初中数学解题思想之数形结合

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解题思想之数形结合一、注解:数形结合思想指将数量与图形结合起来,对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析,又从几何含义方面进行分析,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维相结合,也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析,达到更加完整、严密和准确。在解决数学问题的过程时要善于由形思数,由数思形,数形结合,通过数量与图形的转化,把数的问题利用图形直观的表示出来,力图找到解题思路。数形结合是数学学习的一个重要方法,通常与平面直角坐标系,数轴及其他数学概念同时使用。二、实例运用:1.在实数中的运用【例1】如图,在所给数轴上表示出实数3,1,的点,并把这组数从小到大用“”连接。【例2】已知a0,b0,且ab,则( ) A ba B b C a D 2.在不等式中的运用【例3】不等式组的正整数解的个数为( )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例4】 关于x的不等式组无解,则a的取值范围是 。3.在方程(组)中的运用【例5】 利用图像法解方程组4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口,每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示,出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。给出三个判断:(1)0点到3点,只进水不出水;(2)3点到4点,不进水只出水;(3)4点到6点,不进水不出水。则以上判断正确的是( )A (1) B (2) C (2)(3) D (1)(2)(3) 【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则在(1)a0,(2)b0(3)c0(4)b2-4ac0中,正确的判断是( )A (1)(2)(3)(4) B (4) C(1)(2)(3) D(1)(4)5.在统计与概率中的运用【例8】近年来,某市旅游业蓬勃发展,吸引了大批海内外游客前来观光,下面两图分别反映了该市20012004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。根据统计图回答下列问题:(1)2004年游客总人数为 万人次,旅游业总收入为 万元。(2)在2002年、2003年、2004年这三年中,旅游业总收入增长最大的是 年,这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率是 (精确到0.1%)。(3)2004年的游客中,国内的游客为1200万人次,其余为海外游客,国内游客的人均消费约为700元,问海外游客的人均消费为多少元?20012004年游客总人数统计图 2001年2004年旅游业总收入统计图6.在探究规律中的运用【例9】如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”。则搭n条“金鱼”需要火柴 根。三、随堂练习1、a、b、c在数轴上的位置如图所示:且a=b,cacbab= _。2、实数a、b在数轴上的位置如图所示:化简ab= _。3、已知在坐标平面中,点P到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则P点的坐标是_。4、已知点M(1-a,a+2)在第二象限,则a的取值范围是( ) A a2 B 2a1 C a15、在频率分布直方图中,小长方形的面积等于( )A相应各组的频数 B组数 C相应各组的频率 D组距6、等腰梯形两底之差等于一腰的长,则它的腰与下底的夹角是_。7、等腰梯形中位线长为a,对角线互相垂直则此梯形的面积是_。8、已知O的半径为25cm,O的两条平行弦AB=40cm,CD=48cm,求这两条平行弦间的距离是_。9、若等腰三角形的底角为150,腰长为5,则腰上的高为_。10、若三角形的三边都为整数,周长为11,且有一边为4,则这个三角形的另两边的长可能是_。11、如图,在ABC中,C=, AB的垂直平分线交AC于D,垂足为E,若A=30o,DE=4,求DBC的度数和CD的长。四、课后练习选择题:1、“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点表示的数是”,这种说明问题的方式体现的数学思想叫做( )A 代入法 B 换元法 C 数形结合 D 分类讨论2、实数a,b在数轴上的未知如图所示,那么化简的结果是( )A 2a-b B b C b D -2a+b3、若M(,y1),N(,y2),P(,y3)三点都在函数(k0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( )A y2y3y1 B y2y1y3 C y3y1y2 D y3y2y14、能表示如图所示的一次函数图象的解析式是( )A y=2x+2 B y=-2x-2 C y=-2x+2 D y=2x-2 5、如果等腰三角形的底角是30,腰长为6cm,那么这个三角形的面积是( )A 4.5cm2 B cm2 C cm2 D 36cm26、“龟兔赛跑”讲诉了这样的故事:领先的兔子看着爬行缓慢的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是最先到达终点。用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程s,用t表示时间,则下列图象与故事情节吻合的是( )7、在平面直角坐标系中,A(1,2)点的横坐标乘以-1,纵坐标不变,得到点B,则A与B两点的关系是( )A 关于x轴对称 B 关于y轴对称 C 关于原点对称 D 将A向x轴负方向平移一个单位8、已知O1和O2的半径分别是5和2,O1O2=3,则两圆的位置关系为( )A 外离 B 外切 C 相交 D 内切9、小华设计了个仪器测定圆的直径,标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位。则圆的直径为( )A 12个单位 B 10个单位 C 4个单位 D 15个单位10、如图是甲乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图,则下列关于两家全年对食品支出的费用中,判断正确的是( )A 甲户比乙户多 B 乙户比甲户多 C 两户一样多 D 无法确定哪家多填空题:1、如图是某校四个年级男女生人数的条形统计图,则学生最多的年级是 。2、近年来某市不断加大对城市绿化的经济投入,使全市绿化面积不断增加,从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示,那么绿地面积的平均增长率是 。3、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 。5、如图是根据某地近两年6月上旬日平均气温绘制的折线统计图,由图可知,这两年6月上旬气温比较稳定的年份是 。6、如图是由边长为a和b的两个正方形组成的图形,可以通过用不同的方法计算阴影部分的面积,可以验证的公式是 。解答题:1、阅读下列材料:点A,B在数轴上分别表示实数a,b。A,B两点之间的距离表示为,当AB两点中有一点是原点时,不妨设A点在原点,如图(1),同理,当点B在原点时,当A,B都不在原点时,如图(2),点A,B都在原点的左边,如图(3),点A,B都在原点的右边,如图(4)点A,B分别在原点的两边,回答下列问题:(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 。数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 。(2)数轴上表示x和-1的两点之间的距离是 。如果=2,那么x为 。(3)当代数式取最小值时,相应的x的取值范围是 。2、某储水塔在工作期间,每小时的进水量和出水量都是固定不变的,每日从凌晨4点到8点,只进水不出水;8点到12点既进水又出水;14点到凌晨只出水不进水。经测定,水塔的储水量y(立方米)与时间x(小时)的关系如图。(1)求每小时的进水量;(2)当8x12时,求y与x之间的函数关系;(3)当14x16时,求y与x之间的函数关系。3、如图是某班学生外出乘车、步行和骑车的人数分布直方图和扇形分布图。根据统计图回答:(1)求该班有多少学生?(2)补上分布图中空缺的部分。(3)在扇形统计图中,求骑车人数所占圆心角的度数。(4)若全年级有500人,估计该年级步行人数。4、如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A,B两点,与y轴的正半轴相交于C点,与双曲线的一个交点是(1,m),且OA=OC。求抛物线的解析式。6
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