层次分析法(同名13484)

存档编号 赣南师X学院学士学位论文利用层次分析法对多个方案进行选择教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 12届 专 业 信息与计算科学 学 号 080704027 姓 名 陈友鹭 指导教师 彭玉兵 完成日期 2012年5月10日 目 录内容摘要2关键字2Abstract2Key word21.1：层次分析法概述31.2：层次分析法在现实问题中的体现42.1问题的提出42.2：层次分析法的基本思路52.3：层次分析法的基本步骤62.4：层次总排序与其一致性检验123.1.旅游问题143.2.层次分析法的优点和局限性17结束语18参考文献19致谢20内容摘要: 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。层次分析法在多目标、多层次决策问题中有着广泛的运用，具有其优越性。本文从层次分析法概念、特点、思路以与步骤等方面，讲述了该决策方法的基本决策过程。结合具体例子分析了如何用矩阵来解决层次分析问题。最后讲述了层次分析法的运用以与其优点和局限性。关键字:决策问题；层次分析法；决策过程；矩阵；运用Abstract: In the daily life has many decision problem. The decision is to point to in the face of the various solutions according to certain standards choose one scheme. Analytic hierarchy process in multiple targets, multi-level decision problem has extensive use, has its advantages. This paper, from the concept, the characteristic, the thoughts and the steps etc ,analysis this decision method of basic decision process .Use a specific example analyses how to use matrix to solve hierarchical analysis problem, at last, analysis the use of analytic hierarchy process and its advantages and limitations.Key word : decision problem；analytic hierarchy process ；decision process；matrix ；use第一章：绪论1.1：层次分析法概述所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以与各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。与其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素与其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。 1.2：层次分析法在现实问题中的体现在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿 的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最 终通过这些准则作出选择。 比如选择一个旅游景点时，你可以从XX、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选 择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景 色、景点的居住条件和饮食状况以与交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定 量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决 这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化,通过逐层比较各种关联 因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。 第二章：问题的提出2.1问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的XX，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的XX，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。2.2：层次分析法的基本思路：例：选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序，将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。2.3：层次分析法的基本步骤1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔例1 的层次结构模型-若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。例2 层次结构模型若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。如下的层次结构，第一层为目标层（）,第二层为准则层（），第三层为方案层（）.选择旅游地景色费用居住饮食旅途XX、XX、XX2 构造成对比较矩阵设某层有个因素，=(, )，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则=()=,则称为成对比较矩阵。比较尺度：（19尺度的含义）尺度含义1第个因素与第个因素的影响一样3第个因素与第个因素的影响稍强5第个因素与第个因素的影响强7第个因素与第个因素的影响明显强9第个因素与第个因素的影响绝对强2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据=由上述定义知，成对比较矩阵=()满足以下性质1：012: =3: =1 ,则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层的各因素对目标层的影响两两比较结果如下： 11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311,分写表示：景色，费用，居住，饮食，旅途。由上表，可得成对比矩阵=旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？3 层次单排序与一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成小块，各块的重量分别记为：， 则可得成对比较矩阵=由上面矩阵可以看出，即， 但在例2的成对比较矩阵中， ,在正互反矩阵中，若 ,则称为一致阵。一致阵的性质：2.也为一致阵3. 的各行成比例，则=14. 的最大特征值为=，其余个特征根均为0。5. 的任一列（行）都是对应特征根的特征向量。若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征，这样确定权向量的方法称为特征根法。定理：阶互反阵的最大特征根当且仅当=时，为一致阵。 由于连续依赖于，则比大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层因素影响程度的权衡量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用-数值的大小来衡量的不一致性程度。定义一致性指标 其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。定义随机一致性指标 。随机构造500个成对比较矩阵 。则可得一致性指标 ,。=-随机一致性指标 RI 的数值：1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51一般，当一致性比率时，认为的不一致程度在容许X围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1与随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。2.4：层次总排序与其一致性检验1.层次总排序确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序，从最高层到最低层逐层进行。设：对总目标Z的排序为层个因素，对总目标的排序为 ，层个因素对上层中因素为的层次单排序为 层的层次总排序为： 即层第个因素对总目标的权值为：层的层次总排序 2.层次总排序的一致性检验设层对上层（层中因素）的层次单排序一致性指标为，随机一致性指标为，则层次总排序的一致性比率为当0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。3.层次分析法的基本步骤归纳如下.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。.构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。.计算单排序权向量并做一致性检验 对每个成对比较矩阵计算最大特征值与其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。.计算总排序权向量并做一致性检验 计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。第三章 层次分析法运用3.1.旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、XX。 （2）构造成对比较矩阵 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵的最大特征向量该特征值对应的归一化特征向量，则，故。表明通过了一致性验证。对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：123450.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6683.0053.00233.00930.0030.00100.00500.580.580.580.580.58计算可知通过一致性检验。（4）计算层次总排序权值和一致性检验对总目标的权值为：0.5950.263+0.0820.475+0.4290.055+0.6330.099+0.1660.110=0.3同理得， 对总目标的权值分别为：0.246,0.456决策层对总目标的权向量为：又 故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。即各方案的权重排序为，又分别表示苏杭、北戴河、XX，故最后的决策应为去XX。3.2.层次分析法的优点和局限性1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。 2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用X围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第二 该法中的比较、判断以与结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。结束语本文通过对层次分析法的概述一章具体的阐述了层次分析法的相关概念和知识，由第二章对问题的提出入手，详细讲述如何运用层次分析法莱决绝问题，第三章则选取旅游的例子进行建模求解，最后，关于讲述了层次分析法的主要优点以与它的局限性。运用层次分析法可以在所需数据与信息较少的条件下，进行方案最优化判断。层次分析法可以避免定性判断带来的模糊性和主观性，它突出的特点就是可以通过包括定性比较数据在内的两两比较矩阵，得出定量的综合评价结果。参考文献1高百宁主编：经济预测与决策，XX财经大学2009年2杨振明.概率论.大学，19993X元亮等.科学认识论与方法论.清华大学，19874运筹学编写组.运筹学（修订版）.清华大学，19905胡运权.运筹学习题集（修订版）.清华大学，19956姜启源等.数学模型（第三版）.高等教育，2003致谢本论文是在彭老师的精心指导下完成的，从论文的最初设计到具体步骤的实施以与论文的定稿等，彭老师以其严谨XX的治学态度、高度的敬业精神、孜孜以求的工作作风在每一过程都倾注了大量的心血。同时彭老师严谨的科学态度、渊博的学术知识、开阔的视野和敏锐的思维也让本人获益匪浅，为本人在以后的工作和学习方面树立了榜样。导师不仅在学业和研究上给予了精心的指导，在生活上也给予了极大的关心，在此特对彭玉兵老师致以最诚挚的谢意！另外，我还要特别感谢我的室友对我论文写作的指导，他们为我完成这篇论文提供了莫大的帮助。还要感谢班上其他同学对我的无私帮助，使我得以顺利完成论文。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢。20 / 21