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专题03 一元一次方程【思维导图】 、【知识要点】知识点一 一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。注意：1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。特征：它含有未知数，同时又是个等式。一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a0）【特征】1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。1（2017福建中考模拟）设某数是x，若比它的2倍大3的数是8，可列方程为（ ）A2x3=8B2x+3=8Cx3=8Dx+3=8【详解】试题解析：根据文字表述可得到其等量关系为：x的2倍+3=8，根据此列方程：2x+3=8故选B2.（2018广西中考真题）用代数式表示：a的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ）A2a-3 B2a+3 C2(a-3) D2(a+3)【详解】“a的2倍与3 的和”是2a+3故选：B3.（2018湖南中考模拟）下列各方程中，是一元一次方程的是（）Ax2y=4Bxy=4C3y1=4D【详解】各方程中，是一元一次方程的是3y-1=4，故选C考查题型一 一元一次方程概念的应用1（2019四川中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）A9B8C5D4【详解】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C2（2019内蒙古中考真题）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_【详解】解：关于的方程如果是一元一次方程，即或，方程为或，解得：或，当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，故答案为：x=2或x=-2或x=-33（2017广东中山纪念中学中考模拟）若方程是关于x的一元一次方程，则_【详解】根据一元一次方程的特点可得：，解得：k=-2故答案是：-2考查题型二 利用方程的解求待定字母的方法1（2019山东中考模拟）已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为A2 B3 C4 D5【详解】方程2x+a9=0的解是x=2，22+a9=0，解得a=5故选：D2（2019四川中考模拟）若是方程的解，则的值是（）A4B4C8D8【详解】根据方程的解，把x=1代入2x+m-6=0可得2+m-6=0，解得m=4.故选：B.3（2019河北中考模拟）已知是方程的解，则（ ）A1B2C3D7【详解】解：x7是方程2x7ax的解，代入得：1477a，解得：a1，故选：A4（2019山东中考模拟）若是方程mx2m+20的根，则xm的值为（）A0B1C1D2【详解】解：把x1代入方程得：m（1）2m+20，解得：m1，x0，xm011，故选C5（2019福建中考模拟）若x=2是关于x的一元一次方程ax2=b的解，则3b6a+2的值是( ).A8B4C8D4【详解】把x=2代入ax2=b，得2a- 2= b所以3b-6a=-6所以，3b6a+2=-6+2=-4.故选B知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 表示为：如果a=b，则ac=bc等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。表示为：如果 a=b，那么ac = bc如果 a=b(c0)，那么 ac = bc【注意事项】1等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。 2等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.4. 等式左右两边互换，所得结果仍是等式。1（2018河北中考模拟）已知：a=b1=c，且a、b、c都不等于0，则a、b、c中最小的数是（）AaBbCcDa和c【详解】a=b1=c，a=b1=c，1，bca，a、b、c中最小的数是b故选：B2（2017广东中山纪念中学中考模拟）下列说法不正确的是A若xy，则xayaB若xy，则xbybC若xy，则axayD若xy，则【详解】根据等式的基本性质1可得选项A、B正确，根据等式的基本性质2可得选项C正确，选项D必须有b0这个条件，故选D.3.（2017山东中考模拟）已知：，那么下列式子中一定成立的是（）A2x=3yB3x=2yCx=6yDxy=6【详解】 ，2x=3y.故选A.4（2017海南中考模拟）已知等式3a2b5，则下列等式中不成立的是( )A3a52bB3a12b6C3ac2bc5Dab【详解】试题解析：A、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，得3a-5=2b；B、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a+1=2b+6；D、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，得a=；C、当c=0时，3ac=2bc+5不成立，故C错故选C5（2015山东中考模拟）下列各项中叙述正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【详解】试题分析：根据等式的基本性质即可得出结论试题解析：由等式的基本性质知选项D正确故选D。6（2018河北中考真题）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）ABCD【详解】设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意，故选A知识点三 解一元一次方程u 合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。u 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1）u 去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。u 去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。解一元一次方程的基本步骤：1（2017江苏中考模拟）方程2x13x2的解为（ ）Ax1Bx1Cx3Dx3【详解】首先进行移项可得：2x3x=2+1，合并同类项可得：x=3，解得：x=3.2（2019余干县瑞洪中学中考模拟）将方程x512x移项，得（ ）Ax2x15Bx2x15Cx2x15Dx2x15【详解】方程x512x，移项得: x2x15,故选A3.