初中数学解题思想之数形结合

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数3，1，的点，并把这组数从小到大用“”连接。【例2】已知a0，b0，且ab，则（ ） A ba B b C a D 2.在不等式中的运用【例3】不等式组的正整数解的个数为（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例4】 关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 。3.在方程（组）中的运用【例5】 利用图像法解方程组4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。则以上判断正确的是（ ）A （1） B （2） C （2）（3） D （1）（2）（3） 【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a0,（2）b0（3）c0（4）b2-4ac0中，正确的判断是（ ）A （1）（2）（3）（4） B （4） C（1）（2）（3） D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市20012004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。根据统计图回答下列问题：（1）2004年游客总人数为 万人次，旅游业总收入为 万元。（2）在2002年、2003年、2004年这三年中，旅游业总收入增长最大的是 年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率是 （精确到0.1%）。（3）2004年的游客中，国内的游客为1200万人次，其余为海外游客，国内游客的人均消费约为700元，问海外游客的人均消费为多少元？20012004年游客总人数统计图 2001年2004年旅游业总收入统计图6.在探究规律中的运用【例9】如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”。则搭n条“金鱼”需要火柴 根。三、随堂练习1、a、b、c在数轴上的位置如图所示：且a=b，cacbab= _。2、实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简ab= _。3、已知在坐标平面中，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是_。4、已知点M(1-a，a+2)在第二象限，则a的取值范围是（ ） A a2 B 2a1 C a15、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）A相应各组的频数 B组数 C相应各组的频率 D组距6、等腰梯形两底之差等于一腰的长，则它的腰与下底的夹角是_。7、等腰梯形中位线长为a，对角线互相垂直则此梯形的面积是_。8、已知O的半径为25cm，O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求这两条平行弦间的距离是_。9、若等腰三角形的底角为150，腰长为5，则腰上的高为_。10、若三角形的三边都为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的另两边的长可能是_。11、如图，在ABC中，C=, AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若A=30o，DE=4，求DBC的度数和CD的长。四、课后练习选择题：1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想叫做（ ）A 代入法 B 换元法 C 数形结合 D 分类讨论2、实数a，b在数轴上的未知如图所示，那么化简的结果是（ ）A 2a-b B b C b D -2a+b3、若M(,y1),N(,y2),P(,y3)三点都在函数（k0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A y2y3y1 B y2y1y3 C y3y1y2 D y3y2y14、能表示如图所示的一次函数图象的解析式是（ ）A y=2x+2 B y=-2x-2 C y=-2x+2 D y=2x-2 5、如果等腰三角形的底角是30，腰长为6cm，那么这个三角形的面积是（ ）A 4.5cm2 B cm2 C cm2 D 36cm26、“龟兔赛跑”讲诉了这样的故事：领先的兔子看着爬行缓慢的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是最先到达终点。用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程s，用t表示时间，则下列图象与故事情节吻合的是（ ）7、在平面直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点B，则A与B两点的关系是（ ）A 关于x轴对称 B 关于y轴对称 C 关于原点对称 D 将A向x轴负方向平移一个单位8、已知O1和O2的半径分别是5和2，O1O2=3,则两圆的位置关系为（ ）A 外离 B 外切 C 相交 D 内切9、小华设计了个仪器测定圆的直径，标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位。则圆的直径为（ ）A 12个单位 B 10个单位 C 4个单位 D 15个单位10、如图是甲乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，则下列关于两家全年对食品支出的费用中，判断正确的是（ ）A 甲户比乙户多 B 乙户比甲户多 C 两户一样多 D 无法确定哪家多填空题：1、如图是某校四个年级男女生人数的条形统计图，则学生最多的年级是 。2、近年来某市不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿化面积不断增加，从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示，那么绿地面积的平均增长率是 。3、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 。5、如图是根据某地近两年6月上旬日平均气温绘制的折线统计图，由图可知，这两年6月上旬气温比较稳定的年份是 。6、如图是由边长为a和b的两个正方形组成的图形，可以通过用不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的公式是 。解答题：1、阅读下列材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b。A，B两点之间的距离表示为，当AB两点中有一点是原点时，不妨设A点在原点，如图（1），同理，当点B在原点时，当A，B都不在原点时，如图（2），点A，B都在原点的左边，如图（3），点A，B都在原点的右边，如图（4）点A，B分别在原点的两边，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 。数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 。（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是 。如果=2，那么x为 。（3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 。2、某储水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的，每日从凌晨4点到8点，只进水不出水；8点到12点既进水又出水；14点到凌晨只出水不进水。经测定，水塔的储水量y（立方米）与时间x（小时）的关系如图。（1）求每小时的进水量；（2）当8x12时，求y与x之间的函数关系；（3）当14x16时，求y与x之间的函数关系。3、如图是某班学生外出乘车、步行和骑车的人数分布直方图和扇形分布图。根据统计图回答：（1）求该班有多少学生？（2）补上分布图中空缺的部分。（3）在扇形统计图中，求骑车人数所占圆心角的度数。（4）若全年级有500人，估计该年级步行人数。4、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A，B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线的一个交点是（1，m），且OA=OC。求抛物线的解析式。6