测量误差的基本理论实用教案

6-1 概述(i sh)二、观测与观测值的分类(fn li)2直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。3独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为非独立观测值。 第1页/共50页第一页，共51页。6-1 概述(i sh) 三、测量误差及其来源 1测量误差的定义 真值：客观存在的值“X”（通常不知道） 真误差：真值与观测值之差，即：真误差=真值-观测值 2测量误差的反映 测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。 3测量误差的来源 （1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界环境条件：温度变化(binhu)、风、大气折光等。 第2页/共50页第二页，共51页。6-1 概述(i sh)四、测量误差的种类按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差和偶然误差两类。1系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差可以消除或减弱( jinru)。(计算改正、观测方法、仪器检校)例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作(cozu)时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作(cozu)时抵消(盘左盘右取平均) 第3页/共50页第三页，共51页。6-1 概述(i sh)四、测量误差的种类2偶然误差在相同的观测(gunc)条件下对某量进行一系列观测(gunc)，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测(gunc)值产生误差 。第4页/共50页第四页，共51页。6-1 概述(i sh)四、测量误差的种类 几个概念:准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小）精（密）度：(观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大小） 最或是(hu sh)值：（最接近真值的估值，最可靠值）； 测量平差：（求解最或是(hu sh)值并评定精度）。第5页/共50页第五页，共51页。6-1 概述(i sh)五、偶然误差的特性及其概率密度函数例如，在相同条件(tiojin)下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个内角观测值之和一般不等于180，按下式算得三角形各次观测的真误差i，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。第6页/共50页第六页，共51页。6-1 概述(i sh)d误差区间误差区间负误差正误差个数个数相对个数个数个数相对个数0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.0920.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.41.640.01120.0061.6以上00.00000.000总和1810.5051770.495第7页/共50页第七页，共51页。6-1 概述(i sh)五、偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的四个特性：（1）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数(csh)的无限增加而趋于零，即 0limlim21nnnnn第8页/共50页第八页，共51页。6-1 概述(i sh) 五、偶然误差的特性及其概率密度函数 用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图中，每一条形(tio xn)的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形(tio xn)的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。 各条形(tio xn)顶边中点连线经光滑后 的曲线形状，表现出偶然误差 的普遍规律。第9页/共50页第九页，共51页。6-1 概述(i sh) 五、偶然误差的特性及其概率密度函数 用频率直方图表示的偶然误差统计： 当观测次数(csh)n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。第10页/共50页第十页，共51页。6-1 概述(i sh) 五、偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差处理(chl)方式 值）靠值，似真值，最或是）求算术平均值（最可（）多余观测（提高仪器等级32) 1 (第11页/共50页第十一页，共51页。6-2 衡量精度(jn d)的指标 一、精度精确度是准确度与精密度的总称。对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。二、中误差某观测值真值X已知；（设在相同(xin tn)观测条件下，对任一个未知量进行了n次观测，其观测值分别为 、 ，n个观测值的真误差 、 、 。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即1l2lnl12n第12页/共50页第十二页，共51页。6-2 衡量精度(jn d)的指标 二、中误差某观测值真值X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了n次观测，其观测值分别为 、 ，n个观测值的真误差 、 、 。为了避免正负误差相抵消和明显(mngxin)地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即m称为中误差，m小精度高；m大精度低。n观测值个数 真误差nnmn222211l2lnl12n22221.n),.2 , 1(niLXii第13页/共50页第十三页，共51页。6-2 衡量精度(jn d)的指标二、中误差例:设有甲、乙两个小组(xioz)，对三角形的内角和进行了9次观测，分别求得其真误差为：甲组：乙组：试比较这两组观测值的中误差。解： 说明乙组的观测精度比甲组高。783476865 ,357474456 ,2. 69)7()8()3()4()7()6()8()6()5( 222222222甲m2. 59)3()5()7()4()7()4()4()5()6( 222222222乙m乙甲mm第14页/共50页第十四页，共51页。6-2 衡量精度(jn d)的指标三、容许误差根据误差分布的密度(md)函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(| m)=0.683=68.3 ；P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 demdfPm22221)()(kmkmmdemkmP22221)(第15页/共50页第十五页，共51页。