普通高等学校招生全国统一考试黄冈答题适应性训练试题数学理工农医类

22006年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市答题适应性训练试题数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。第I卷 1 至 2 页，第n卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。第I卷（选择题共 50 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘帽在答题卡上指定位置。2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。3考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21已知 a, b 为两个不相等的实数，集合M= a-4a,-1,N=b2-4b+1,-2, f:xfx 表示把 M 中的兀素 x 映射到集合 N 中仍为 X,则 a+b 等于A.1B.2C.3D.4卄 12 若一a：:1：: 0 ,则下列结论不正确b的是2 2 2A.a 0, b0）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。ab2第H卷(非选择题共 100 分)注意事项：第n卷用 0.5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.11.i 是虚数单位，复数 z=_学2)的虚部为 _ .i312. 已知函数 f(x)=sinx+5x,x (-1,1),如果 f(1-a)+f(1- a )0,V 兰 X13.由线性约束条件 所确定的区域面积为S,记 S=f(t)(00,函数 f(x)=x-ax 在1, +上是单调函数。(1) 求实数 a 的取值范围；(2) 设 X。1 时有 f(xo) 1,且 f(f(xo)=xO，求证:f(xo)=xo.18.(本小题满分 12 分)女口图，直三棱柱 ABC 一 A1B1C1中，/ ACB=90 ,BC=AC=2,AA =4, D 为棱 CC1上的一动点，M、N 分别为 ABD , A1B1D 的重心.(1) 求证：MN 丄 BC;(2) 若二面角 CABD 的大小为 arctan2，求点 G 到平面 A1B1D的距离；(3) 若点 C 在厶 ABD 上的射影正好为 M，试判断点 C1在厶 A1B1D 的射影是否为 N?并说明理由.19.(本小题满分 12 分)已知某车站每天 & 009: 00、9: 0010: 00 都恰好有一辆客车到站；& 009: 00111到站的客车 A 可能在 8:10、8: 30、8: 50 至打 其概率依次为 -,-,-.9: 0010: 00 到6 2 3站的客车 B 可能在 9: 10、9: 30、9: 50 到，其概率依次为 丄丄.今有甲、乙两位旅客，6 2 3他们到站的时间分别为8: 00 和 8: 20,试问他们候车时间的平均值哪个更多？20.(本小题满分 12 分)2已知函数 f(x)=x-ax+a(x R)同时满足：不等式 f(x) 0 的解集有且只有一个元素；在 定义域内存在 0%, f(x2)成立.设数列(an)的前，2 项和 Sn=f(n),(1)求数列 an的通项公式；(2 )试构造一个数列(bn)(写出bn的一个通项公式)，满足：对任意的正整数n 都有 6nan,且 lim =2, bn 0，并说明理由；bn设各项均不为零的数列 Cn中，所有满足 Ciq+10 的正整数 i 的个数称为这个数列Cn 的变号数.令 Cn= 1- (n 为正整数)，求数列Cn的变号数.an21.(本小题满分 14 分)如右图，在棱长为 1 的正方体，ABCD A1B1C1D1中，M、N 分别为线段 BBAB 的中点, O 是正方形 B1BCC1的中心，过 O 作直线与直线 AM 交于点 P,与直线 CN 交于点 Q .(1) 求线段 PQ 的长度；(2) 将侧面 ABBiAi无限延展开来得到平面 ABB1A1，设平面ABBiAi内有一动点 T,它到直线 DDi的距离的平方减去它 到 P 点的距离的平方，其差为 i请建立适当的直角坐标系， 求出动点丁所构成的曲线K 的方程；(3) 在(2)的条件下，请说明以 PB 为直径的圆与曲线 K 是否有交点，如果有请求出此点的坐标；如果没有请说明理由.2006年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市答题适应性训练试题数学( (理工农医类) )参考答案及评分标准的两根，故 a+b=4a b等号取不到，即b a2;故A、B、C 均正确，而3.A 点拔：由题意知，选出的 6 名学生中应有 4 名女生，2 名男生，故共 C8C2种不同的抽取方法。4.D 点拔： 若 2 为方程 x2-6x+k=0 的根.另一根为 4，故 k=8.