福建师范大学22春《复变函数》离线作业二及答案参考90

福建师范大学22春复变函数离线作业二及答案参考1. 设函数，f&39;(x)连续，且f(0)=0设函数，f(x)连续，且f(0)=0A=0时，F(x)在x=0处连续$当x0时，而 又 故F(x)在x=0处连续 2. 设随机变量X的分布函数 试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数设随机变量X的分布函数试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数由题意及分布函数的性质，有随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 =E(X)=-10.2+00.3+10.4+20.1=0.4， E(X2)=10.2+00.3+10.4+40.1=1 D(X)=E(X2)-E2(X)=1-0.42=0.84 故，故的分布律为 X -1.52 -0.43 0.65 1.74 P 0.2 0.3 0.4 0.1 故Y的分布函数为 3. 设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积正确答案：4. 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)正确答案： B5. 设A，B是同阶方阵，且满足， 求证：A2=A的充分必要条件是B2=E设A，B是同阶方阵，且满足，求证：A2=A的充分必要条件是B2=E由于B与E可交换，故(B+E)2=B2+2B+E，故 6. 设A是n阶矩阵，满足(A-E)5=0，则A-1=_设A是n阶矩阵，满足(A-E)5=0，则A-1=_正确答案：A4-5A3+10A2-10A+5EA4-5A3+10A2-10A+5E7. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得对f(x)与g(x)施行辗转相除法 由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而 从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 8. 求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近正确答案：9. 零测度集的任何子集都是可测集。( )A.正确B.错误参考答案：B10. ，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域积分区域D如图8.24所示，0y，0xy 11. 根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结果是否说明产品的标准差明显增大了(=0.05)?由于未知期望，由题设可知0=0.30，n=25，S=0.36 据题意，提出假设如下 提出假设H0： 找统计量 求临界值对给定的=0.05，查2分布表， 求观察值计算得 作出判断因为2=34.5636.415，所以接受H0，即认为该产品的标准差没有明显增大 12. 证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根在(-2，-1)与(-1，0)上运用零点定理13. 设y=x3ex，求y(n)设y=x3ex，求y(n)y(n)Cn0x3ex+Cn13x2ex+Cn26xex+C3n6ex=x3ex+3nx2ex+3n(n-1)xex+n(n-1)(n-2)ex14. 设集合A=a，b，c，A上的二元关系R=(a，a)，(b，b)不具备关系中下列4个中的哪个性质? (1)传递性； (2)反对称设集合A=a，b，c，A上的二元关系R=(a，a)，(b，b)不具备关系中下列4个中的哪个性质?(1)传递性；(2)反对称性；(3)对称性；(4)自反性不具备(4)自反性如果加入(c，c)，才有自反性15. 使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是正确引入变换u=(x)如果在运算中不写出u=(x)，而把(x)看做一个整体，将所求积分转化为新的积分通常，可以在基本积分公式中找到积分 最常见的凑微分类型如下： (1) (2) (3)f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx (4)f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx (5)exf(ex)dx=f(ex)dex (6) (7) (8) (9) (10) 16. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证，从而 =(fxcos+fysin)2+(-sinfx+cosfy)2 =fx2cos2+fy2sin2+2sincosfxfx +fx2sin2+fy2cos2-2sincosfxfy 17. 试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.令W=(x，y，z)TR3|2x-2y+z=0，可求出W的一个标准正交基为到W的正交投影为1=，e1e1+，e2e2=(-1，1，4)T.所求距离为d=-1=8.18. 计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)当R1时，L不包含原点，因此P、Q在L所围的闭区域D上具有一阶连续偏导数，由格林公式，原式= 当R1时，原点在L所围的区域内，需删除此点才可用格林公式，如图10-3所示，作小椭圆l：4x2+9y2=2(应小到使l包含在L内)，l取顺时针方向在L与l所围的复连域D内，P、Q具有一阶连续偏导数，满足格林公式条件，于是有 原式= (在l上总满足4x2+9y2=2) (l-上应用格林公式) 19. 