古典概率模型实用教案

I. I. 什么(shn me)(shn me)是古典概率模型如果试验E E满足 (1) (1) 试验结果只有有限种， (2) (2) 每种结果发生的可能性相同。则称这样(zhyng)(zhyng)的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。第1页/共18页第一页，共19页。II. II. 古典(gdin)(gdin)概率模型中事件概率求法 因试验E E的结果只有有限种, ,即样本(yngbn)(yngbn)点是有限个: : 1,1,2 ,2 ,n n ，其中 = =112 2 nn， ii是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P()=P(1=P()=P(112 2 n)n) =P( =P(1)+P(1)+P(2 )+P(2 )+P(n)n) =nP( =nP(i), i=1,2,ni), i=1,2,n。从而(cng r)(cng r)，P(P(i)= 1/ni)= 1/n，i=1,2,ni=1,2,n。第2页/共18页第二页，共19页。因此，若事件A A包含(bohn)k(bohn)k个基本事件，有 P(A)=k P(A)=k(1/n)=k/n(1/n)=k/n。III. III. 古典(gdin)(gdin)概率模型的例子例1 1：掷一颗均匀骰子(tu z)(tu z)，设:A:A表示所掷结果为“四点或五点”； B B表示所掷结果为“偶数点”。求:P(A):P(A)和P(B)P(B)。解：由n=6n=6，k kA A=2,=2,得P(A)=2/6=1/3P(A)=2/6=1/3；再由k kB B=3=3，得P(B)=3/6=1/2P(B)=3/6=1/2。第3页/共18页第三页，共19页。例2：解: 货架上有外观相同的商品1515件，其中1212件来自产地甲, 3, 3件来自地乙。现从1515件商品中随机地抽取(chu q)(chu q)两件, ,求这两件商品来自一同产地的概率。 从1515件商品中取出2 2商品, ,共有C215 =105C215 =105种取法, ,且每种取法都是等可能的，故n=105n=105。令 A= A=两件商品都来自产地甲,kA= C212=66,kA= C212=66, B= B=两件商品都来自产地乙,kB= C23 =3,kB= C23 =3，而事件:两件商品来自同一产地=AB,=AB,且A A与B B互斥,AB,AB包含基本(jbn)(jbn)事件数66+3=6966+3=69。故，所求概率=69/105=23/35=69/105=23/35。第4页/共18页第四页，共19页。例3 ：有外观相同的三极管6 6只, ,按其电流放大系数分类,4,4只属甲类,2,2只属乙类。按下列两种方案(fng n)(fng n)抽取三极管两只, ,(1).(1).每次抽取一个只, ,测试后放回, ,然后再抽取 下一只( (放回抽样););(2).(2).每次抽取一只, ,测试后不放回, ,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只( (不放回抽样) )。设A=A=抽到两只甲类三极管,B=,B=抽到两只同类三极管,C=,C=至少抽到一只甲类三极管,D=,D=抽到两只不同类三极管 。求：P(A),P(B),P(C),P(D)P(A),P(B),P(C),P(D)。第5页/共18页第五页，共19页。解: (1). (1).由于每次抽测后放回, ,因此, ,每次都是在6 6只三极管中抽取。因第一次从6 6只中取一只, ,共有6 6种可能取法(qf)(qf)；第二次还是从6 6只中取一只, ,还是有6 6种可能取法(qf)(qf)。故, ,取两只三极管共有6 66=36 6=36 种可能的取法(qf)(qf)。从而,n=36,n=36。注意(zh y):(zh y):这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理第6页/共18页第六页，共19页。 因每个基本事件发生的可能性相同, ,第一次取一只甲类三极管共有4 4种可能取法, ,第二次再取一只甲类三极管还是有4 4种可能取法。所以(suy),(suy),取两只甲类三极管共有 4 44=16 4=16 种可能的取法, , 即kA=16kA=16。故 P(A)=16/36=4/9 P(A)=16/36=4/9；令E=E=抽到两只乙类三极管,kE=2,kE=22=42=4。故 P(E)=4/36=1/9; P(E)=4/36=1/9; 因C C是E E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9 P(C)=1-P(E)=8/9；因B= AE ,B= AE ,且A A与E E互斥, ,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D D是B B的对立事件, , 得 P(D)=1-P(B)=4/9 P(D)=1-P(B)=4/9。第7页/共18页第七页，共19页。(2).(2).由于第一次抽测后不放回, ,因此, ,第一次从6 6只中取一只, ,共有(n yu)6(n yu)6种可能的取法；第二次是从剩余的5 5只中取一只, ,有5 5种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有(n yu)n=6(n yu)n=65=305=30种可能的取法。