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Lebesgue积分思想简介数学与信息工程系 数学与应用数学 2012级 吴茂岚指导老师 柳彦军摘要：实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，黎曼积分的积分对象是连续函数和“基本连续”函数。而许多现实问题中遇到的函数并不具有这种特性。另外，黎曼积分在处理积分与极限交换次序、重积分交换次序等问题时对条件的要求过于苛刻，一般来说是不容易被满足的，这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到很大的限制。虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的，但摆脱各种条件的限制，使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标。关键词：Riemann积分，实变函数，微积分Abstract： The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibnizs calculus. The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the basic continuous function. And many of the real problems encountered in the function does not have this feature. In addition, the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order, the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh, generally speaking, is not easy to be satisfied, which makes the Riemann points in solving the specific problem is very limited. Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable, but get rid of the limitation of various conditions, making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of.Key word: Riemann integral, Real variable function,calculus一、 引言1 / 12 Lebesgue在发表于1902年的经典论文积分、长度与面积与随后出版的两部论著论三角函数和积分与原函数的研究中第一次阐述了测度理论与积分思想。其后十年，一批数学家广泛发展了Lebesgue的工作。包括Lebesgue本人、奥地利数学家Radon、美国数学家Nikodym等人相继推广了Lebesgue积分与Lebesgue测度理论，一般测度空间中的积分理论是由法国数学家费雷歇在1915年前后完成的。到20世纪30年代，Lebesgue积分理论已经很成熟，并在概率论、普理论、泛函分析等学科中获得广泛应用。现代积分理论的基本框架至20世纪50年代已大体形成。二、 Riemann积分有缺陷，引入Lebesgue积分2.1Riemann积分回顾设 f(x)是在a,b上的有界函数，取分割T=若有，则称f(x)在区间a,b上Riemann积分可积，积分写作 然后我们看最简单的Dirichlet函数：，容易证明这个函数并不是Riemann可积的，由此我们看到了Riemann积分的要求太苛刻，至于一个简单的函数都未必可积。在式中我们不难发现，要求Riemann可积，必须该极限与的选取无关，这要求f(x)在区间上改变很小，也就是函数不能“太过间断”，而满足这个条件的比较是少数，而这也是Riemann积分定义缺陷所在。1 我们知道，积分与分割、介点集的取法无关。先看Riemann积分的定义： ，割于是，它的几何意义（非负函数）：函数图像下发图形的面积。12.2 Riemann积分的充要条件要使f(x)在a,b上Riemann可积,即 例：Dirichlet函数， ，D（x）不是Riemann可积。2.3 Riemann积分的缺陷 a）微积分基本定理若F(x)在a,b上连续，则。1881年，Voltema作一可微函数，导函数有界，但是不Riemann可积。1980年，Cohn证明：若则。b）积分与极限交换次序数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题。然而, 交换次序的条件是需要函数列一致收敛, 这是不易满足的 也不易验证的。例如，收敛于，但不是一致收敛的。可是，。另一方面，即使是可积的，渐升的函数列，也不能保证其极限函数的可积性。如，设是0,1中的有理数的全体，作函数列显然有；有i个间断点。由于只收敛，而不满足一致收敛，所以Riemann不可积。这里，每个皆是0,1上的Riemann可积函数，且积分值为0，故。但是函数f(x)（Dirichlet函数）不是Riemann可积的。因此，不能在积分号取下极限了。再说，设是a,b上的可积函数列，且以及，则必有，然而f(x)的积分可能是不存在的，也就是说，上述积分的极限并不依赖与本身，而依赖于f(x)。既然如此，定义积分为也无妨，这说明Riemann积分的定义太窄。