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专题18 全等形和全等三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1 全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：形状相同。大小相等。对应边相等、对应角相等。全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.表示方法：全等用符号“”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。1（2017四川中考模拟）已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF四边形ABCD则PE的长为（）A3B5C6D10【答案】D【详解】四边形OPEF四边形ABCDPE=BC=10，故选D.2（2019福建中考模拟）如图，若MNPMEQ，则点Q应是图中的（ ）A点AB点BC点CD点D【答案】D【详解】MNPMEQ，点Q应是图中的D点，如图，故选：D3（2018广西中考模拟）下列说法中不正确的是（）A全等三角形的周长相等 B全等三角形的面积相等C全等三角形能重合 D全等三角形一定是等边三角形【答案】D【详解】根据全等三角形的性质可知A，B，C命题均正确，故选项均错误；D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.故选D.考查题型一 利用全等三角形性质求线段与角1（2019武冈市第七中学中考模拟）如图，三角形纸片ABC，AB10cm，BC7cm，AC6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则AED的周长为（）A9cmB13cmC16cmD10cm【答案】A【解析】解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cmAB=10cm，BC=7cm，AE=ABBE=3cmAED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）故选A2（2017江苏南京溧水孔镇中学中考模拟）如图，ABCDEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5cm，BF=7cm，则EC长为（ ）A1cmB2cmC3cmD4cm【答案】C【详解】解：ABCBAD，EF=BC=5cm，BF=7cm，BC=5cm，CF=EF-CF=3 cm，故选C3（2016广东中考模拟）如图，ACBACB,ACA=30，则BCB的度数为( )A20B30C35D40【答案】B【详解】ACBACB，ACB=ACB，ACB-ACB=ACB-ACB，即BCB=ACA，又ACA=30，BCB=30，故选：B4（2019沂源县中庄中学初一月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，B=D=90，ABCCDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求ABC的周长；（2）求ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【详解】解：（1）ABCCDEAC=CEABC的周长=AB+BC+AC=24（2）ABCCDEAC=CE，ACB=CED，BAC=DCE又B=90ACB+BAC=90ACB+DCE=90ACE=180-（ACB+DCE）=90ACE的面积=12ACCE=50考查题型二 利用全等三角形性质证明线段、角相等1（2019湖北黄石十四中初二期中）如图，点E在AB上，ABCDEC，求证：CE平分BED【答案】见解析【详解】ABCDEC，B=DEC，BC=EC，B=BEC，BEC=DEC，CE平分BED2（2018颍上县第五中学初二期中）若ABCDCB，求证：ABE=DCE.【答案】见解析【详解】证明：ABCDCBABC=DCB，ACB=DBCABC-DBC=DCB-ACB即ABE=DCE知识点2：全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形周长、面积相等证题的思路（重点）：考查题型三 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS）1（2018四川中考模拟）如图，AB=AE，1=2，C=D求证:AC=AD【答案】见解析【解析】详解：1=21+EAC=2+EACBAC=EAD在ABC和AED中BAC=EADC=DAB=AEABCAED（AAS)AC=AD2（2014北京中考模拟）已知：如图，E是AC上一点，AB=CE，ABCD，ACB =D求证：BC =ED【答案】证明见解析.【详解】ABCD，A=ECD.在ABC和ECD中，AECD，ACBD，ABCE，ABCECD（AAS）.BC=DE3（2018四川中考模拟）已知，如图，E、F分别为ABCD的边BC、AD上的点，且1=2,.求证：AE=CF.【答案】详见解析【详解】四边形ABCD为平行四边形B=D，AB=CD在ABE与CDF中，1=2，B=D，AB=CDABECDFAE=CF4（2016福建中考模拟）如图，ACB90，ACBC，BECE，ADCE求证：ACDCBE【答案】证明详见解析.