设X为随机变量，E(X)=，D(x)=2，当( )时，有E(Y)=0，D(Y)=1 AY=X+ BY=X- C D设X为随机变量，E(X)=，D(x)=2，当()时，有E(Y)=0，D(Y)=1AY=X+BY=X-CDC20. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测。( )A.正确B.错误参考答案：A21. 原假设H0正确，但小概率事件A真的发生了，而错误地拒绝原假设H0，这类错误叫存伪错误( )原假设H0正确，但小概率事件A真的发生了，而错误地拒绝原假设H0，这类错误叫存伪错误()参考答案：错误错误22. 试证明： 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.23. 试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集根据题意A是有限集，则AN(N是自然数集)是可列集，可知(AN)B是可列集，而AB(AN)B，而AB是无限集，由于可列集的任何无限子集是可列的，故AB为可列集24. 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3阶常系数齐次微分方程是( ) Ay&39;-y-y&39;+y=0 By具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3阶常系数齐次微分方程是()Ay-y-y+y=0By+y-y-y=0Cy-6y+11y-6y=0Dy-2y-y+2y=0B将y1=ev代入上述四个选项，可将(C)淘汰 将y2=2xe-x代入其余三个选项，可知，仅有(B)正确，且y3=3ex亦满足(B) 25. 对积分上限的函数求导时应注意些什么？对积分上限的函数求导时应注意些什么？(1)首先要弄清是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导，与积分变量没有关系但有时会遇到上限变量也含在被积表达式内的情况，这时应先设法把上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导，例如上个问题中的，对它求导时，应先把它写作，然后应用乘积的求导公式求导 (2)当积分上限，甚至积分下限，都是x的函数时，就要应用复合函数的求导法则进行求导一般说来，有下述结果(证明从略)： 当函数(x)，(x)均在a，b上可导，函数f(x)在a，b上连续时，则有 =(x)f(x)-(x)f(x) 26. 试利用逐项积分法求下列幂级数的和：试利用逐项积分法求下列幂级数的和：提示 其答案依次为： 27. 设f_x)=x5+x3+x+1，则f0,1_，f0，1，2=_，f0，1，2，3，4，5=_；f0，1，2，3，4，5，6=_。设f_x)=x5+x3+x+1，则f0,1_，f0，1，2=_，f0，1，2，3，4，5=_；f0，1，2，3，4，5，6=_。3$18$0$028. 设A，B是两个事件，且满足条件0P(A)1，P(B|A)+=1，求证：A与B相互独立设A，B是两个事件，且满足条件0P(A)1，P(B|A)+=1，求证：A与B相互独立用例1.17题1与本例29. 设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0，x1上恒等于0。正确答案：一定存在(x0x1)使f()=0则f()=f()；若f()0则f()0应为f(x)的极小值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾；若f()0则f()0应为f(x)的极大值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾。故只能f()=0即f()=0再对x0及x1应用以上结论反复使用知f(x)在x0x1上恒等于0。一定存在(x0,x1),使f()=0,则f()=f()；若f()0,则f()0,应为f(x)的极小值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f()0,则f()0,应为f(x)的极大值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f()=0,即f()=0,再对x0,及,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在x0,x1上恒等于0。30. 已知向量a=2，1，1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；已知向量a=2，1，-1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；31. 试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y+y-y-y=032. 某保险公司规定，如果在一年内顾客要求理赔事件A发生，该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为p，为使某保险公司规定，如果在一年内顾客要求理赔事件A发生，该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于的5%，该公司要求顾客交多少保险费?33. 若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则( )A.m(A)m(B)B.m(A)=m(B)C.m(BA)=m(A)D.m(B)=m(A)+m(BA)参考答案：BD34. 设A=(aij)nn，试证下列等式成立：若|A|0，则(A*)*=|A|n-2A设A=(aij)nn，试证下列等式成立：若|A|0，则(A*)*=|A|n-2A证明因A*=|A|A-1，故 (A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|-1A)=|A|n-2A 35. 