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1数列极限2数列极限一、数列的概念一、数列的概念定义定义1 1 设设 是一个以正整数集为定义域的函数是一个以正整数集为定义域的函数, ,( )nxf n 将其函数值将其函数值 按自变量按自变量n n的大小顺序排成一列的大小顺序排成一列nx123,nxxxx称为一个称为一个数列数列. .数列中的每一个数叫做数列的数列中的每一个数叫做数列的项项, ,第第n n项项 叫做数叫做数nx列的列的一般项一般项或或通项通项. .数列也可表示为数列也可表示为 或或nx( ).nxf n 3数列极限定义定义2 2 若数列若数列 满足满足nx123,nxxxx则称则称 是是单调递增数列单调递增数列. .nx如果如果123,nxxxx则称则称 是是单调递减数列单调递减数列. .nx如果上述不等式中等号如果上述不等式中等号都都不成立不成立, ,则称则称 是是严格严格nx单调递增数列单调递增数列或或严格单调递减数列严格单调递减数列. .单调递增和单调递减数列统称为单调递增和单调递减数列统称为单调数列单调数列. .4数列极限定义定义3 3 若存在若存在 , ,使得对一切使得对一切 , ,都有都有0M ,1,2,nxn 则称数列则称数列 是是有界有界的的, ,否则称否则称 是是无无|,nxM nxnx界界的的. .二、数列的极限二、数列的极限定义定义4 4 设设 为一数列为一数列, ,若当若当n n取正整数且无限增大时取正整数且无限增大时, ,nx数列中对应的项数列中对应的项 ( (即通项即通项) )无限接近于一个确定的常无限接近于一个确定的常nx数数A A, ,则称则称 收敛收敛于于A A, ,或称或称A A为为 的的极限极限, ,记作记作nxnx此时也称此时也称 的极限存在的极限存在. .nx否则称否则称 的极限不存在的极限不存在, ,或称或称 发散发散. .nxnx或或,limnnxA (),nxA n 5数列极限定义定义5 5 设设 是一个数列是一个数列, , A A是一个常数是一个常数, ,若对任给的若对任给的nx0, 存在正整数存在正整数 N N, ,使得当使得当 时时, ,都有都有 , ,则称则称 A A是是nN |nxA 数列数列 的极限的极限, ,或称或称 收敛收敛于于A A, ,记作记作nxnx此时也称此时也称 的的极限存在极限存在. .nx否则称否则称 的极限不存在的极限不存在, ,或称或称 发散发散. .nxnx或或,limnnxA (),nxA n 注注:1.:1.定义定义5 5中的中的 是预先给定的任意小的正数是预先给定的任意小的正数, ,因此因此, , 既既 具有任意性具有任意性, ,又具有确定性又具有确定性. .6数列极限2.2.一般说来一般说来, ,定义定义5 5中的中的N N是随是随 的变化而变化的的变化而变化的, ,给定不给定不 同的同的 , ,所确定的所确定的N N一般也不同一般也不同. . 3.3.定义定义5 5中中“当当 时时, ,有有 ”的意思是从第的意思是从第N NnN |nxA 1 项的各项都满足项的各项都满足|.nxA 4.4.数列极限的数列极限的几何意义几何意义. .()nxA n 就是对以就是对以 A A为中心为中心, ,以任意小的正数以任意小的正数 为半径的邻域为半径的邻域 , ,总能找到一个总能找到一个N N, ,从第从第 项开项开( , )U A 1N 始始, ,以后的各项以后的各项( (无限多项无限多项) )都落在邻域都落在邻域 内内, ,而在而在( , )U A 外外, ,至多有至多有N N项项( (有限项有限项).).( , )U A 例例1 1 证明证明sinlim0.nnn 7数列极限三、数列极限的性质及收敛准则三、数列极限的性质及收敛准则定理定理1 1( (唯一性定理唯一性定理) )若数列若数列 收敛收敛, ,则其极限值必唯一则其极限值必唯一. .nx定理定理2 2( (有界性定理有界性定理) )若数列若数列 收敛收敛, ,则则 必是有界数必是有界数nxnx列列. .若若 是无界数列是无界数列, ,则则 发散发散, ,即即 不存在不存在. .nxnxlimnnx8数列极限定理定理3 3( (保序性定理保序性定理) )设设 的极限存在的极限存在, ,且且,nnxylimnnx lim,nny则存在正整数则存在正整数 N N, ,当当 时时, ,有有nN .nnxy 推论推论1 1( (保号性定理保号性定理) )设设 的极限存在的极限存在, ,且且 ( (或或nxlim0nnx ),),则存在正整数则存在正整数N N, ,当当 时时, ,有有 ( (或或lim0nnx nN 0nx nx 0).0).,nnxynnxy 推论推论2 2 设设 的极限存在的极限存在, ,若若 ( (当当 时时),),则则nN limlim.nnnnxy 特别地特别地, ,若若 ( (或或 ),),则则 ( (或或 ).).0nx 0nx lim0nnx lim0nnx 9数列极限注注: :在推论在推论2 2中即使是中即使是 , ,也只能推出也只能推出nnxy limlim.nnnnxy 定理定理4 4( (夹逼定理夹逼定理) )设数列设数列 满足满足 ( (当当,nnnxyznnnxyz 时时),),且且 , ,则则nN limlimnnnxza lim.nnya 例例2 2 求求222111lim().1nnnnn 例例3 3 求求!lim.nnnn10数列极限即单调有界数列必有极限即单调有界数列必有极限. .数列必有极限数列必有极限; ;单调递减且有下界的数列必有极限单调递减且有下界的数列必有极限. .定理定理5 5( (单调有界数列收敛准则单调有界数列收敛准则) )单调递增且有上界的单调递增且有上界的例例4 4 设设 , ,证明证明 存在存在. .1ln(1)nxn 1limln(1)nn 例例5 5 设设 , ,证明证明 存存2111313131nnx limnnx在在. .11数列极限
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