【详解】ADCE，BECE，ADC=E=90，ACB=90，BCE+ACD=90，B+BCE=90，B=ACD，在BEC和CDA中，ADC=E=90，B=ACD，AC=BC，ACDCBE（AAS）考查题型四 已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS）1（2016四川中考真题）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CDBE求证：D=E【答案】见解析【详解】C是线段AB的中点，AC=CB，CDBE，ACD=B，在ACD和CBE中，AC=CB，ACD=B，CD=BE，ACDCBE（SAS），D=E2（2018云南中考模拟）如图，点E，F在AB上，ADBC，AB，AEBF求证：CD【答案】证明见解析【详解】证明：AEBF，AE+EFBF+EF，AFBE，在ADF与BCE中，ADFBCE（SAS），CD3（2019辽宁中考真题）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求证：AF=DE【答案】见解析；【详解】证明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在ABF和DCE中，AB=DCB=CBF=CE，ABFDCE AF=DE考查题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS）1（2013浙江中考真题）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且A=D，AB=DC（1）求证：ABEDCE；（2）当AEB=50，求EBC的度数。【答案】见解析（2）EBC=25【详解】解（1）证明：在ABE和DCE中，A=DAEB=DECAB=DC，ABEDCE（AAS）（2）ABEDCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50，EBC=252（2016广西中考模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是E、F，并且DE=DF求证：（1）ADECDF；（2）四边形ABCD是菱形【答案】见解析【解析】证明：（1）DEAB，DFBC，AED=CFD=900。四边形ABCD是平行四边形，A=C。在AED和CFD中： &AED=CFD&A=C&DE=DF，AEDCFD（AAS）。（2）AEDCFD，AD=CD。四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形。3（2019陕西中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是ABC、ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F求证：AE=CF【答案】见解析.【详解】证明：平行四边形ABCD中，ADBC，AD=BC，ACB=CADBE、DF分别是ABC、ADC的平分线，BEC=ABE+BAE=FDC+FCD=DFA，在BEC与DFA中，BECDFAACBCADADBC BECDFA（AAS），AF=CE，AE=CF考查题型六 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的另一角ASA）1（2016湖北中考真题）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,ODCD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.【答案】20米.【解析】试题解析：ABCD，ABO=CDO，ODCD，CDO=90，ABO=90，即OBAB，相邻两平行线间的距离相等，OD=OB，在ABO与CDO中，ABOCDO（ASA），CD=AB=20（m）2（2015北京中考模拟）如图，已知，EC=AC，BCE=DCA，A=E；求证：BC=DC【答案】见解析【详解】证明：BCE=DCA，BCE+ACE=DCA+ACE，即ACB=ECD.在ABC和EDC中，ACB=ECDAC=ECA=E，ABCEDC（ASA）.BC=DC3（2016湖北中考模拟）如图，已知EFMN，EGHN，且FH=MG，求证：EFGNMH【答案】证明见解析【解析】EFMN, EGHN,F=M, EGF=NHM.FH=MG，FG=MH.在EFG和NMH中F=M, FG=MHEGF=NHM，EFGNMH（ASA）考查题型七 已知两角，找两角的夹边ASA1（2010河北中考真题）如图，在ABC和ADE中，点E在BC边上，BACDAE，BD， ABAD,（1）试说明ABCADE；（2）如果AEC75，将ADE绕点A旋转一个锐角后与ABC重合，求这个旋转角的大小【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、30【详解】（1）BAC=DAE，AB=AD，B=D，ABCADE.（2）ABCADEAC=AE，C=AEC=75，CAE=180CAEC=30，ADE绕着点A逆时针旋转30后与ABC重合，这个旋转角为30.2（2019河北中考模拟）某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，于是工作人员在岸边A、B的垂线AF上取两点E、D，使EDAE再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD长就是AB的距离请说明理由【答案】证明见解析.【详解】证明：ABAD，CDAD，ACDE90，又EDAE，AEBCED，ABECED(AAS)，ABCD3（2018湖北中考模拟）如图，BDAC于点D，CEAB于点E，AD=AE求证：BE=CD【答案】证明过程见解析【详解】BDAC于点D，CEAB于点E， ADB=AEC=90，在ADB和AEC中，ADB=AECAD=AEA=AADBAEC（ASA） AB=AC， 又AD=AE， BE=CD考查题型八 已知两角，找任意一边AAS 1（2017湖北中考模拟）如图，点E，F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O(1)求证：ABDC；(2)试判断OEF的形状，并说明理由【答案】（1）证明略（2）等腰三角形，理由略【详解】证明：（1）BECF，BEEFCFEF， 即BFCE 又AD，BC，ABFDCE（AAS）， ABDC （2）OEF为等腰三角形 理由如下：ABFDCE，AFB=DECOE=OFOEF为等腰三角形2（2019山西中考真题）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，ACEF，C=H.求证：BC=DH.【答案】证明见解析.