气体分子热运动的统计规律

第十四章气体分子热运动的统计规律（ statistical law of thermal motion of gas molecular）14-1平衡态概率统计平均值（ equilibrium state ，probability ， statistical mean quantity ）一、平衡态（ equilibrium state ）1、概念（ concept）宏观性质长时间不改变的状态2、描述（ describe）（ 1）状态参量3 体积 ：气体分子所能到达的空间（m ）压强 ：单位面积上受到的压力（）单位面积的动量变化率温度 ：气体的冷热程度（）间关系物态方程MpVRT（但只有两个是独立变量）（）几何图形（ 图）平衡态：点（、v）准静态过程过程：物态随时间的变化,多点集合曲线准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态。它在图上为一曲线，如b。二、概率（ probability ）1、 概念（ concept）事件出现的相对机会，即可能性2、 表示（ expression）N（N 很大）次试验中，x 事件出现了Ni 次则 X 事件出现的概率P（ X）=N i（离散事件）N如果事件连续分布，且f（ x）表示单位间隔中出现的概率，（亦称概率密度或分布函数）则出现在d x 间隔中的概率p（ x） = f（ x） d x3、 特性（ specific property ）（ 1） 小于 1 ，p（ x） 1（ 2） 归 1， p（ x）=1 ,f ( x)dx104、 等概率假设（ postulate of equal probability ）处于平衡态时，分子向各个方向运动概率相等三、平均值（ mean quantity ）1、 概念（ concept ）物理量的平均大小，表示量上加“一”，如 x2、 计算（ computer）（）离散情况xiN ix1 p1x2 p2 . xn pnxN（）连续情况xxf ( x)dx某变量的平均值该量与分布函数的乘积对变量积分14 2气体压强与温度的统计意义（ statistical meaning of gas pressure and temperature）一、气体的微观模型（microscopic model of gas）1、 微观模型（ microscopic model ）（）分子可视为质点，同类分子的质量相同（）分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞2、 验证（ verification ）不能直接用实验而是根据其推论与宏观实际（气体宏观实验）一致性来检验二、压强（ pressure）1、 实质（ substance）大量分子对器壁的碰撞，单位面积的动量变化率pFtpss2、 公式（ formula ）（ 1）如图，一个分子质量为m，速率为 vi 的分子与器壁s 碰后动量大小的变化（在x 方向上）nv ivispi2mvicos2mvix(力学 )(2)一群处于斜高为vit ，底面为s 的柱体中速率基本为vi 的分子与s 碰后的动量变化柱体中速率基本为vi的分子数(设分子数密度为ni ，N nistvicos它们与s 碰后动量的变化Pi N pi2nimvix2s t但据等概率假设，有一半的分子可能反向运动而不能与s 同时相碰，故动量变化应修正减半，即Pnimv2s tiix斜柱体中各种速率分子与s 相碰后引起总动量变化PPimni vix2 s tnnnmni2stnvix（统计）nmv x2s t据等概率假设2v x2v y 2v2 23vx 2v2即2v（统计）v x3故气体动量的变化2p nm v s t 3气体受到器壁的作用：pnm v2sF 3t（ 4）根据牛顿第三定律，气体对器壁的作用力压强公式据定义FFppts1 nmv2 n 1 mv22 n k2332312式中，kmv为单个分子的平均动能2统计力学处理问题方法小结（）对单个粒子：用牛顿力学规律（）对大量粒子：用统计规律（求平均值）、统计意义（statistical meaning ）公式的推导应用了统计的概念及方法压强是个统计量，是大量分子的集体表现，对少数几个分子说它们有多大压强无意义。三、温度（ temperature）1、 公式（ formula ）由物态方程pvM RT,加工整理 ,得MRTNmRTn R2pVN A mv N4T nkTn kV3式中, nN 为分子数密度Vk R 为玻耳兹曼常量N A故得32kTx v22、 微观意义（ microscopic meaning ）从温度公式可以看出，温度随分子运动速度增减面增减温度是分子热运动剧烈程度的量度3、 统计意义（ statistical meaning ）从温度公式可以看出T K（统计平均量）温度是个统计量，是大量分子热运动的集体表现，离开了大量分子，仅说单个分子或少数几个分子，有多高温度是没有意义的。