给定函数 考虑下列非线性规划问题 min 4x1一3x2 st4x1一x20， x2+70，考虑下列非线性规划问题 min 4x1一3x2 st4x1一x20， x2+70， 一(x13)2+x2+10 求满足K-T必要条件的点正确答案：目标函数f(x)=4x13x2约束函数g1(x)=4一x1x2g2(x)=x2+7和g3(x)=一(x1一3)2+x2+1的梯度分别是rnrn最优解的一阶必要条件如下：rnrn即rnrn求解上述KT条件得到非线性规划的KT点x1=1x2=3相应的乘子(123)=目标函数f(x)=4x13x2,约束函数g1(x)=4一x1x2,g2(x)=x2+7和g3(x)=一(x1一3)2+x2+1的梯度分别是最优解的一阶必要条件如下：即求解上述KT条件,得到非线性规划的KT点x1=1,x2=3,相应的乘子(1,2,3)=36. 试证明： 设，m*(E)0，0cm*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c试证明：设，m*(E)0，0cm*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c证明 记f(x)=m*(a，x)E)，axb，则f(a)=0，f(b)=m*(E).考察x与x+x，不妨设axx+xb，则由 a,x+x)E=(a,x)E)(x,x+x)E) 可知，f(x+x)f(x)+x，即 f(x+x)-f(x)x 对x0也可证得类似不等式，总之，我们有 |f(x+x)-f(x)|x|，axb 这说明fC(a，b)，根据连续函数中值定理，对于f(a)cf(b)，必存在(a，b)，使得f()=c.从而取A=a，)E，即得所证 37. 求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积38. 讨论函数f(x)=xex的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，讨论函数f(x)=xe-x的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，函数f(x)=xe-x的定义域为(-，+)，为非奇非偶函数再求其一、二阶导数： f(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)， f(x)=-e-x(1-x)-e-x=e-x(x-2) 令f(x)=0，得驻点x1=1；没有导数不存在的点 令f(x)=0，得x2=2 讨论f(x)和f(x)的符号，列表如下：(-，1)1(1，2)2(2，+)f(x)+0-f(x)-0+y=f(x)升凸极大值f(1)=e-1降凸拐点(2，2e-2)降凹 再求渐近线 曲线y=f(x)有水平渐近线y=039. 在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中 x=1，2，3， y=2，3， 证明：(T)由满足|1的一切点组成，在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中x=1，2，3，y=2，3，证明：(T)由满足|1的一切点组成，T的特征值由满足|1的一切点组成，对于|=1，I-T是单映射。(1)T=1显然，所以|1时，(T) (2)|1时， 它有非零解 x=11，2，)lp(10)， 故|1时，|p(T)(特征值)。从而 (T)=1，(T)=|1 (3)|=1时，由(I-T)x=0可知x必具有形式 11，2， 故当且仅当1=0时有xlp所以在lp中(I-T)x=0只有零解，即|=1时，(I-T)是单映射。 40. 证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法向量正确答案：41. 若1，2，s线性相关，则至少有一个向量可以由其余向量线性表出. 若1，2，s线性相关，则其中任一个向量若1，2，s线性相关，则至少有一个向量可以由其余向量线性表出.若1，2，s线性相关，则其中任一个向量均可以由其余向量线性表出？例 设1=(11，20，13)，2=(0，0，0)，3=(11，12，3)显然1，2，3线性相关，但1不能由2，3线性表出，3也不能由1，2线性表出42. 考察模拟水下爆炸的比例模型爆炸物质量m，在距爆炸点距离r处设置仪器，接收到的冲击波压强为p，记大气初始压考察模拟水下爆炸的比例模型爆炸物质量m，在距爆炸点距离r处设置仪器，接收到的冲击波压强为p，记大气初始压强p0，水的密度，水的体积弹性模量k，用量纲分析方法已经得到设模拟实验与现场的p0，k相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/1000为了使实验中接收到与现场相同的压强p，问实验时应如何设置接收冲击波的仪器，即求实验仪器与爆炸点之间的距离是现场的多少倍原型的各物理量与模型相同的仍记为p，p0，k，与模型不同的记为r，m，于是有，可得，即实验仪器与爆炸点的距离应是实际现场的1/1043. 证明方程x3-4x2+1=0至少有一个小于1的正根证明方程x3-4x2+1=0至少有一个小于1的正根设f(x)=x3-4x2+1，则f(1)=1-4+1=-2，f(0)=1，所以由根的存在性定理，在(0，1)内定有一点使f(x)=0，即x3-4x2+1=0 故方程x3-4x2+1=0有一根在(0，1)内，即至少有一个小于1的正根 44. 设随机变量(，)在区域(x，y):axb，cyd内服从均匀分布，求：设随机变量(，)在区域(x，y):axb，cyd内服从均匀分布，求：区域D的面积A=(b-a)(d-c)，所以(，)的联合分布密度为 $ 45. 所有的微分方程都有通解吗？所有的微分方程都有通解吗？