【详解】AD=BE，AD-BD=BE-BD，即AB=DE.ACEH，A=E，在ABC和EDH中C=HA=EAB=DE，ABCEDH(AAS)，BC=DH.3（2019广西中考模拟）已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，ABDE，AD，BFEC（1）求证：ABCDEF（2）若A120，B20，求DFC的度数【答案】（1）见解析；（2）DFC40【详解】（1）证明：ABDE，BE，BFECBF+FCEC+CF，即BCEF，在ABC和DEF中，&A=D&B=E&BC=EF ，ABCDEF（AAS）；（2）解：A120，B20，ACB40，由（1）知ABCDEF，ACBDFE，DFE40，DFC404（2016江苏中考模拟）如图，在四边形ABCD中，ADBC，A=90，CEBD于E，AB=EC（1）求证：ABDECB；（2）若EDC=65，求ECB的度数；（3）若AD=3，AB=4，求DC的长【答案】（1）证明见解析；（2）40；（3）25【解析】（1）证明：ADBC，ADB=EBC，A=CEB=90，在ABD与CEB中，A=CEBADB=EBCAB=CE，ABDECB；（2）由（1）证得ABDECB，BD=BC，BCD=BDC=65，DCE=90-65=25，ECB=40；（3）由（1）证得ABDECB，CE=AB=4，BE=AB=3，BD=BC=42+32=5，DE=2，CD=22+42=25考查题型九 已知两边，找夹角SAS1（2013湖北中考真题）如图，点D，E在ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE求证：AD=AE【解析】证明：AB=AC，B=C。在ABD与ACE中，AB=ACB=CBD=EC，ABDACE（SAS）。AD=AE。2（2018广东中考真题）如图，AB与CD相交于点E，AECE，DEBE求证：AC【答案】证明见解析【详解】在AED和CEB中，AE=CEAED=CEBDE=BE，AEDCEB（SAS），AC（全等三角形对应角相等）3（2019江苏中考真题）如图，在ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；求证：（1）DBCECB（2）OB=OC【答案】（1）见解析；（2）见解析.【详解】(1)AB=AC，ECB=DBC，在DBC与ECB中 BD=CEDBC=BC=CBECB， DBCECB；(2)由(1) DBCECB，DCB=EBC，OB=OC.4（2018江苏中考模拟）如图，在五边形ABCDE中，BCD=EDC=90，BC=ED，AC=AD（1）求证：ABCAED；（2）当B=140时，求BAE的度数【答案】（1）详见解析；（2）80【详解】证明：（1）AC=AD，ACD=ADC，又BCD=EDC=90，ACB=ADE，在ABC和AED中，BC=EDACB=ADEAC=AD，ABCAED（SAS）；解：（2）当B=140时，E=140，又BCD=EDC=90，五边形ABCDE中，BAE=5401402902=805（2019河北中考模拟）如图，BAD是由BEC在平面内绕点B旋转60而得，且ABBC，BECE，连接DE（1）求证：BDEBCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由【答案】证明见解析.【详解】（1）证明：BAD是由BEC在平面内绕点B旋转60而得，DB=CB，ABD=EBC，ABE=60，ABEC，ABC=90，DBE=CBE=30，在BDE和BCE中，DB=CBDBE=CBEBE=BE，BDEBCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得BDEBCE，BAD是由BEC旋转而得，BADBEC，BA=BE，AD=EC=ED，又BE=CE，BA=BE=ED= AD四边形ABED为菱形考查题型十已知两边，找直角HL1（2018江苏中考真题）如图，A=D=90，AC=DB，AC、DB相交于点O求证：OB=OC【答案】证明见解析.【解答】证明：在RtABC和RtDCB中BD=CABC=CB，RtABCRtDCB（HL），OBC=OCB，BO=CO2（2019江苏中考模拟）如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，且BE=CF，求证：AD是ABC的角平分线【答案】见解析【详解】证明：DEAB，DFAC，BDEDCF是直角三角形在RtBDE与RtDCF中，BE=CFBD=DC，RtBDERtDCF（HL），DE=DF，又DEAB，DFAC，AD是ABC的角平分线3（2019福建省诏安县霞葛初级中学中考模拟）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，ACBD，EFBD，垂足分别为点C、点F，CD=BF求证：（1）ABCEDF；（2）AB/DE【答案】（1）见解析；（2）见解析.【详解】证明：（1）ACBD，EFBD，ABC和EDF为直角三角形，CD=BF，CF+BF=CF+CD，即BC=DF，在RtABC和RtEDF中，AB=DEBC=DF，RtABCRtEDFHL；（2）由（1）可知ABCEDF，B=D，AB/DE考查题型十一 已知两边，找第三边SSS1（2018四川中考模拟）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF，求证：ABDE【答案】详见解析.【解析】证明：由BECF可得BCEF，又ABDE，ACDF，故ABCDEF（SSS），则B=DEF，ABDE2（2018广西中考真题）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求证：ABCDEF；(2)若A=55，B=88，求F的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37【解析】（1）AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CFAC=DF在ABC和DEF中，AB=DEBC=EFAC=DFABCDEF（SSS）（2）由（1）可知，F=ACBA=55，B=88ACB=180（A+B）=180（55+88）=37F=ACB=373（2019辽宁中考模拟）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AEBF【答案】证明见解析.