、说明（ explain ）（ 1）在很多物理公式中， k ， T 均以乘积形式同时出现，互不分离，故我们亦无必要将其拆开，由于 k T 的量纲与能量相同，故也有人用能量单位来表示温度（ 2）P= n kT 由物态方程 PV = M RT 导出，因此也有人将其符为物态方程 随堂小议（ discuss on the class）关于温度的概念：下列说法中不正确的是（3）（） 温度的高低反映了物体内部分子运动剧烈程度的不同；（） 气体的温度是分子平均平动动能的是度；（） 从微观上看，气体的温度表示气体每个分子的冷热程度；（） 气体的温度是大量气体分子的集体形为，具有统计性 14 3 玻耳兹曼分布律（ Boltzmann distribution ）一、气体分子在重力场中的分布（distribution of gas molecular in gravity field1、 等温气压公式（isothermal-pressure formula ）（）公式（ formula ）pdpzdzp0sz0利用空气柱模型可得压力差mgdppgdzs利用 p= nkt 可得密度pmmpsdznmkTdpzmgp0z 0处压强故pdzp00kT积分得 lnp0mgzkTpmgzgz故 pp0 e ktp0 eRT(1)对应高度zkTlnp0RTp0(2)mgplnpg式（ 1）：等温气压公式式（ 2）：等温高度公式（）物理意义在温度不变情况下，大气压强随高温增加而接指数规律减少（Z ， P）2、 气体分子在重力场中的分布（distribution of gas molecular in gravity field）利用 P= nkT 可得mgzn n0e KT分子数密度n 随高 z 的增加而接指数规律减少二、玻耳兹曼他分布（Boltzmann distribution ）1、 公式（ formula ）可以得出（推导过程不要求）EInAeKTn分子数密度A常量Ei 粒（分）子的能量EikT玻耳兹曼因子2、 物理意义（ meaning of physics ）具有 Ei 能量的分子数密度n 随 Ei 的增加而按指数规律减少微观粒子优先占领低能级。3、 应用（ application ）很广，如分离同位素，激光理论等 14-4 麦克斯韦速率分布律（ Maxwell speed distribution ）一、麦克斯韦速率分布律（Maxwell speed distribution ）1、内容（ content）处于平衡态的气体，其分子处于某一速率附近（v vdv ）的数目 dN 与总分子数 N 之比dNmmv24n() 3 2 e 2 KT v2 dvf (v)dvN2nKT（其推导不作要求）2、实质（ substance）是一概率分布反映分子以速率v 出在 dv 速率间隔内的分子占总分子数的比率，亦即出现概率。3、特点（ characteristic ）具有归一性，即dNf (v)dv1N二、分布函数与分布曲线（ distribution function and distribution curve）4、 分布函数（ distribution function ）（） 概念f (v)4n( m3mv2dN) 2 e2KT v 22nKTN d v（2）实质概率密度5、 分布曲线（ distribution curve ）（）概念反映分布函数f （ v）随 v 而变化的曲线（）得来定量法制表计算一连点成图v v1 v2f(v)f 1f 2.定性法m1m2 (T相同 )f (v)T2T1(m相同)vp 1vp 21）v= 0,f (v) = 0, 过O 点，2） 初时v小,v 2e2kv陡3） 而后v大vkv 2缓慢4） 拐点vv p（）几何意义曲线下方面积概率曲线下方总面积=1（归一化）（ A ） 最概然速率 概念：对应拐点的速率物理意义：分子以该速率出现概率最大由 df 0可得 dv大小：v p 1.41 kT1.41 RTm（）影响分布曲线形状的因素： m=cT，v p ，右移，线矮平 T=c ， m， v p ，左移，线陡峭（参见附图）三、应用（ application ）两种速率的计算1、平均速率（mean speed）vvf (v)dr .8KT1.60kT1.60 RTmm利用积分公式x3e x2dx1 。022、平均根速率（ root-mean-square speed）v 2v2 f (v) dr3kTmV 23kT1.73kT1.73RTmm、三种速率比较（）大小v2 : v : v p1.73 : 1.60 : 1.41kT（它们有公共因子）（ 2）用途v 2 分子(动能)能量v 分子运动 (平均自由程 )v p 分子按速率分布三、随堂练习（practice on the class）1、 注意（ take note）（）理解 f （v）的物理意义，会用它来分析简单情况下的分子分布。（）理解分布线与v p 的关系，会用m、 T 的变化分析判断分布曲线的形状。