又方程 x2+62 0的两根与 2, 4,按一定次序可排成以2 为首项的等比数列，故另两根易求出，分别为-2 .2和-4 .2. h=i6，二 k+h=24，而其余情况均不可能、选择题：本大题共10 小题，每i.D 点拔：由已知可得M = N,故4心 9 |b2_4b +i = i2ab2-4a 2=0,a、b 是方程 x2-4x+2=04b 2=0i i2.D 点拔：/0.a ba : b . a2: b2;b2ab;；ba2b2ab一2Fb显然错误，应为|a|-|b|a-b|.tanii0 =tan(i20 -i0 )=一3=a 3；tanii0i+tani20*ani0i - 2c,故 1e=3- a7. D 点拔：由 f (x)的图象可知，函数 y=f(x)在区间a, b上的两端点处取得极值，且从到 b 的各点处的切线的斜率是先增大后减小，故选D.8. D 点拔：如图所示，把对角面 A1C 绕 A1B 旋转至 A1BC D 1,使其与 AA1B 在同一平面上，连接 AD1，则 AD/ =,1 1二2 1 1 c 0 S3 5 = . 2 - .；2为所求的最小值OB OC9.B 点拔：设线段 BC 的中 D，则2=OD12.1a、2点拔：易知 f(x)为奇函数且在定义域上增函数，.原不等式可化为f(1-a)f(a2-1).-1：1 a -1=tan(90+20 )= -cot201tan 20221 -ta n 10 a -12tan10一2aPFi6.B 点拔PF22(2a +IPF2I )PF2I4a2PF2十PF2+4a启4a+4a = 8a,当且仅当4a2PF2OP*BC =网AB|BC|coS兀_BAB*BCtAC *BCcosB|AC|COSCi li |ACBCcosCAC cosC|ABcos B DP 丄 BC.点 P 的轨迹一定通过ABC 的外心.10.C 点拔：如图，作出函数f(x)的图象，可知关于 f(x)的方程有正根和一零根，不妨设f(x1)=0 且 f(x2)=f(x3)=m 由图像对称性知X2+X3=2,又 X1= 1, (X 什 x2+X3)2=9.二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 1 i 2 i -2 i -1-3 - i ,o.11.-3 点拔：z=3i3D；)=0其等价于不等式组 -1 ca2T 1= 1 a 血.1 一 a va2-113.-t2+t+!点拔：如图，由题设条件所确定的区域为图中所示阴影部分21 1212 21S=-X2X1-t2- (1-t)2=-t2+t+-2 2 2 2J14虫,1 )U(1 , .3 点拔：函数 y=1 _ x 22的图象上的点到原点的最短距离为 3距离为 3.；3L又 q丰1 q-1)U(1,3.3315. n 2n-1点拔：对于任一个不含元素 n 的子集集合 B “交替和”的和为 n.这种构造的集合 A 集合与集合 B 是 切每一对集合的“交替和”的和为n,故非空子集的“交集和”的总和三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分.16. (1) / ABC 三个顶点分别是 A(3, 0)、B(0, 3)、C(cosa,si na),(2)解法一(反证法)由(1)可知 f(x)在1,+8)上只能为单调递函数. 假设 f(xo)工 xo,若1Wxof(xo),贝yf(xo)f(f(xo)=xo,矛盾；.若1Wf(xo)xo，则 f(f(xo) f(xo),即 xo0,cosao.2514(cosa-sina)=1-2sinacosa=1-(-6)=G(10 分)v14cosa-Sina=-.3217.(1)y =f (x)=3x -a.若 f(x)在1, +8)上是单调递减函数，则须yW0，即a在，故 f(x)在1 , +8)上不可能是单调递减函数；若 f(x)在1 , +8)上是单调递增函数，则 aW3x2恒成立，而 0 3.从. (6 分) 3x2恒成立,(8 分)(10 分)(12 分)故只有 f(xo)=xo成立.解法二 设 f（Xo）=u （u 1）,则 f（u）=xo,._ax0二u,u3_au = x0,两式相减得（xo-u）-a（xo-u）-xo,22二（xo-u）（x0+XOU+U+1-a）=0,. （8 分）xg 1,u 1,. X0+xou + u23.22又 0a0.二 xg-uw0,即 u=xo,亦即 f(xo)=xo. (12 分)18.(1)连结 DM、D 屏延长，分别交 AB、A1B1于点 P、Q,连结 PQ,/ M、N 分别为 ABD、 A1B1D 的垂心，贝UP、Q 分别为 AB、A1B1的中点，且=DN2.PQBBJ/MN,. （2 分）DP DQ 3/ 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BB1丄 BC ,二 MN 丄 BC.