6-2 衡量(hng ling)精度的指标三、容许(rngx)误差将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(| m)=0.683=68.3 ；P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许(rngx)误差，也称为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m第16页/共50页第十六页，共51页。6-2 衡量(hng ling)精度的指标 四、相对误差(wch)(相对中误差(wch) 中误差(wch)绝对值与观测量之比。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差(wch)。 解： K2K1，所以距离S2精度较高。500011000201mmK.660012000302mmK.第17页/共50页第十七页，共51页。6-3 算术(sunsh)平均值及其中误差一、算术(sunsh)平均值设在相同的观测条件下，对某未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术(sunsh)平均值为x：nlnlllxn21第18页/共50页第十八页，共51页。6-3 算术(sunsh)平均值及其中误差 一、算术平均值 证明(zhngmng)算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为： 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真 值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。nnlXlXlX2211 nlXn 0nnlim nlXn limXxnlim0v第19页/共50页第十九页，共51页。6-3 算术(sunsh)平均值及其中误差 二、观测值改正(gizhng)数 未知量的最或是值x与观测值li之差称为观测值改正(gizhng) 数vi，即nnlxvlxvlxv2211lnxvnlxnv0v第20页/共50页第二十页，共51页。6-3 算术(sunsh)平均值及其中误差 三、由观测值改正数计算( j sun)观测值中误差nnlXlXlX2211)()()(xXvxXvxXvnn2211nnlxvlxvlxv2211)()(vxXxXnvv222)(xXnvv2)(xXnvvn第21页/共50页第二十一页，共51页。6-3 算术(sunsh)平均值及其中误差 三、由观测(gunc)值改正数计算观测(gunc)值中误差2)(xXnvvn222221)()(lnXnnlXxXnnnn131212222122221()(nnnn131212222nnvvnnmnvvm221nvvm第22页/共50页第二十二页，共51页。6-3 算术(sunsh)平均值及其中误差 四、算术(sunsh)平均值中误差 算术(sunsh)平均值的中误差Mx，可由下式计算:nmMx) 1(nnvvMx第23页/共50页第二十三页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 一、误差传播定律 定义：表述(bio sh)观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。 ? 如何由观测值精度评定观测值函数精度第24页/共50页第二十四页，共51页。6-4 误差传播(chunb)定律 一、误差(wch)传播定律 一般函数的中误差(wch)设有函数：),(21nxxxFZ(a)为独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ对(a)全微分(wi fn)：由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和 ： ixidxdznndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)nnxxFxxFxxF2211(c)第25页/共50页第二十五页，共51页。6-4 误差传播(chunb)定律 一、误差(wch)传播定律 一般函数的中误差(wch)令 的系数为 ， (c)式为：ixiixFf)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)第26页/共50页第二十六页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 一、误差(wch)传播定律 一般函数的中误差(wch)jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)对K个(e)式取总和(zngh)：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122第27页/共50页第二十七页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 一、误差传播(chunb)定律 一般函数的中误差0limnxxjin由偶然误差的抵偿(dchng)性知：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122KxfKxfKxfKnn2222222121222222221212xnnxxzmfmfmfm(h)第28页/共50页第二十八页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 一、误差传播定律 一般(ybn)函数的中误差22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式为一般函数的中误差(wch)公式，也称为误差(wch)传播定律。第29页/共50页第二十九页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 一、误差传播定律 一般函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤(bzhu)： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。 第30页/共50页第三十页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 一、误差传播定律 一般(ybn)函数的中误差 中误差传播公式 AxZ Ammz21xxZnxxxZ212221mmmz22221nzmmmmnnxAxAxAZ22112222222121nnzmAmAmAm函数名称函数式中误差传播公式倍数函数和差函数线性函数第31页/共50页第三十一页，共51页。6-4 误差传播(chunb)定律 二、误差(wch)传播定律的应用 例1：在1：500地形图上量得某两点间的距离，其中误差(wch)， 求该两点间的地面水平距离D的值及其中误差(wch)。 