不是，所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解，以下两个方程： |y|2+1=0 (1) 与 y2+y2=0， (2) 显然方程(1)无解，方程(2)只有解y=0可见并非所有的微分方程都有通解 46. 设随机变量X与Y相互独立，令函数U=|X|，Y=|Y|，求证：U与V相互独立设随机变量X与Y相互独立，令函数U=|X|，Y=|Y|，求证：U与V相互独立证 由变量独立，证明函数独立 只须证明：对于任意实数u，v，有PUu，Vv=PUuPYv 当u0，或v0时，上式的两边都等于0，因此等式成立 设u10，且v0，由X与Y相互独立，有 PUu，Vv=P|X|u，|Y|v=P-uXu， -VYv=P-uXuP-vYv =P|X|uP|Y|v=PUuPVv 47. 我国关于对圆周率 的计算，贡献最大的人物是：A、杨辉B、张衡C、刘徽D、祖冲之我国关于对圆周率 的计算，贡献最大的人物是：A、杨辉B、张衡C、刘徽D、祖冲之正确答案： D48. 求由抛物线y2=8x与直线xy6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积求由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积49. 设(X1，X2，Xm)与(Y1，Y2，Yn)分别是取自总体 X与Y的两个样本XB(1，p1)，YB(1，p2)，其中p1，p2均为未知，0p1，设(X1，X2，Xm)与(Y1，Y2，Yn)分别是取自总体 X与Y的两个样本XB(1，p1)，YB(1，p2)，其中p1，p2均为未知，0p1，p21当m，n较大时，试用近似方法导出未知参数p1- p2的一个双侧1-置信区间(提示：利用定理7.9(ii)m，n较大时，近似有 50. 设函数z1=x+y,，则( ) Az1与z2是相同的函数 Bz1与z2是相同的函数 Cz2与z3是相同的函数 D其中任何设函数z1=x+y,，则()Az1与z2是相同的函数Bz1与z2是相同的函数Cz2与z3是相同的函数D其中任何两个都不是相同的函数D因为z1与z2的定义域不相同，z1与z3的值域不一样，z2与z3的定义域不相同，从而任何两个都不是相同的函数51. 条件概率P(B|A)与概率P(AB)有何不同?条件概率P(B|A)与概率P(AB)有何不同?条件概率P(B|A)中A，B地位不同，且已知A已发生作为条件；在概率P(AB)中，A，B同时发生，地位相同，没有前提条件，在应用问题中必须区别是求P(B|A)还是求P(AB)例如从6个正品2个次品的袋中，不放回抽取2次，A=第一次为正品，B=第二次为次品，求(1)第二次才取到次品的概率；(2)已知第一次取到正品，B发生的概率那么，第一问是求P(AB)，而第二问是求JP(B|A)52. 从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。感性认识53. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。54. 设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f&39;(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值 (B) 极设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有()(A)极大值(B)极小值(C)拐点(D)既非极值点也非拐点B根据洛必达法则， 说明当x充分接近x0时，f(x)-f(x0)0即x=x0是f(x)的极小值点 55. 设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数正确答案：B由于，故f(x)无界，或考察f(x)在xn=的函数值，有，可见f(x)是无界函数，故应选B56. 设函数f(x)在(-，+)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( ) Ay=|f(x)| By=f(x2) Cy=f(x)+f(-x) D设函数f(x)在(-，+)内有定义，下列函数中必为偶函数的有()Ay=|f(x)|By=f(x2)Cy=f(x)+f(-x)Dy=cBCD解 选项A不对，例如f(x)=1+x57. 设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0，则1，2，s线性无关B若1，2，s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0C1，2，s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD1，2，s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B58. 求主y3y&39;2y=5，y|x=0=1，y&39;|x=0=2的特解求主y-3y+2y=5，y|x=0=1，y|x=0=2的特解59. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案：设日产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本60. 证明：若三角级数 中的系数an，bn满足关系 M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。证明：若三角级数中的系数an，bn满足关系M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。由所给条件：可知 即 而，有 及级数收敛，可知三角级数 为绝对一致收敛 其中a0为某一实数 又设 则 由于 及收敛，所以级数一致收敛，由定理13.12可知此级数的和函数连续，由定理13.14可知 即级数的和函数具有连续的导函数