（4分）（2）连结CP,TAC=BC,. CP 丄 AB，又TCC1丄面 ABC,AD = DB= .4 CD2, DP 丄 AB,/CPD 即为二面角 C-AB-D 的平面角，/ CPD=arctan ,2,在 RtABC 中，AC=BC=2 , CP= .2 ,在 RtACDP 中,CD=CPtan/CPD=2,/ CC1=AA1=4,.DC1=2,连结 C1Q, C1Q = CP= .2, DQ=1DC2C1Q2=、一 6,（6分） A1D=DB1=-2222=2、2,G为 A1B1的中点，.DQ 丄 A1B1,SAA1B1D= A|B1*DQ =2.3,2设 C1到面 DA1B1的距离为 h,-VC1-A1B1D=VD-A1B1C1, h SA1B1D=C1D SAA1B1C1, h=3.32CP2PM 1L/ CM 丄面 ABD, CM丄DP,2,CP= 2,CD2MD 2 CD=2, GD=2，贝 U DQ=DP,TMN / PQ , DM=DN ,TCD2=DM-DP , DC-2=DN-DQ,（8分）DC1QADNC1,/C1ND=/DC1Q=90, C1N 丄 DQ，又TA1B1丄面 C1CPQ , A1B1丄 C1N , C1N 丄面 A1B1D,. C1在面 A1B1D 的射影即为 N.-解法二：空间向量解法：以 C1为原点，如右图建立空间直角坐标系(1)设 C1D = a(0waw4),依题意有：（10分）（12分）AD(0, 0, a),A(2, 0, 4),B(0, 2, 4),C(0, 0, 4),Ci(0, 0, 0),Ai(2, 0, 0), Bi(0, 2, 0). (2 分)因为 M、N 分别为 ABD , A1B1D 的重心.所以M2 舟,8 a,N冷二NM二 0,0 身,(3 3 3 丿3 33 丿I 3 丿TNMCB 二 0,0,8.0,2,0 =0,二 MN 丄 BC.I3广厂因为平面 ABC 的法向量 n1=(0 , 0, -1),设平面 ABD 的法向量 n2=(xi, yi, zi).(-2,0, a - 4 )(x1,x1,z1 )=0n n2=(一2,2,0)(,丫2,乙)=0C一AB一D 为B，则由 tan0=、.2 = COST32a4若点 C 在平面 ABD 上的射影正好为 M，则CM _ AD= CMAD =0,即(2,2,a 4) (-2, 0, a-4)=0 -3 3319.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为n分钟，则他们的分布列为； 乙旅客甲旅客103050n10305070901 11J11 11 1 1 1P P 一6 23236 6626 3易知1EE=10 x301 150 -100(8 分)6233因此 D 为 CC1的中点，根据对称性可知C1在平面 A1B1D 的射影正好为 N.(12 分)( 2 ,令 X1=1 二 n2=1,1,- i,设二面角I a4丿因此 COS0=nin2n1n2a 42=並一2a216a+36一3a = 6(舍)或 a=2,(4 分)设平面 A1B1D 的法向量为 n3=(x,y,z),则AD n3二0A|B1* n = 0I2,0,2)(x,y,z):(2,2,0 )(x,y,z).(6 分)n3x, x,x令 x=1 有 n3=1(1, 1, 1),设 C1到平面 A1B1D 的距离为 d,则 d=C1Dn3(8 分)=6(舍)或 a=2 ,(10 分)11111245En=1030507090,. (10 分)233612189 EE0, n 3 时，数列C-递增,2n -32n -5 2n-3（11 分）（12分）答：旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多.、220.(1) / f(x) 0 的解集有且只有一个元素，：.=a -4a=0= a=0 或 a=4,当 a=0 时，函数 f(X)=X2在(0， +m)上递增，故不存在0X!f(X2)成立.(2 分)221,n = 1综上，得 a=4, f（x）=x -4x+4, Sn= n -4n +4, - - an=Sn-Sn-1= *2n - 5,n A 2（5分）an要使lim- =2，可构造数列 bn= n-k,Ybn（6分）对任意的正整数 n 都有 bn 2 时，n-k2n-5 恒成立且 1-k5-k 恒成立且 k0,5k c2即丿二0 c k 3,（8分）又 bn* 0,二 kN*,bn=n-l 等等.（9分）(3)解法一：由题设Cn=7 n =1141 - ,nk2n 5214 a4=-0,由1 -32n -5又 C1=-3,C2=5,C3=-3,即 C1 C20,C2 C30, 综上得数列Cn共有 3 个变号数，即变号数为0= n_5,可知 a4 a53 时，有且只有 1 个变号数;此处变号数有 2 个.3.（13分）-3, n =1解法二：由题设C-=4,1 - ,n色22n-5- 2 时，令 Cn5+10 二: 0二2n5 2n-3:n : = n = 2或 n=4 ；2（11分）又 C1=-3,C2=5, n=1 时也有 C1 C20),由于 P 咪到 AAi的距离为一，故 p=，3324曲线 K 的方程为 y2=4x322假设抛物线与圆有交点，设交点为G，则/ PGB 为直角，易得 PB=-，且 B 点在抛物线内部，2故 PG2+GB2+，9过 G 作 GH 丄 AA1，贝 U PG=HG，PG2+GB先產=產-与PG2GB9矛盾，故交点G不存又 PG2+GB2PG GB22（11分）故（4分）在，于是以 PB 为直径的圆与曲线 K 没有交点.（14分）