（2018湖南中考模拟）下列各题正确的是（）A由7x=4x3移项得7x4x=36B由2x-13=1+x-32去分母得2（2x1）=1+3（x3）C由2（2x1）3（x3）=1去括号得4x23x9=1D由2（x+1）=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5【详解】A、由7x=4x-3移项得7x-4x=-3，故错误；B、由2x-13=1+x-32去分母得2（2x-1）=6+3（x-3），故错误；C、由2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4x-2-3x+9=1，故错误；D、正确故选D考查题型三 含分母的一元一次方程的解法1（2019浙江中考模拟）下列解方程去分母正确的是( )A由x3-1=1-x2，得2x133xB由x-22-x4=-1，得2x2x4C由y3-1=y5，得2y-15=3yD由y+12=y3+1，得3(y+1)2y+6【详解】A由x3-1=1-x2，得：2x633x，此选项错误；B由x-22-x4=-1，得：2x4x4，此选项错误；C由y3-1=y5，得：5y153y，此选项错误；D由y+12=y3+1，得：3（ y+1）2y+6，此选项正确故选D2（2019来宾市第四中学中考模拟）解分式方程3=时，去分母可得（）A13（x2）=4B13（x2）=4C13（2x）=4D13（2x）=4【详解】方程两边同时乘以（x-2），得13（x2）=4，故选B3（2018海南中考模拟）在解方程x-12-2x+331时，去分母正确的是()A3(x1)2(2+3x)1B3(x1)+2(2x+3)1C3(x1)+2(2+3x)6D3(x1)2(2x+3)6【详解】分母的最小公倍数为6，则方程的左右两边同时乘以6可得：3（x1）2（2x+3）=64（2019山东中考真题）代数式与代数式的和为4，则_【详解】根据题意得：，去分母得：，移项合并得：，解得：，故答案为：1.5.（2019重庆市全善学校中考模拟）当x为_时，的值为1【详解】根据题意可得： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为：6（2018湖北中考模拟）解方程：（1）2（3x1）=16；（2）；（3） 【详解】（1）去括号得， 移项、合并得， 系数化为1得， （2）去分母得， 去括号得， 移项、合并得， 系数化为1得， （3）方程可化为 去分母得， 去括号得， 移项、合并得， 系数化为1得，考查题型四 同解方程的解题方法1（2017陆丰市民声学校中考模拟）方程2x40的解也是关于x的方程x2mx20的一个解，则m的值为_【详解】2x4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=3.故答案为：3.2（2016甘肃中考模拟）先化简，再求值：1x(x2+1x2-x-2x-1)+1x+1，其中x的值为方程2x=5x-1的解【详解】原式=1xx2+1-2xx(x-1)+1x+1=1xx(x-1)(x-1)2+1x+1=1x-1+1x+1=2xx2-1，解方程2x=5x-1，得：x=13，当x=13时，原式=-34知识点四 实际问题与一元一次方程 用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.考查题型五 配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率人数时间”的关系考虑问题1（2019黑龙江中考模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）A21000（26x）=800xB1000（13x）=800xC1000（26x）=2800xD1000（26x）=800x【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得1000（26-x）=2800x，故C答案正确2（2019哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为()ABCD【详解】试题解析：设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件根据等量关系列方程得：12（x+10）=13x+60故选B3（2017湖南中考真题）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A24里B12里C6里D3里【详解】试题分析：设第一天走了x里，则根据题意知，解得x=192，故最后一天的路程为里.故选：C考查题型六 销售盈亏问题销售金额=售价数量利润= 商品售价-商品进价利润率=（利润商品进价）100%现售价 = 标价折扣售价 = 进价（1+利润率）1（2019湖北中考模拟）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（ ）A120元B125元C135元D140元【详解】解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意列方程得：x+15=（x+40%x）80%解这个方程得：x=125则这种服装每件的成本是125元故选：B2（2019广东中考模拟）某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%那么商店在这次交易中( )A亏了10元钱B赚了10钱C赚了20元钱D亏了20元钱【详解】设一件的进件为x元，另一件的进价为y元，则x（1+25%）=200， 解得，x=160， y（1-20%）=200，解得，y=250，（200-160）+（200-250）=-10（元），这家商店这次交易亏了10元.故选A3（2017广东中考模拟）一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为360元，则每件服装的进价是( )A168元B300元C60元D400元【详解】试题分析：标价=进价（1+50%），售价=标价80%.设进价为x元，则80%1.5x=360，解得：x=300元.考查题型七 比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分1（2018天津中考模拟）一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得1分，不做得1分，某同学做完全部25题得70分，那么它做对题数为()A17B18C19D20【详解】设他做对了x道题，则，所以他做对了19道题，故选C。2（2019广东中考模拟）在20182019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败共取得了74个积分暂列积分榜第一位已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）A3x+（30x）74Bx+3 （30x）74C3x+（26x）74Dx+3 （26x）74【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30x4）场，依题意，得：3x+（30x4）74，即3x+（26x）74故选：C考查题型八 方案选择问题结合实际，分情况讨论，给出合理建议。