二次函数及特殊的三角形含答案

二次函数与特殊的三角形第一组等腰三角形 (2016，26，13分)5如图，在平面直角坐标系中，直线y=2*+10与*轴，y轴相交于A，B两点点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC (1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状； (2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停顿运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？ (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由(2016*建立兵团，23，13分如图，抛物线的顶点为E，该抛物线与*轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线与y轴交于点D121求抛物线的解析式；2在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是等腰三角形？假设存在，请直接写出符合条件的P点坐标，假设不存在，请说明理由(2016A，26，12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与*轴交于AB两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断ABC的形状，并说明理由；(2)经过BC两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停顿. 当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E，点A的对应点为点A. 将AOC绕点O顺时针旋转至的位置，点AC的对应点分别为点，且点恰好落在AC上，连接，. 是否能为等腰三角形？假设能，请求出所有符合条件的点E的坐标；假设不能，请说明理由.第二组直角三角形10. 2016省枣庄市，25，10分如图，抛物线ya*2b*c(a0)的对称轴为直线*1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与*轴的另一个交点为B假设直接ym*n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；在抛物线的对称轴*1上找一点M，使点M到点A的距离与点C的距离之和最小，求点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴*1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标*yOCAB答案：1、(1)解：令y=0，则2*+10=0，*=5，A(5，0)把*=0代入y=2*+10，得y=10，B(0，10)设过O，A，C三点的抛物线的解析式为y=a*2+b*+c，可得解得抛物线的解析式为y=*2*3分ABC是直角三角形，理由如下：B(0，10)，A(5，0)，OA=5，OB=10，AB2=125，AB=C(8，4)，A(5，0)，AC2=25，AC=5B(0，10)，C(8，4)，BC2=100，BC=10AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，且C=905分(2)PA=QA，又PA2=(2t)2+52，QA2=(10t)2+52，(2t)2+52=(10t)2+52，解得t=故当运动时间为秒时，PA=QA8分(3)存在抛物线y=*2*过O，A两点，则对称轴是*=，设M的坐标为(，m)，当AM=BM时，M是AB的垂直平分线与抛物线的交点，设抛物线的对称轴与*轴交于点P，与AB交于点Q，由题意可知PQy轴，P是OA的中点，Q是AB的中点，AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q，此时不能形成三角形当AB=BM时，()2+(10m)2=AB2=125，解得m1=，m2=，M1(，)，M2(，)10分当AB=AM时，(5)2+m2=AB2=125，解得m3=，m4=，M3(，)，M4(，)综上所述，存在点M，共有4个点，分别是M1(，)，M2(，)，M3(，)，M4(，)12分解：1由抛物线，令*=0，得y=3C0，3，OC=3BO=OC=3AO，OB=3，AO=1A1，0，B3，0代入，得：解得：抛物线的解析式为2P11，1，P21，P31，P41，P51，设点P的坐标为1，m分三种情况讨论：假设PC=PB，则PC2=PB2即解得：m=1，P11，1假设PC=BC，则PC2=BC2即解得：，P21，P31，假设PB=BC，则PB2=BC2即解得：，P41，P51，综上所述，可知满足条件的点P的坐标共有5个，分别是P11，1，P21，P31，P41，P51，3、(1)ABC为直角三角形，理由如下：当y=0时，即，解这个方程，得. 点A(，0)，B(，0). OA=，OB=3. 当*=0时，y=3，点C(0，3)，OC=3. 在RtAOC中，.在RtBOC中，.又，12+36=48，.ABC为直角三角形. (2)如图1，点B(，0)，C(0，3)，直线BC的解析式为.过点P作PG/y轴交直线BC于点G. 设点P(a，)，则点G(a，)，PG=()()=. 设点D的横坐标为，点C的横坐标为.，当时，PCD的面积最大，此时点P(，). 如图1，将点P向左平移个单位至点P，连接AP交y轴于点N，过点N作NM抛物线对称轴于点M，连接PM. 点Q沿PMNA运动，所走的路程最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长. 点P(，)，点P(，).又点A(，0)，直线AP的解析式为.当*=0时，y=，点N(0，). 过点P作PH*轴于点H，则有HA=，PH=，AP=.点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+=. (3)如图2，在RtAOC中，tanOAC=，OAC=60.OA=，为等边三角形，=60，=30.又由，得点.点A(，0)，E(，4)，AE=.直线AE的解析式为，设点E(a，)，则点A(，).假设，则有，即.解这个方程，得，点E(，5). 假设，则有，即，解这个方程，得，.点E(，)或(，). 假设，则有，即，解这个方程，得，.点E(，). 综上所述，符合条件的点E的坐标为(，5)或(，)或(，)或(，).