反常积分55Γ函数课件

反常积分55函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 ( )dbaf xx( )xt( ( ) ( )dfttt5.3 内容回顾内容回顾(第二换元第二换元)( ( ) ( )dbafxxx( ( )d ( )bafxx(第一换元第一换元)(注注:凑微分不换限凑微分不换限), ,)(aaCxf设( )daaf xx,d)(20 xxfa,0f(x)为连续为连续偶偶函数时函数时,f(x)为连续为连续奇奇函数时函数时.反常积分55函数二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 , ,)(, )(1baCxvxu设则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 dbbaau vuvdbav u(上、下限为上、下限为x的范围的范围)(1)!nnJJ 2, n 为偶数为偶数1, n 为奇数为奇数20sindnnIx x20cosdnx x反常积分55函数二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分(定积分定积分)常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )5.4 5.4 反常积分反常积分 第五章第五章 (广义积分广义积分)反常积分55函数一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线曲线21xy 和直线和直线1x及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积21xy A1可记作可记作12dxxA其含义可理解为其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分55函数定义定义1. 设设, ),)(aCxf,ab 取若若xxfbabd)(lim存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限反常积分反常积分, 记作记作lim( )dbabf xx这时称反常积分这时称反常积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ,()(bCxf则定义则定义xxfxxfbaabd)(limd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )daf xx()ab反常积分55函数, ),()(Cxf若则定义则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数为任意取定的常数,常取常取 c =0 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称( )df xx发散发散 .无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定未定式并非不定未定式 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散 . .反常积分55函数; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似则有类似N L公式的计算表达式公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:F(+)与与 F(-)均收敛均收敛!否则反常积分发散否则反常积分发散.若若F(x)是是f(x)的原函数的原函数,引入下面记号引入下面记号,可方便反常积分的计算可方便反常积分的计算反常积分55函数例例1. 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .反常积分55函数例例2. 计算反常积分计算反常积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式01dptetptpep21021.p机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注: 反常积分也有分部积分法、换元法等反常积分也有分部积分法、换元法等.且分部与换元的标准一般情况下与对应的不定积分且分部与换元的标准一般情况下与对应的不定积分是一致的是一致的.0反常积分55函数例例3. 证明证明apxxd证证:当当 p =1 时有时有 axxdaxlnapxxdappx11当当 p 1 时有时有 1p1p,11pap当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1 时发散时发散 .,因此因此, 当当 p 1 时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值为其值为;11pap当当 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分55函数定义定义2. 设设, ,()(baCxf而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,0取存在存在 ,( )dbaf xx这时称反常积分这时称反常积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfbad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ),)(baCxf而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限若极限baxxfd)(lim0数数 f (x) 在在 a , b 上的反常积分上的反常积分, 记作记作则定义则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函则称此极限为函 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分0lim( )dbaf xx反常积分55函数若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,(也称也称瑕积分瑕积分)无界点常称为无界点常称为瑕点瑕点(奇点奇点) .邻域内无界邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(0lim( )dcaf xx0lim( )dbcf xx例如例如,xxxd11112xxd) 1(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义反常积分55函数注意注意: 若瑕点若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式的计算表达式 : ( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF( )d( )bbaaf xxF x)()(aFbF则也有类似则也有类似N L公式的公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则, ),(bac则则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF机动 目录 上页 下页 返回 结束 均收敛才收敛均收敛才收敛,否则发散否则发散均收敛才收敛均收敛才收敛,否则发散否则发散注注: 上面的叙述中上面的叙述中 a b .反常积分55函数112dxx211111x下述解法是否正确下述解法是否正确: , 积分收敛积分收敛例例4. 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性的收敛性 . 解解:由于由于120dxx101x所以反常积分所以反常积分112dxx发散发散 .原式原式0arcsin|axa2反常积分55函数例例6. 证明反常积分证明反常积分baqaxx)(d证证: 当当 q = 1 时时,当当 q 1 时收敛时收敛 ; q1 时发散时发散 .baaxxdbaax ln当当 q1 时时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当所以当 q 1 时时, 该反常积分收敛该反常积分收敛 , 其值为其值为;1)(1qabq当当 q 1 时时, 该反常积分发散该反常积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分55函数内容小结内容小结 1. 反常积分反常积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分55函数说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化 .例如例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104222112101dxxxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.反常积分55函数例例计算计算2d2tan sec dxtt t301d(1)xxx2tanxt机动 目录 上页 下页 返回 结束 2cos dt t解：解：上限为上限为，下限为瑕点令，下限为瑕点令311(1)(1)(1)xxxxx21sectan secttt原式原式210d(0)sxxexs10dsxxex(s1时时)为无穷限为无穷限10dsxxex(0s0时收敛时收敛)记为记为10dsxxex反常积分55函数 函数函数1. 定义定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面给出下面给出函数的几条结论函数的几条结论:)0(d)(01sxexsxs(2) 递推公式递推公式)0()() 1(ssss0d) 1 (xex1(1)( )nnn121120( )dxxex! (1)n 特别地特别地:称为称为函数函数.12.(1)当当s0时时, 函数收敛函数收敛(在下册中证明在下册中证明)!n反常积分55函数函数的应用函数的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0(d)(01sxexsxs例如例如:计算计算20dxex21212令令2,xu,xu1211ddd22xuuuu20dxex121d2uu eu0+例如例如:计算计算220dxex212222令令2,2xu122,xu122dd2xuu220dxex122d2uu eu0+概率论中常用积分概率论中常用积分反常积分55函数习题课 目录 上页 下页 返回 结束 本节要求本节要求:记住记住 函数的定义及性质函数的定义及性质,并会应用并会应用 .作业作业P268 3121120( )dxxex2220d2xxex0212d22ttett22xt令2xt3210dttet13( )21 11( )221 121.2反常积分55函数备用题备用题 1 计算计算20d(0)(1)(1)kxIkxx解解:I令令xt12021111d(1)(1)ktttt20d(1)(1)kktttt201d1tt201d21tIt 01arctan 2t机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P271 17(2)（+1）1.4反常积分55函数, 1 ,0)(连续在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2.(分部积分分部积分)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设反常积分55函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 22221111() d() d .aaaaf xxf xxxxxx3. a0,证明:证证:2,xt令2211()d2aaf tttt左边=(向右边靠拢)222111()d()d22aaaaaf ttf tttttt仅证仅证:222111() d() daaaaaf ttf tttttt令2,aut22211()d()auaauafuu211()d( )aafuuuu211() d( )aafuuuu211() d .aaf tttt所以反常积分55函数22sinarctan.xxe dx4.求下列积分求下列积分22cos.1xxdxe422sin.1xxexdxe62660cos.sincosxdxxx320sin.sincosxdxxx(且不易求出原函数时且不易求出原函数时,负代换试负代换试)(且不易求出原函数时且不易求出原函数时, 令令x=at试）试）积分区间为对称区间时积分区间为对称区间时积分区间为积分区间为0 , a时时如如P245 例例6 及及P250 11(13) P265 7(2) 及及P266 14(1)0( ).f x dx令令1.xt如如266 14(2)反常积分55函数P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3第五节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业作业作业P268 3反常积分55函数5 计算计算20lnsin dIx x解解:x=0为瑕点为瑕点I令令2xt20lncos dt t22002lnsin dlncos dIt tt t2ln2.I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P266 14(1)2120ln sin2 dt t220ln2lnsin2 dt t 1220ln2lnsin du u 211222ln2lnsin dIu u 2ln2I 所以所以注注:20lnsin2 dt t120lnsin du u令令2tu2lnsin du u令令2uv20lncos dv v. I