62.4 勒贝格积分的引入 在黎曼积分的范围内对具有无穷多次激烈震荡的函数无法进行研究，于是勒贝格提出不分割函数的定义区间，而是从分割函数的值域入手定义积分，引入勒贝格积分的方式通常有三种：方式1：设是定义在中可测集E上的有界函数。作可测集E的任意可测划分： ,.令： , 对应分划D的小和与大和分别为 与 讨论其小和的上确界与大和的下确界是否相等，若二者相等，则称在可测集E上勒贝格可积，并称二者的共同值为在E上的勒贝格积分。方式2：设是定义在中可测集E上的有界函数，即。将任意分成n个小区间： 在每个小区间上任取一点 ，关于分划D的勒贝格和为 其中 记对的任意分划D及任意的，讨论极限 是否存在。若极限存在，则称在可测集E上勒贝格可积，并称该极限值为在E上的勒贝格积分。方式3：设是定义在中可测集E上的非负可测函数，令 定义在E上的勒贝格积分为，其中非负简单函数，在E上的积分，然后利用非负可测函数的勒贝格积分定义一般可测函数的勒贝格积分。272.5 Lebesgue积分的性质（1） 设，则对于E上的任何实函数都有（2） 设在E上的积分确定，则，即在E上a.e.有限。（3） 设在E上的积分确定，则在E上的任一可测子集A上的积分也是确定的。又如，A与B皆可测且，则 （4） 设在E上的积分确定，并且，则在E上的积分也是确定的，并且（5） 设和在E上非负可测，则 （6） 设和在E上积分确定，并且，则 （7） 设和在E上可积，c为一实数，则和在E上也是可积的，并且 （8） 当在E上的积分值确定时，在E上可积的充分必要条件是在E上可积（勒贝格积分的绝对可积性）。（9） 当在E上非负可积时，若，则（10） （积分的绝对连续性）设在E上可积且，则，即，有，使得当且时有 注：（1）关于黎曼积分，性质（8）是不成立的。对于正常黎曼积分来说，虽然当在某区域上可积时，在上也可积，但是当在上可积时，在上却不一定是可积的。对于广义黎曼积分来说，当在某区域上可积时，在上不一定可积。 （2）关于非正常黎曼积分，性质（10）不成立。132.6 一般可测函数的勒贝格积分2.6.1 非负函数的勒贝格积分 定义1： 设为定义在可测集上的非负可测函数。若存在测度有限的单调递增可测集列，满足，且存在定义在E上的单调递增有界可测函数列，满足，则称（其为有限值或）为在E上的勒贝格积分，记为，即 其中集合E称为积分集合，函数称为被积函数，若为有限值，则称在E上勒贝格可积。注意：（1）“存在测度有限的单调递增可测集列，且满足”的要求不难做到，例如取即可；（2） “存在单调递增的有界可测函数列，且满足”的条件也不难做到，例如取 即可，其中称为的截断函数；（3） 因为，且 ，由有界函数在测度有限集合上的L积分的性质，知： 即为单调递增数列，于是存在（其为有限值或）；（4） 为方便起见，通常和分别为（1）与（2）中的取法。482.6.2 一般函数的勒贝格积分任意函数均可以表示为其正部函数与负部函数两个非负函数之差，且在E上可测当且仅当与均在E上可测。因此，当在E上可测时，由定义1，与均存在。于是可以定义一般函数的勒贝格积分如下：定义2： 设为定义在可测集上的可测函数。若与至少有一个为有限值，则称 为在E上的勒贝格积分（其为有限值或），此时也称在E上有勒贝格积分，其中集合E称为积分集合，函数称为被积函数。若与均为有限值，则为有限值，此时称在E上勒贝格可积。注意：由L积分的定义不难得到，若或，则在E上一定L可积，且.482.7 勒贝格积分的特点勒贝格积分的特点要通过与黎曼积分相比较才能显现出来。黎曼积分是借助一个定义在有限区间上的有界函数，通过分割区间，得到若干个小区间，作黎曼和式，在分割与取法任意的情形，通过取极限而得到的。黎曼积分适用的函数具有较大的局限性。勒贝格积分的思想不是将轴上很靠近的数划入同一个，而是将函数值很相近的所对应的值划入同一个，即设在上，若，分割为，令。这样，虽然可以很小，但同一中相异两点却可以相差很远。所以，勒贝格积分中的不一定是区间，可以是若干个区间之和，也可以是更一般的集。从而，在作和式时，的长度自然是勒贝格测度。为此，要求是可测函数。勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，利用测度理论可以统一处理函数有界与无界的情形。函数可以定义在更一般的点集上，而且有更广泛有效的收敛定理，从而扩大了可积函数类，降低了逐项积分的条件，降低了交换积分顺序的条件。5三、 总结 勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，与黎曼积分相比较，它有着许多的优势。例如，它不仅可以统一处理有界函数与无界函数的情形，不用像黎曼积分那样，通过建立广义积分来处理无界函数的积分问题，而且还可以允许被积函数定义在更一般的点集上，这样它就大大扩充了可积函数的范围，特别是它提出了比黎曼积分更加广泛而有用的收敛定理，成功地解决了上述的三个代表问题，扫除了阻挡分析学进步的障碍。勒贝格积分不仅克服了黎曼积分的弱点，摆脱了黎曼积分的困境，而且还提供了一些宝贵的数学思想和方法，为许多数学分支的发展奠定了基础。今天它已成为了分析数学、随机数学中不可缺少的工具。3【参考文献】1程其襄等编写.实变函数与泛函分析基础M.高等教育出版社，20102许静波，程晓亮编著.实变函数论M.北京大学出版社，20143程丛电编著.实变函数引论M.科学出版社，20124赵焕光编著.实变函数M.四川大学出版社，20045孙清华，孙昊.实变函数疑难分析与解题方法M.华中科技大学出版社，20106许汪涛.勒贝格积分理论的思想、方法及发展J.陕西师范大学成人教育学院学报，19997丁宣浩，黄东来.勒贝格积分三种定义的等价证明J.桂林电子工业学院学报，20048江泽坚.实变函数论J.成都科技大学学报，2000