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一、函数的连续性二、函数的间断点1.8 函数的连续性与间断点上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、函数的连续性v变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义下页称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 DxDy上页下页铃结束返回首页v函数的连续性定义提示:下页0lim0=DDyx设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= Dy=f(x0+Dx)-f(x0) 0lim0=DDyx0)()(lim00=-xfxfxx0)()(lim00=-xfxfxx)()(lim00 xfxfxx= 上页下页铃结束返回首页讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提示:)()(lim00 xfxfxx= 下页v函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 上页下页铃结束返回首页左连续与右连续结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 下页 如果)()(lim00 xfxfxx=- 则称 y=f(x)在点0 x处左连续 如果)()(lim00 xfxfxx=+ 则称 y=f(x)在点0 x处右连续 v函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 上页下页铃结束返回首页注:v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且)()(lim00 xPxPxx= 下页 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 上页下页铃结束返回首页 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且sin)sin(limlim00 xxxyxx-D+=DDD0)2cos(2sin2lim0=D+D=Dxxxx 首页v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例上页下页铃结束返回首页二、函数的间断点间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 0limxx (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)0limxx0limxx下页上页下页铃结束返回首页间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:)(0-xf及)(0+xf均存在 , )()(00+-=xfxf若称0 x, )()(00+-xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0-xf及)(0+xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .上页下页铃结束返回首页间断点举例 例1 例例 1 正切函数 y=tan x 在2 =x处没有定义 所以点2 =x是函数 tan x 的间断点 因为=xxtanlim2 故称2 =x为函数 tan x 的无穷间断点 下页上页下页铃结束返回首页例例 2 函数xy1sin=在点 x=0 没有定义 例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 下页间断点举例xy1sin=上页下页铃结束返回首页所以点x=1是函数的间断点 如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点 例3 例例 3 函数112-=xxy在 x=1 没有定义 因为11lim21-xxx2) 1(lim1=+=xx 下页间断点举例112-=xxy上页下页铃结束返回首页所以x=1是函数f(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点 例4 例例 4 设函数=1 211 )(xxxxfy 因为1lim)(lim11=xxfxx) 1 ()(lim1fxfx 21) 1 ( =f 下页间断点举例上页下页铃结束返回首页)(lim)(lim00 xfxfxx+- 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 例5 例例 5 设函数+=-=0 10 00 1)(xxxxxxf 所以极限)(lim0 xfx不存在 x=0 是函数 f(x)的间断点 不存在 x=0 是函数 f(x)的间断点 下页间断点举例 因为1) 1(lim)(lim00-=-=-xxfxx 1) 1(lim)(lim00=+=+xxfxx 上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22+-=xxxxf间断点的类型.答案2. 确定函数间断点的类型.xxexf-=111)(答案3. p65 第4题 作业作业 P65 3（2）（3）（4） 上页下页铃结束返回首页1. 讨论函数231)(22+-=xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,上页下页铃结束返回首页解解: 间断点1,0=xx)(lim0 xfx,=0= x为无穷间断点;,1 时当-x- xx1,+0)(xf,1 时当+x- xx1,-1)(xf故1=x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf2. 确定函数间断点的类型.xxexf-=111)(
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