1（2005山东中考真题）某乡镇有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质和量都相同为了促销，甲站的液化气每罐降价25%销售；每个用户购买乙站的液化气，第罐按照原价销售，若用户继续购买，则从第罐开始以7折优惠，促销活动都是一年若小明家每年购买8罐液化气，则购买液化气最省钱的方法是（ ）A买甲站的B买乙站的C买两站的都可以D先买甲站的1罐，以后再买乙站的【详解】设每罐液化气的原价为x，则在甲站购买8罐液化气需8（1-25%）x=6x，在乙站购买8罐液化气需x+70.7x=5.9x，由于6x5.9x，所以购买液化气最省钱的方法是买乙站的故选B2（2019山西中考模拟）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影流浪地球，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（）A20B22C25D20或25【详解】若购买的电影票不超过20张，则其数量为9004520（张）；若购买的电影票超过20张，设购买了x张电影票，根据题意，得：45x80%900，解得：x25；综上，共购买了20张或25张电影票；故选D3（2019黑龙江中考模拟）某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分4本，则还缺25本若设该校七年一班有学生x人，则下列方程正确的是()A3x2024x+25B3x+204x25C3x204x25D3x+204x+25【详解】解：根据题意可得：3x+20=4x25 故选：B考查题型九 顺逆流问题船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度水流速度船顺水的行程=船逆水的行程1（2019重庆市中考模拟）轮船在静水中速度为每小时 30km, 水流速度为每小时 6km, 从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用 5 小时(不计停留时间)，求甲、乙两码头间的距离.设两码头间的距离为 x km，则列出方程正确的是（ ）A(30+6)x +(30-6)x = 5B30x +6x = 5CD【详解】设两码头间的距离为xkm，根据等量关系列方程得：故选D2（2019吉林中考模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（）A3（32+x）=532B332=5（32x）C3（32+x）=5（32x）D32+x3=32-x5【详解】设水流速度为xkm/h，则顺流速度为（32+x）km/h，逆流速度为（32x）km/h，由题意可得，3（32+x）=5（32x）故选C3（2019江阴市云亭中学初一月考）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是（）A BCD 【详解】解：设两个码头之间距离为x，由：静水速=顺水速-水流速，静水速=逆水速+水流速，可得：故答案为B.考查题型十 数字问题的应用题 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z1（2019泉州中考模拟）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46，则这5个数的和为()A205B115C85D65【详解】日历表上可以用一个“十”字圈出5个数，那么设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x7，x1，x1，x7，根据最大数与最小数之和为46可得x7x746，解得x23.即圈出的5个数分别为16,22,23,24,30，故5个数之和为1622232430115.故选B.2（2019福建中考真题）增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知孟子一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( ).Ax+2x+4x=34 685Bx+2x+3x=34 685Cx+2x+2x=34 685Dx+x+x=34 685【详解】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x2x4x34685，故选：A3（2016山东中考真题）在如图的2016年6月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( )A27 B51 C69 D72【详解】解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=27故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72故选：D考查题型十一 行程问题（路程=速度*时间）相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离 追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离1（2019青岛市崂山区中考模拟）小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（）ABCD【详解】解：设他家到学校的路程是xkm，依题意，得：故选：D2（2019湖北省武汉中考模拟）一列火车匀速行驶，经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度.设火车的速度为xm/s,列方程得( )ABCD【详解】由灯光照在火车上的时间是10秒，则火车长为10x米，再根据经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，知火车25秒行驶的路程为隧道和火车长度和，则列出方程为：，故选C.3（2019无锡市中考模拟）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（）A5B4C3D2【详解】详解：设两人相遇的次数为x，依题意有x=100，解得x=4.5，x为整数，x取4故选：B考查题型十二 其他问题1（2017四川中考模拟）某市为提倡节约用水，采取分段收费若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元小明家5月份交水费64元，则他家该月用水（）m3A38 B34 C28 D44【详解】设小明家5月份用水xm3，当用水量为20m3时，应交水费为202=40（元）4064，x20根据题意得：40+（2+1）（x-20）=64，解得：x=28故选：C2（2019湖南中考模拟）程大位是我国明朝商人，珠算发明家他60岁时完成的直指算法统宗是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（）A大和尚25人，小和尚75人B大和尚75人，小和尚25人C大和尚50人，小和尚50人D大、小和尚各100人【详解】设大和尚有x人，则小和尚有（100x）人，根据题意得：3x+=100，解得x=25，则100x=10025=75（人），所以，大和尚25人，小和尚75人，故选A3（2019浙江中考模拟）今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（ ）A4x5=3(x5)B4x+5=3(x+5)C3x+5=4(x+5)D3x5=4(x5)【详解】设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得：3x5=4（x5）故选D20
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