由乘法原理, ,得 kA=4 kA=43=12, 3=12, P(A)=12/30=2/5;P(A)=12/30=2/5;kE=2kE=21=21=2，P(E)=2/30=1/15;P(E)=2/30=1/15;由C C是E E的对立事件, ,得P(C)=1-P(E)=14/15P(C)=1-P(E)=14/15；由B=AE,B=AE,且A A与E E互斥, ,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D D是B B的对立事件, , 得 P(D)=1-P(B)=8/15 P(D)=1-P(B)=8/15。第8页/共18页第八页，共19页。解:例4 4：n n个球随机地放入N(Nn)N(Nn)个盒子中, ,若盒子的容量无限制(xinzh)(xinzh)。求“每个盒子中至多有一球”的概率。 因每个球都可以放入N N个盒子中的任何一个(y ), (y ), 故每个球有N N种放法。由乘法原理, ,将n n个球放入N N个盒子中共有NnNn种不同的放法。 每个盒子中至多有一个(y )(y )球的放法( (由乘法原理得): N(N-1)(N-n+1)=ANn ): N(N-1)(N-n+1)=ANn 种。故， 第9页/共18页第九页，共19页。 设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n365)个人,则他们生日各不相同的概率(gil)为 A365n/365n。于是, n个人中至少有两人生日相同的概率(gil)为 1- A365n/365n。(请打开(d ki)P17) 许多(xdu)问题和上例有相同的数学模型。例如(生日问题): 某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？第10页/共18页第十页，共19页。 把n个物品分成(fn chn)k组,使第一组有n1个,第二组有n2个, ,第k组有nk个,且n= n1+ n2+nk 。 则:不同的分组方法有l公式公式(gngsh)种。第11页/共18页第十一页，共19页。解:例5: 5: 某公司生产的1515件品中, ,有1212件是正品,3,3件是次品。现将它们随机地分装(fn zhun)(fn zhun)在3 3个箱中, ,每箱装5 5件，设:A=:A=每箱中恰有一件次品, B=, B=三件次品都在同一箱中 。求: P(A): P(A)和P(B)P(B)。 15 15件产品装入3 3个箱中, ,每箱装5 5件, ,共有(n (n yu)yu)种等可能(knng)(knng)的装法。故, 基本事件总数有个。第12页/共18页第十二页，共19页。续: 把三件次品(cpn)(cpn)分别装入三个箱中, ,共有3!3!种装法。这样的每一种装法取定以后, , 把其余1212件正品再平均装入3 3个箱中, ,每箱装4 4件, ,有个基本(jbn)(jbn)事件。再由乘法(chngf)(chngf)原理, ,可知装箱总方法数有即A A包含从而，第13页/共18页第十三页，共19页。续: 把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这样的每一种装法取定以后,再把其余(qy)12件正品装入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有个基本(jbn)(jbn)事件。故，由乘法(chngf)(chngf)原理，知装箱方法共有即B B包含第14页/共18页第十四页，共19页。解:例6 6：设N N件产品中有K K件是次品,N-K,N-K件是正品(zhngpn),KN(zhngpn),KN。现从N N件中每次任意抽取1 1件产品, ,在检查过它是正品(zhngpn)(zhngpn)或是次品后再放回, ,这样共抽取了n n次。 求: :事件A=A=所取的n n件产品中恰有k k件次品 的概率,k=0,1,2,n,k=0,1,2,n。 假定N件产品是有编号的,从中任意取出一件,每次都有N种取法.由乘法原理(yunl),n次共有Nn种取法,故,基本事件总数为Nn。 当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品的次序的不同,因此从次序考虑共有Cnk种情况。第15页/共18页第十五页，共19页。续: 这Cnk种情况确定以后,从K件次品中取出k件,共有Kk种取法(qf)。从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法(qf)。由乘法原理,共有Cnk Kk (N-K)n-k种取法(qf), A中基本事件个数为Cnk Kk (N-K)n-k。第16页/共18页第十六页，共19页。小结(xioji) 本节首先给出古典(gdin)概型的定义；然后讨论了古典(gdin)概型中事件概率求法：若事件(shjin)A包含k个基本事件(shjin)，有 P(A)=k(1/n)=k/n；最后，给出了几个古典概型中求随机事件概率的应用实例。第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结I. 什么是古典概率(gil)模型。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率(gil)。第5页/共18页。因第一次从6只中取一只,共有6种可能取法。第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管共有66=36 种可能的取法。第12页/共18页。第16页/共18页。第17页/共18页。感谢您的观看第十九页，共19页。