【解析】AD=BC，AC=BD，在ACE和BDF中，ACBDAEBFCEDF，ACEBDF（SSS）A=B，AEBF；知识点3 角平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。考查题型十二 图中有角平分线，向两边作垂线1.（2019襄樊市月考）在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF【答案】证明见解析.【详解】过D作DMAB于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分线性质），EAF+EDF=180，MED+AFD=360-180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中MED=DFNDME=DNFDM=DN，EMDFND（AAS），DE=DF2. （2019襄樊市月考）在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF【答案】证明见解析.【详解】过D作DMAB于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分线性质），EAF+EDF=180，MED+AFD=360-180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中MED=DFNDME=DNFDM=DN，EMDFND（AAS），DE=DF3（2017广东中考模拟）如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为_【答案】6【解析】作PEOB于E，如图，OC是AOB的平分线，PDOA，PEOB，PE=PD=6，即点P到边OB的距离为6故答案为6考查题型十三 角平分线加垂线，三线合一试试看1.如图，已知AEFE，垂足为E，且E是DC的中点(1)如图，如果FCDC，ADDC，垂足分别为C，D，且ADDC，判断AE是FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图，如果(1)中的条件“ADDC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图，如果(1)中的条件改为“ADFC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由【答案】（1）AE是FAD的角平分线（2）成立（3）成立【详解】（1）AE是FAD的角平分线；（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，E是DC的中点，EC=ED，FCDC，ADDC，FCE=EDB=90，在FCE和BDE中，FEC=DEBEC=EDFCE=EDB,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分线；（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，AD=DC，FCE=EDB，在FCE和BDE中，FEC=DEBEC=EDFCE=EDB,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分线.考查题型十四 角平分线平行线，等腰三角形来填1.（2017春 赣州市期末）如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作DE/BC，分别交AB,AC于点D,E,若AB=4，AC=3，则ADE的周长是_。【答案】7【解析】解：BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，BD=DO，同理OE=EC，ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7故答案为：72.（2018江苏中考模拟）如图，ABCD，CB平分ACD，ABC=35，则BAE=_度.【答案】70【详解】ABCD，ABC=35，BCD=B=35，CB平分ACD，BAE=2BCD=70故正确答案为：70.考查题型十五 图形对折问题1（2017 丹阳市月考）如图a是长方形纸带，DEF=25，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是_【答案】105【解析】由图a知，EFC=155.图b中，EFC=155，则GFC=EFC-EFG=155-25=130.图c中，GFC=130，则CFE=130-25=105. 故答案为：105.2.（2019 道外区期末）如图a是长方形纸带（提示：ADBC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c（1）若DEF20，则图b中EGB_，CFG_；（2）若DEF20，则图c中EFC_；（3）若DEF，把图c中EFC用表示为_；（4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中DEF的度数是多少【答案】（1）40，140；（2）120；（3）1803；（4）18【详解】（1）长方形的对边是平行的，BFEDEF20，EGBBFE+DEF40，FGDEGB40，CFG180FGD140；故答案为：40，140；（2）长方形的对边是平行的，BFEDEF20，图a、b中的CFE180BFE，以下每折叠一次，减少一个BFE，图c中的EFC度数是120；故答案为：120；（3）由（2）中的规律，可得CFE1803故答案为：1803；（4）设图a中DEF的度数是x，由（2）中的规律，可得180(9+1)x0解得：x18故答案为：18考查题型十六 角平分线与实际问题1（2019深圳市文锦中学中考模拟）已知：如图所示，三条公路两两分别相交于点A、B、C，在甲区内求作一点P，使点P到三条公路的距离都相等。【答案】答案见解析【详解】解：点P位置如图所示：32
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