2、 例题（ example）例 14 5设 N（很大）个气体分子的速率分布函数f (x)c( v v0 )v(0 v v0 )0(v v0 )其中 c、 v0为常量，且已知，求（）常量 c；（）速率在 00.3 v0间分子数。解（ 1）分布函数中的常量常由归一化条件求解v0v0由 f ( x)dvf (v)dvc(v v0 ) vdv000v3v3v0v03v0 )c 1c(2303得6cv0 3（ 2）据麦克斯韦速率分布律可得N0.3 v0f (v)drN00.3v063(v v0 ) vdv0v06 v3vv0 0 0. 3v0v03320.216故N 0.216N随堂小议（ discuss on the class）设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示f (v)则代表氧的分布函数曲线为（）曲线（）曲线（） 14-5 气体分子的平均动能理想气体的内能(mean kinetic energy of gas molecular internal energy of ideal gas)一、自由度（ free degree）1、 概念（ concept）确空物体空向位置所需独立坐标数2、 数目（ number）（刚性分子）（）单原子分子质点i t3(三平动 )（）双原子分子两点一线it r 3 2(三平二转 )（）三原子分子两点一线一点（多原子分子同三原子分子）二、能量均分定理（equipartition theorem ）1、 内容（ content）（）单原子分子itr321(三平三转 )1 mv23 KTk222v x 2v y 2v 2 2而vv x2v y2v22 (等概率 )1 mv x 2kT2 2一个自由度上的动能为（）推广到一般情况均分定理各向运动机会相等。kT2当气体处于平衡态时，每个自由度上都平均分配有2、 证明（ proof ）不作要求分子总动能kT的平动动能2i kT1(t r )kT22三、理想气体的内能（internal energy of ideal gas ）1、 概念（ concept）理想气体无相互作用理想气体的内能等于组成理想气体的各分子动能之和2、 1 个分子的平均动能（mean kinetic energy of a molecular ）1i(t r )kTkT223、 1mol 分子的内能（ molar internal energy ）EmalN Ai N A kT i RT224、 M 物质的内能（ internal energy of M matter ）ENE molM i RT2可见， E 仅为 T 的函数（对于一定量的理想气体），T 变则 E 也变，即EM i RT2四、随堂练习（ practice on the class）1、 注意（ take note）（）分清公式的物理意义（）分清气体（均作理想气体看待）的性质2、 例题（ example）例 14-6计算 500 克氧气在 00 c 时的分子平均动能摩尔内能及内能。解氧气为双原子分子所以i =5故氧分子的平均动能i kT51.3810 232739.42 10 21 (J)22氧气的摩尔内能Emi RT58.31273 4.78102 (J)22氧气的内能EMi RT0.5258.31 273 7.47 103 (J )23.2102 14-6 气体分子的平均自由程（mean free path of gas molecular ）一、气体分子的热运动图象（thermal motion picture of gas molecular ）频繁碰撞曲折复杂二、平均碰撞频率（mean collision frequency ）1、 概念（ concept）分子在单位时间里与其它分子的平均碰撞次数2、 公式（ formula ）在此时间内，分子与其它分子相碰的数目（）其它分子不动设分子有效直径（两分子碰撞所能接运的最少距离）为D，分子数密度为 n，以 D 为半经，分子路径为轴，Vt为斜高作曲柱体如图则柱体之积vshD 2 v t体内平均分子数（它们均会与跟踪分子相碰）N n vn D 2 v t（）其它分子也动v 应用相对速度u 表示，其关系为u2v此时平均可碰分子数应修正为Nn D 2 (2v)t故平均碰撞频率zN2n D 2 v2n v （D 2 )t影响因数（正比于n） v三、平均自由程（mean free path）1、 概念（ concept）相邻两次碰撞间（自由）路程的平均值2、 公式（ formula ）据定义，平均自由程v1kTvt2n2 pz影响因数反比于分子数密度n。 随堂小议（ discuss on the class）容积不变的容积储存有一定量的理想气体，温度为T0 ，分子的平均速率为 v 0，平均碰撞频率为 z0 ，平均自由程为0 。当温度 T 升至 4 T0 时其分子的平均速率v ，平均碰撞频率z ，平均自由程为(1)v 4v0 , z2z0 ,0 ;(2)v 2v0, z 2z0 ,0 ;（2）作业（ home work ）14-1， 14-16， 14-23， 14-24 ， 14-27