条件数学期望与条件方差

一、一、 条件数学期望条件数学期望1、 离散型离散型r.v. 的条件数学期望的条件数学期望 X和Y的边缘分布律分别为1,1, 2,.iiijjP Xxppi1,1,2,.jjijiP Yyppj 4.4 条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差设随机变量X与Y的联合分布律为,1,2,ijijP Xx Yypi j为Yyj的条件下，X的条件分布律;记为.|,1,2,.ijijjpP XxYyjp若对固定的j, p.j 0, 则称 X|Y=yjx1 x2 P p1j/p.j p2j/p.j xnpnj/p.j同理，对固定的i, pi. 0, 称.|,1,2,.ijjiipP YyXxjp为X xi的条件下，Y 的条件分布律;1.(|),1,2,ijjiijpE XYyxjp定义设随机变量X与Y的联合分布律为 ,1,2,ijijP Xx Yypi j1.(|),1,2,ijijiipE YXxyip2 2、连续型、连续型r.v. r.v. 的条件数学期望的条件数学期望|( | ),X Ypx y的概率密度若|( | ),X Yx px y dx 则称|( | )X YE X Yyxpx y dxXYy为 在条件下的条件数学期望，简称条件期望。| |( | )Y XE Y Xxypy x dy 定义设连续型随机变量(X,Y)，在Y=y发生条件下，同理：注1：E(Y|X=x)为关于x的函数，记为 (x)则E(Y|X)= (X)定理1. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则1,(|)aXbaE X Yyb（）若12112211222,(|)(|)(|)(|)iC CE XYyE C XC XYyC E XYyC E XYy（）为常数，且存在，则3 (|)E E X YEX（ ）Proof (1)(2)性质与普通数学期望证明是一样的.11.(3),()(|)jjjijiii jijiijX YYyP YyppE X Yyx pxup若（）为离散型，的概率为12.1.2.111.(|)(|) (|)jjijjjijjjijE X YE X YuuuPppppE E X Yu pxpEXp所以的分布律 (|)()( )()( )X YYX YYE E X Yxpx y dx py dyxpx y py dxdyEX 若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则(1) X, Y独立,有E(Y|X)=EY;定理2. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则(2) E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X);(3) E(c|X)=c;(4) E(g(X)|X)= g(X);(5) EY-E(Y|X)2EY- g(X)2;221212(, ) (, )(|),(|)X YNE X Yy E Y Xx 求11222211221 222112(1)21( , )exp()2() xxyyp x y解：112221122122221222212(1)()212(1)2()2() ()xxyyxyy由于211222112121122(1)()exp() X Ypx yxy12211221()()()()E X YyyE Y Xxx所以同理二、条件方差二、条件方差1、定义定义2 2、条件方差的性质、条件方差的性质(|)D Y X22(|)|(|) D X YE XYE X Y2(|) |E YE Y XX存在,称之为随机变量X条件下随机变量Y的条件方差，记为22(|)|(|) D Y XE YXE Y X定理定理1 1( )(|)(|)D YED Y XD E Y X证明证明2222(|)|(|) (|)XXED Y XEE YXE Y XEYEE Y X22(|) (|)()XD E Y XEE Y XEY( )(|)(|)D YED Y XD E Y X总 结条件数学期望条件数学期望条件方差条件方差