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会计学13种关系3种问题角度问题平行问题垂直问题直线和平面的位置关系平面和平面的位置关系直线和直线的位置关系知识网络第1页/共43页直线和直线的位置关系3种关系分类分类位置关系位置关系定义定义公共点公共点共面直线共面直线相交直线相交直线有且仅有一有且仅有一个公共点个公共点有公共点有公共点平行直线平行直线共面且没有共面且没有公共点公共点异面直线异面直线异面直线异面直线不同在任何不同在任何一个平面内一个平面内没有公共点共面直线第2页/共43页2个平面的位置关系3种关系位置关系位置关系定义定义公共点个数公共点个数两个平面平行两个平面平行没有公共点没有公共点0个个两个平面相交两个平面相交有一条公共直线有一条公共直线无数无数第3页/共43页直线和平面的位置关系3种关系第4页/共43页1、直线在平面外，则二者的公共点个数是（ ）A.一个 B.至少一个 C.至多一个 D.无数个C练习2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（ ）平行或异面第5页/共43页线面平行线线平行面面平行平行问题3种问题判定1判定2性质1性质2第6页/共43页线面平行线线平行面面平行平行问题3种问题判定1判定2性质1性质2第7页/共43页直线与平面平行的判定定理ab/abbaa平行问题3种问题注意3个条件要写全a线线的证明是关键！第8页/共43页如何证明两条直线平行？(1)利用三角形的中位线; (3)平行的传递性(2)利用平行四边形；平行问题3种问题平行的传递性：a b， a c，则b c第9页/共43页如何证明一个四边形是平行四边形？（1）一组对边平行且相等；（2）两组对边分别平行平行问题3种问题第10页/共43页四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F是所在侧棱中点，求证：EF平面PAB证明：设PA的中点为M，连接ME,MB,在PAD中，ME平行且等于AD的一半，故ME平行且等于BF，故四边形MEFB是平行四边形，于是EFMB,又EF在平面PAB外，MB在平面PAB内，故EF平面PAB平行问题3种问题典型例题第11页/共43页1.平行于同一平面的二直线的位置关系是( ）（A） 一定平行（B） 平行或相交（C） 相交（D） 平行，相交，异面D 2 判断： 直线a平面，则直线a平行于内的任意直线错平行问题3种问题练习第12页/共43页3、平行问题3种问题第13页/共43页B平行问题4种问题第14页/共43页5、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）（A） 一定平行（B） 平行或相交（C） 相交（D） 平行，相交，异面D平行问题4种问题第15页/共43页6、点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。无数平行问题3种问题第16页/共43页线线垂直线面垂直面面垂直性质1判定2性质2垂直问题3种问题判定1第17页/共43页线线垂直线面垂直面面垂直性质1判定2性质2垂直问题3种问题判定1第18页/共43页直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。n, m , m与n相交，l m, l n, l 1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线L性质定理2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行垂直问题3种问题第19页/共43页线线垂直平面几何的方法立体几何的方法1、勾股定理2、等腰（边）三角形底边上的中线与底边垂直3、正（长）方形的特点两条平行线中的一条与某直线，则另一条也垂直于该直线直线a与平面垂直，则a垂直于内的任意直线）4、直径对的圆周角为90度垂直问题3种问题第20页/共43页在正方体AC1中，O为下底面的中心，求证：AC面D1B1BD证明：ABCD为正方形，所以ACBD,又因为在正方体中，BB1平面ABCD，所以AC BB1, 又BDBB1=B,故AC面D1B1BD垂直问题3种问题典型例题第21页/共43页（1）l , m l m（2） n, m , l m, l n, l （3）l , m l m（4）l /m , l m / 判断对错对对垂直问题3种问题第22页/共43页如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直ABDC两个平面垂直的判定定理AB AB 垂直问题3种问题线面得到面面第23页/共43页在正方体ABCDA1B1C1D1中，111ACC AA BD平面平面求证：ABCDA1B1C1D1垂直问题3种问题典型例题证明：因为是正方体，所以ACBD，又AA1平面ABCD，故AA1BD，因为ACBD=O,所以BD平面ACC1A1故命题得证O第24页/共43页四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点， 求证：平面EBD平面ABCD. ?F?E?S?D?C?B?A证明：连接AC，BD，交点为F，连接EF，EF是SAC的中位线， EF/SC.直线EF平面ABCD直线EF在平面EBD内故平面EBD平面ABCD垂直问题3种问题第25页/共43页（1）两条异面直线成的角将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于90的角即为二者所成的角ab（1）作，作出所求的角；（2）证明该角是所求；（3）在三角形中计算该角的大小或用余弦定理计算余弦；若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记为ab成角问题3种问题第26页/共43页特殊角度的三角函数值角角 0o30o45o60o90o120o135o150osin 0cos tan 21222312322211232221021 22 23 03313在在存存不不3 1 33 成角问题3种问题第27页/共43页在求解异面直线所成的角时有时需要用到余弦定理abcbaC2cos222 ABC中，abcC成角问题3种问题第28页/共43页例： 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90解：在图形中，将AC平行移动到A1C1，再连接A1B，则A1BC1是一个等边三角形，A1C1与BC1所成的角为60,所以AC与BC1所成角的大小也是60，选C.成角问题3种问题第29页/共43页（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？例 正方形ABCDA1B1C1D1求：BB1CC1,所以A1BB1为所求，大小为45BB1CC1,所以A1B1B为所求，大小为90（3）A1B与B1C所成的角是多少度？A1BD1C,所以D1CB1为所求，易知D1B1C为正三角形，故所求角大小为60（1）A1B与CC1所成的角是多少度？成角问题3种问题第30页/共43页1111ABCDA B C D中12,1AAABBC2、四棱柱 45求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦成角问题3种问题第31页/共43页正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦11222A F=A E= 5aEF= 2a( 5a) +( 5a) -( 2a)4cos EAF=525a5a，由余弦定理成角问题3种问题第32页/共43页（2）线面角-直线和平面所成的角AlOB直线L是的斜线时,作AB于B，直线L与平面的交点是OlAOB（锐角）即为 与所成的角l成角问题3种问题第33页/共43页00la与 所成角为090la与 所成角为直线与平面所成角斜线与平面所成角注意:0090,00090,0,/ 时或ll ,时l成角问题3种问题第34页/共43页成角问题3种问题第35页/共43页（1）A1B与平面ABCD所成的角在正方体中，求（2）A1B与平面BDD1B1所成的角A1BA=45A1EB=30E成角问题3种问题第36页/共43页EFG正三棱柱，AC=1,AA=2,求AC与平面ABBA成的角的正弦解：取AB的中点为D,则CD垂直于平面ABBA,角CAD为所求的角103CD152sin CAD=AC5成角问题3种问题第37页/共43页3、二面角成角问题3种问题第38页/共43页成角问题3种问题第39页/共43页ABCDO 以二面角的棱上任意一点为O端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成的AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角二面角的范围是0,平面角的特征（1）顶点在棱上；（2）两条边分别在2个平面内，且均垂直于棱；二面角的平面角成角问题3种问题第40页/共43页正方体棱长为2，求二面角A-BC-B的正切解：取BC的中点O，连AO，BO,AB=AC,所以AOBC,又因为是正方体，所以BOBC；故AOB为所求二面角的平面角ABtan AOB= 2BO成角问题3种问题第41页/共43页二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小(往往要用锐角的三角函数或余弦定理）一“作”二“证”三“计算”成角问题3种问题第42页/共43页
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