矩形，MBEN，MB=EN四边形MBNE为平行四边形，EMBN，又EM平面DBB，BN平面DBB，EM平面DBB（）解：由（）知DH底面ABCE平面ABCD，建立空间直角坐标系，Exyz，如图所示则D（1，0，0），B0，1），E（0，0，0），C（1，0，0）所以=（1，1），=（2，0，0）设面DCB的法向量为=（x，y，z），则，不妨设=（0，1，）（10分）设面ABB的法向量=（0，1，0），所以cos=所以平面CBD与平面BBA所成的锐二面角的大小为60（12分）点评：本题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力20（14分）（2013宁德模拟）一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料资 料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商 家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天 共售出8台，11月5日的销售量为18台（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数考点：函数模型的选择与应用专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（I）由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列an，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多（1n30，nN*）根据（I）前15天的销售量大于414，可得n15；通过假设n=5算出销售量为120414，得n5因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台解答：解：（I）根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列an，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=152+=450台（6分）（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多，1n30，nN*由（I），若商家在11月1日至15日之间未提价，则这15天家电M的总销售量为450台，而450414不符合题意，故n15； 若n=5，则S15=52+1016+=120414，也不符合题意，故n5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n4，公差为2的等差数列（10分）S15=2n+（15n）（4n4）+=3n2+93n270由已知条件，得S15=414，即3n2+93n270=414解之得n=15或n=19（舍去19）n=12，出售家电M的台数为2+114=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台点评：本题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多着重考查了函数、数列的基本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题21（14分）（2013宁德模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（aR）（I）当a0时，求函数f（x）=f1（x）f2（x）的极值；（II）若存在x01，e，使得f1（x0）+f2（x0）（a+1）x0成立，求实数a的取值范围；（III）求证：当x0时，lnx+0（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828）考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（I）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；（II）根据题意存在x01，e，使得f1（x0）+f2（x0）（a+1）x0成立，设g（x）=x2+alnx（a+1）x，则问题转化为g（x）min0即可，再利用导数工具得出g（x），对a时行分类讨论当a1时，当1ae时，当ae时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的范围，最后综上得到实数a的取值范围即可；（III）问题等价于x2lnx，构造函数h（x）=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f（x）minh（x）max，即可证得结论解答：解：（I）f（x）=f1（x）f2（x）=x2alnx，f（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x0，a0），由f（x）0，得xe，由f（x）0，得0xe函数f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数，f（x）的极小值为f（e）=，无极大值（II）根据题意存在x01，e，使得f1（x0）+f2（x0）（a+1）x0成立，设g（x）=x2+alnx（a+1）x，则g（x）min0即可，又g（x）=x+（a+1）=，当a1时，由x1，e，g（x）0，得g（x）在1，e上是增函数，g（x）min=g（1）=（a+1）0，得a1当1ae时，由x1，a，g（x）0，得g（x）在1，a上是减函数，由xa，e，g（x）0，得g（x）在1，a上是增函数，g（x）min=g（a）=a2+alnaa=a2a（1lna）0恒成立，得1ae当ae时，由x1，e，g（x）0，得g（x）在1，e上是减函数，g（x）min=g（e）=）=e2+aaee0，得a，又e，ae综上，实数a的取值范围a（III）问题等价于x2lnx，由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为，设h（x）=，h（x）=得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+）减，h（x）max=h（2）=，因0，f（x）minh（x）max，x2lnx，lnx（）0，lnx+0点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用17