解: mmmd20.mdD2511723450500500.mmmdD10000020500500.第32页/共50页第三十二页，共51页。6-4 误差传播(chunb)定律 二、误差传播(chunb)定律的应用 例2：设对某一个三角形观测了其中，两个角，测角中误差分别为， ，试求角的中误差。 解： 53 .am26 .m1801726532222 .).().(mmm第33页/共50页第三十三页，共51页。6-4 误差(wch)传播定律 二、误差传播(chunb)定律的应用 例3：试推导出算术平均值中误差的公式： 解：nlnlnlnnlx11121kn1nklklklx21nmmm21 1 2222222222212nmmmmnmkmkmkMn(nmM第34页/共50页第三十四页，共51页。6-5 权及加权平均值 一、权 定义：在计算不同精度观测值的最或然值时，精 度高的观测值在其中占的“比重”大一些，而精度低 的观测值在其中占的“比重”小一些。这里，这个“比 重”就反映了观测的精度。“比重”可以(ky)用数值表示， 在测量工作中，称这个数值为观测值的“权”。 定义公式：设以Pi表示观测值li的权，则权的定 义公式为：),(nimPii2122第35页/共50页第三十五页，共51页。6-5 权及加权平均值 一、权 是权等于1的观测值的中误差，通常(tngchng)称等于1的权为单位权，权为1的观测值为单位权观测值。 为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。 权与中误差的平方成反比，即精度愈高，权愈大 。),(nimPii2122),(nimPii21221222iPm第36页/共50页第三十六页，共51页。6-5 权及加权平均值 二、权的性质 （1）权是相对性数值，表示观测(gunc)值的相对精度。 （2）权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测(gunc)值越可靠，精度越高。 （3）权始终取正号。 （4）对于单一观测(gunc)值而言，权无意义。 （5）权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不变。 （6）在同一个问题中只能选定一个li值，不能同时选用几个不同的值，否则就破坏了权之间的比例关系。 第37页/共50页第三十七页，共51页。6-5 权及加权平均值 三、测量中常用的确权方法 1同精度观测(gunc)值的算术平均值的权 设一次观测(gunc)的中误差为m，n次同精度观测(gunc)值的算术平均值的中误差 。则一次观测(gunc)值的权为：nmM/1222mmmP算术(sunsh)平均值的权为：nnmmnmPL222第38页/共50页第三十八页，共51页。6-5 权及加权平均值 三、测量中常用的确权方法 1同精度观测值的算术平均值的权 对于中误差为mi的观测值（或观测值的函数(hnsh)），其权Pi为: 则相应的中误差的另一表示式可写为:22iimPiiPm1第39页/共50页第三十九页，共51页。6-5 权及加权平均值 三、测量中常用(chn yn)的确权方法 2权在水准测量中的应用 设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为m站， 则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为： 取c个测站的高差中误差为单位权中误差，即 则各水准路线的权为),(niNmmii21站站mciiiNcmP22iiLcP 第40页/共50页第四十页，共51页。6-5 权及加权平均值 三、测量中常用的确(dqu)权方法 3权在距离丈量工作中的应用 设单位长度（一公里）的丈量中误差为m，则长度为 s公里的丈量中误差为 。 取长度为c公里的丈量中误差为单位权中误差，即， 则得距离丈量的权为：smmscmscmPsi22第41页/共50页第四十一页，共51页。6-5 权及加权平均值 四、加权平均值及中误差 1加权平均值 设对某未知量进行( jnxng)了n次不同精度观测，观测值 为L1、L2、Ln，其相应权为P1、P2、Pn。 iipm22nmmxnnpnnnppplllLplllLplllLn)()(2)(12)2()2(2)2(121)1()1(2)1(1121第42页/共50页第四十二页，共51页。6-5 权及加权平均值 四、加权平均值及中误差(wch) 1加权平均值 看p129页例6-8 nnpnnppppplllllllllxn21)()(2)(1)2()2(2)2(1)2()1 (2)1 (121ppLpppLpLpLpxnnn212211第43页/共50页第四十三页，共51页。6-5 权及加权平均值 四、加权平均值及中误差(wch) 2. 加权平均值中误差(wch)nnlpplpplpppplx221122222222212212nnxmppmppmppmiipm22第44页/共50页第四十四页，共51页。6-5 权及加权平均值 四、加权平均值及中误差(wch) 2. 加权平均值中误差(wch)ppppppppppppppppmnnnx1 22222122222222212221pmx22iimpppx第45页/共50页第四十五页，共51页。6-5 权及加权平均值 四、加权平均值及中误差(wch) 3.单位权观测值中误差(wch)nnnmPmPmP222222112PmmmPmPmPnnn22222112nPmmnP1nPvv 1nPPvvmx第46页/共50页第四十六页，共51页。6-5 权及加权平均值 五、权倒数传播定律 观测量的权与观测量函数的权之间的函数关系 设有一般函数 ，其中 为独立(dl)观测量。设各观测值的中误差及权分别为m1、m2、mn和p1、p2、pn。由一般函数的中误差传 播定律表达式可知，有： ),(nxxxfY21nxxx,2122222221212nnymxfmxfmxfm第47页/共50页第四十七页，共51页。6-5 权及加权平均值 五、权倒数传播定律 观测量的权与观测量函数(hnsh)的权之间的函数(hnsh)关系nnypxfpxfpxfp22222212212nnypxfpxfpxfp11112222121第48页/共50页第四十八页，共51页。第六章 教学内容回顾(hug) 1.概述 2.衡量精度的指标 3.算术平均值及其中误差 4.误差传播(chunb)定律 5.权及加权平均值第49页/共50页第四十九页，共51页。谢谢您的观看(gunkn)！第50页/共50页第五十页，共51页。NoImage内容(nirng)总结6-1 概述。（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（3）外界(wiji)环境条件：温度变化、风、大气折光等。按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为。观测的真误差i，然后对三角形闭合差i进行分析。m称为中误差，m小精度高。P(|3m)=0.997=99.7 。分数值较小相对精度较高。例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m。S2=200米,m2=0.03m。谢谢您的观看第五十一页，共51页。